线性离散控制系统数学描述与分析

第11章线性离散控制系统数学描述与分析,吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶,连续与离散控制系统,主要内容,脉冲传递函数离散状态空间描述连续系统状态方程的离散化线性定常离散系统的稳定性分析离散控制系统的稳态误差分析,11.1脉冲传递函数,11.1.1求脉冲传递函数,离散系统脉冲传递函数的定义为:当初始条件为零时，系统的输出的Z变换与输入的Z变换之比叫脉冲传递函数(也叫Z传递函数)。,脉冲传递函数仅取决于系统本身的特性，与输入序列无关。,(1)由离散系统的差分方程，求脉冲传递函数,求脉冲传递函数（Z变换法）,对上式两端取Z变换，利用Z变换实数平移定理，并考虑初始条件为零。,脉冲传递函数写为：,例11.1已知差分方程如下，求脉冲传递函数,解：,求脉冲传递函数（其它方法）,(2)已知离散系统的单位脉冲响应h(k)，脉冲传递函数G(z)=Zh(k),(3)已知连续系统的传递函数G(s)，求脉冲传递函数，按如下三步进行：,g(t)=L-1G(s),将g(t)按采样周期T离散化，求出g(0)，g(1)，等的值；,由Z变换的定义求离散的Z传递函数即,G(s)求脉冲传递函数举例,例11.2已知连续系统的传递函数，求对应的离散系统的脉冲传递函数。,解：,11.1.2开闭环求脉冲传递函数,1.采样信号的拉氏变换,时域采样的拉氏变换就是Z变换,采样信号的拉氏变换的周期性,若,则,证明：采样后信号的谱是原信号的谱以采样频率为周期延拓并乘以1/T倍，即,令n+k=n则有,星号的运算,证明：Y(s)=G(s)X*(s)拉氏变换之积可写成卷积,因为z变换可视为星号拉氏变换的缩略表示符，故得证。此式在推导脉冲传递函数和简化离散时间控制系统框图的过程中非常重要。,串联环节的脉冲传递函数,取U(s)和Y(s)的采样形式,将Y*(s)写成Z变换的形式，则开环脉冲传递函数：,(1)环节间有采样开关,串联环节的脉冲传递函数（续1）,(2)环节间无采样开关,结论：环节间无采样开关的脉冲传递函数是连续环节的传递函数乘积之后求Z变换。,串联环节的脉冲传递函数（续2）,特别强调：,例11.3已知环节，环节分别求出环节间接入采样开关和不接入采样开关时开环系统的脉冲传递函数。,解：插/未插采样开关的开环脉冲传递函数,插入零阶保持器的脉冲传递函数,零阶保持器常与连续对象组合起来构成广义对象,证明：,其中：,考虑,因为X1(s)为两函数的拉氏变换之积，故改写为卷积形式：,零阶保持器的脉冲传递函数证明,其中：,因此：,由,可得,根据G(s)的表达式，可求出G(z)为：,零阶保持器的脉冲传递函数证明续,上面证明：如果G(s)含有因子(1-e-Ts)，则求G(s)的z变换时，可以提取公因子1-e-Ts=1-z-1，这样G(z)就等于剩余项z变换与(1-z-1)的乘积。,求插入零阶保持器后对象的例子,例11.4已知被控对象为，插入零阶保持器与被控对象组成广义对象，试求开环系统的脉冲传递函数。,解：,插入零阶保持器的例子（续）,零阶保持器星号运算举例,例11.5零阶保持器如图所示，证明Y*(s)=X*(s),证明:,作带星号拉氏变换,使用z变换的符号,使用带星号拉氏变换符号，即证,环节并联的脉冲传递函数,n个环节的并联，系统的总的脉冲传递函数是每个环节的脉冲传递函数之和。,反馈连接的闭环脉冲传递函数,(1)前向通道设有采样开关,由输出端和误差节点列写方程：,在误差节点列写方程：,闭环脉冲传递函数（续1）,(2)在反馈回路设有采样开关,闭环脉冲传递函数（续2）,(3)前向通道(误差处)不设采样开关,R(s)不能从G(s)R*(s)中独立出来，误差通道不设采样开关，则只存在输出的Z变换表达，而不存在脉冲传递函数。这是与连续系统的重要区别。,求脉冲传递函数总结,采样开关的位置与脉冲传递函数关系密切，特别是当在误差通道不设采样开关时，系统的脉冲传递函数不存在，只有输出的Z变换表达式。对G*(s)H*(s)和G*(s)H(s)取Z变换，结果分别为G(z)H(z)和HG(z)或GH(z)，对G*(s)H(s)或G(s)H*(s)取Z变换，就是对G(s)H(s)*取Z变换。可以根据离散系统的梅森公式直接列写离散系统输出的Z变换表达式，注意将R(s)当成一个环节画在方框图上，并且把凡是没有被采样开关作用的所有传递函数先乘积后当成一个独立环节。,由脉冲传递函数求响应,离散控制系统的结构框图,离散控制系统的框图,闭环系统输出响应的计算步骤,1.将脉冲传递函数改写成输出形式；,2.将R(z)的具体输入波形表达式(如单位阶跃等输入函数)代入闭环系统的输出式Y(z)中；,3.将Y(z)部分分式展开求Z反变换；,4.通过计算机迭代计算(简单的通过手算)y(k)响应序列。,11.2离散状态空间描述,线性常系数离散系统的状态方程和输出方程为,可控标准型,设系统的差分方程为,对应的脉冲传递函数为,可控标准型（续2）,可控标准型的状态方程为,输出方程为,可控标准型结构图,可观标准型,根据差分方程,由差分方程直接画出结构图,可观标准型（续1）,可观标准型的状态方程矩阵形式,可观标准型的输出方程矩阵形式,11.3连续系统状态方程的离散化,连续被控对象的状态方程,推导状态方程解的一般形式,方程两端同乘e-At,两边取t0t的积分,对此式积分的结果,因此状态解一般形式,连续系统状态方程的离散化,连续被控对象的状态方程的解,进行状态解的离散化处理,设,状态解的离散化处理（续1）,令,令,则离散的状态方程和输出方程分别为：,离散系统的脉冲传递矩阵,W(z)：是离散系统的脉冲传递矩阵。,离散系统的特征方程,由于,W(z)的极点就是的根，方程就是该系统的特征方程，特征方程的根对应系统的极点。极点的位置决定系统的动态特性。,离散系统状态方程的求解,1.用迭代法求解状态方程,离散系统状态方程的求解（续1）,2.用Z变换法求解状态方程,等号右侧第一项表示由初始条件x(0)(此初始条件不一定为零，因为是求状态响应而不是脉冲传递函数)引起的状态转移，第二项表示由输入引起的状态转移。,状态转移矩阵和计算法,由连续系统有,例11.6A、B矩阵如下，求状态转移矩阵和。并写出离散的状态方程。,解：,状态转移矩阵计算举例（续1）,状态转移矩阵计算举例（续2）,离散状态方程为,11.4离散系统的稳定性分析,当系统中采用冲激采样时，z=eTs，则当,只要极点分布在单位圆内，系统就是稳定的。极点分布在单位圆上，系统是临界稳定的。极点分布在单位圆外，系统是不稳定的。,稳定性判别,1.直接求特征方程的根判别,例11.7已知系统如图所示，采样周期T=1秒，被控对象传递函数，试判定该闭环系统的稳定性。,解：由开环传递函数求开环脉冲传递函数,求特征方程的根判别举例（续1）,系统的闭环特征方程为,极点分布在Z平面的单位圆内，该系统稳定,离散系统的劳斯-霍尔维茨判据,运用离散系统的劳斯-霍尔维茨判据，先运用z-w变换，将Z平面的闭环特征方程，变换到W平面，然后和连续系统的劳斯判据的过程一样。,Z平面到W平面的变换：,证明两种平面的对应关系成立。,设,离散系统劳斯判据举例,例11.8用离散系统的劳斯判据判定系统的稳定性，并确定k的取值范围。,解：由开环传递函数Gp(s)和零阶保持器求脉冲传递函数G(z),离散系统劳斯判据举例（续1）,设T=1秒，求特征方程,令,进行z-w变换,离散系统劳斯判据举例（续2）,令,列劳斯表,即0k5.8227，系统是稳定的。,11.5离散控制系统稳态误差分析,Z域的形式为：,三种典型输入信号：,单位阶跃,单位速度,单位加速度,稳态误差分析（续1）,终值定理法：基本方法,系统型数法：,离散域的积分环节为：,注意，离散系统的“型”是看开环脉冲传递函数分母中(1-z-1)的个数,稳态误差分析（续2）,误差系数法：,实际系统有零阶保持器时，稳态误差与采样周期无关，故不能通过降低采样周期来减少稳态误差。,本章小结,本章首先介绍离散域里面