线性代数老师：翁晓琛-第五节

齐次线性方程组解的结构,第五节线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的结构,本章第一节介绍了线性方程组有解的,这一节，将讨论线性方程组在有无穷多个解的情况,下，这些解之间的关系和解的结构.,一、齐次线性方程组解的结构,设有n元齐次线性方程组,其矩阵形式为AX=O，其中A=(aij)mn,X=(x1,x2,xn)T,O=(0,0,0)TRm.,1.齐次线性方程组的性质,性质1如果1,2是齐次线性方程组AX=O,的两个解，则1+2也是该方程组的解.,性质2如果是齐次线性方程组AX=O的,解，则对任意常数c,c也是该方程组的解.,由性质1和性质2可推出：如果1,2,t,均为AX=O的解，则它们的线性组合,这就启发我们考虑：当齐次线性方程组AX=O,有非零解时，如果能确定其解向量组秩并求出该解,c11+c22+ctt(c1,c2,ct为任意常数),也是该方程组的解.,向量组的一个极大无关组，就可以通过这个极大无,关组表示出方程组的全部解，同时，也就掌握了该,方程组解的结构.,为此，引入,2.齐次线性方程组的基础解系,定义2.15如果1,2,t为齐次线性方程,组AX=O的解向量组的一个极大无关组，则称1,2,t为该方程组的一个基础解系.,显然，只有当齐次方程组存在非零解时，才会,有基础解系.,定理2.13如果n元齐次线性方程组AX=O,的系数矩阵A的秩r(A)=rn，则该方程组必存在,基础解系，并且它的任意一个基础解系均由nr个,解组成.,对于给定的齐次线性方程组，当存在非零解时,即可按定理2.13的证明中给出的求基础解系的方法,求出方程组的一个基础解系1,2,.,n-r，,该方程组的全部解均可表为下述形式：,此时,=c11+c22+.+cn-rn-r,其中c1,c2,cnr为任意常数.,上式也称为齐次,线性方程组的通解.,例1求解齐次线性方程组,解,例2设mn矩阵A与ns矩阵B满足,AB=O，并且r(A)n.求证：r(A)+r(B)n.,二、非齐次线性方程组解的结构,设有n元非齐次线性方程组,其矩阵形式为AX=B，其中A=(aij)mn,X=(x1,x2,xn)T,B=(b1,b2,bm)TO.,若将方程组,的常数项b1,b2,bm全,部换成零，就得到n元齐次线性方程组(2.19).,这时,称齐次线性方程组(2.19)是非齐次线性方程组(2.23)的,导出组.,1.性质,非齐次线性方程组与其导出组的解具有以下性质,性质1如果是方程组(2.23)的一个解，是,其导出组(2.19)的一个解，则+是方程组(2.23)的,解.,性质2如果1,2均为方程组,的解,则1-2为其导出组(2.19)的解.,由性质1和性质2可以得到如下定理.,定理2.14设非齐次线性方程组AX=B满足,r(A)=r(A)=rn,并设0为其一个特解，为其,导出组AX=O的全部解，即,=c11+c22+.+cn-rn-r,其中1,2,.,n-r为导出组的一个基础解系，c1,c2,cnr为任意常数.则方程组AX=B的全部,解可以表为,=0+=0+c11+c22+.+cn-rn-r,例3设线性方程组,试确定a的值，使方程组有解；并求其全部解.,例4求解下列线性方程组,解,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节