自动控制系统的数学模型(工硕)

1,第二章自动控制系统的数学模型,2,内容提要,第一节列写系统微分方程式的一般方法第二节非线性数学模型的线性化第三节传递函数第四节系统框图及其等效变换第五节控制系统的传递函数第六节信号流图和梅逊公式的应用,3,研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须进行定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述了整个系统的动态过程。因此，要分析和研究一个控制系统，就要通过决定系统特征的物理学定律（如机械电气热力液压气动等方面的基本定律)列写该系统的运动方程式。数学模型,引言,4,状态变量描述,数学模型,系统的数学模型(MathematicalModels)就是描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。,输入输出描述,5,微分方程,拉氏变换,傅氏变换,三种数学模型之间关系,传递函数,频率特性,Sj,6,建立系统数学模型常用的方法有两种机理分析法：根据系统及各环节所遵循的物理规律（如力学电磁学运动学热学等）来列写。实验辩识法：根据实验数据，采用适当的方法进行整理列写。,在实际工作中，这两种方法是相辅相成的，由于机理分析法是基本的常用方法，本章着重讨论这种方法。,由于系统在运动过程中各变量大多都随时间的变化而变化，因此，建立的方程一般为微分方程。,7,第一节列写系统微分方程式的一般方法,列写元件微分方程式的步骤可归纳如下：（1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导项均按降幂形式排列。,8,典型例题分析,例2-1列写RLCcircuit的微分方程,显然，这是一个二阶线性常微分方程。,输入量为电压ur(t)输出量为电压uc(t),9,例2-2试列写电枢控制直流电动机的微分方程,ua(t)为输入量，m为输出量,电动机轴上的转矩平衡方程,显然，这是也一个二阶线性常微分方程。,电枢回路电压平衡方程,电磁转矩方程,10,例2-3mass-spring-damper，试求外力F(t)与质量块位移y(t)之间的微分方程。,同样，这也是一个二阶线性常微分方程。,看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。,11,试列写图示速度控制系统的微分方程,先将系统分解为若干环节，分别写出各环节的微分方程，消去中间变量，最后得出系统的微分方程。,12,严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。非线性微分方程的求解很困难，没有通用的解析求解方法。一定的条件下将非线性方程近似处理为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。,第二节非线性数学模型的线性化,13,线性化的方法,控制系统都有一个平衡的工作状态以及与之相对应的工作点。一个基本假设：在平衡点附近作微小变化。在给定工作点的邻域内将非线性函数展开为泰勒级数。当偏差范围很小时，可以忽略二次以上项。这种线性化方法称为小偏差线性化方法。,14,这就是非线性元件的线性化数学模型。,给定A(x0，y0)为平衡点，非线性函数y=f(x)在平衡点A处连续可微，则可将函数y=f(x)在平衡点附近展开成泰勒级数,忽略二次以上的各项，上式可以写成,注意：某些严重的非线性，不能作线性化处理,拉氏变换复习1.定义：设函数f(t)当t=0时有定义，而且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。记为f(t)称为F(s)的拉氏逆变换。记为：,2.几个重要的拉氏变换,第三节传递函数,3.拉氏变换的基本性质,(1)线性性质,(2)微分性质若，则有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。,(3)终值定理,注：sF(s)在s右半平面和虚轴上是解析的。即sF(s)的极点必须在s左半平面。,第三节传递函数,4.拉氏反变换,直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。,定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。,第三节传递函数,第三节传递函数,建立系统数学模型的目的是为了对系统的性能进行分析。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程就可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观，特别是借助于计算机可以迅速而准确地求得结果。但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统的分析和设计。拉氏变换是求解线性微分方程的简捷方法。当采用这一方法时，微分方程的求解问题化为代数方程和查表求解的问题，这样就使计算大为简便。,第三节传递函数,更重要的是，由于采用了这一方法，能把以线性微分方程式描述系统的动态性能的数学模型，转换为在复数域的代数形式的数学模型传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,20,一.传递函数（TransferFunction）,1.传递函数的定义,在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换得：,线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,第三节传递函数,21,2.传递函数的性质,传递函数一般是复变量s的有理分式，所有系数均为实数，且nm。传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。传递函数只适用于线性定常系统，反映零初始条件下系统或元件的运动情况。,22,传递函数与微分方程一一对应，有不同的表示形式：时间常数形式，零、极点形式。分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。,例2-4列写RLCcircuit的传递函数,输入量为电压ur(t)输出量为电压uc(t),24,B点为虚地,例2-5建立如图所示RC电路的传递函数,比例微分控制器,25,比例微分控制器,静态放大系数,例2-6建立如图所示RC电路的传递函数,26,3.典型环节,（1）比例环节,组成自动控制系统的元件很多，按照其传递函数的异同，可以归纳为几种典型环节，这对于研究自动控制系统是很方便的。,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化,比例环节的特征参数只有一个，即放大系数K。工程上如无弹性变形的杠杆传动、电子放大器检测仪表、比例式执行机构、电位器、测速发电机等都是比例环节的一些实际例子。,27,（2）惯性环节,例如：RC网络、单容水槽、电加热炉、直流电机的励磁回路等。,特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律,微分方程,28,例如：运算放大器。,（3）积分环节,特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有,当有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成正比地无限增加。积分环节具有记忆功能，在控制系统设计中，常用积分环节来改善系统的稳态性能。,积分环节在单位阶跃输入下的响应,29,（4）微分环节,特点：理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比,在阶跃输入作用下的输出响应为一理想脉冲（实际上无法实现），由于微分环节能预示输出信号的变化趋势，所以常用来改善系统的动态特性。实际上可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传递函数如下：,实用的RC网络,30,31,（5）振荡环节(01),特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式,具有上式形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如,1）R-L-C电路的传递函数,32,2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数,3）直流他励电动机在变化时的传递函数,上述三个传递函数在化成式统一形式时，虽然它们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是振荡环节。,34,（6）纯滞后环节,例如：液压、气动和机械传动系统等。,35,第四节系统框图及其等效变换,控制系统总是由许多元件组合而成。从信息传递的角度去看，可以把一个系统划分为若干环节，每一个环节都有对应的输入量、输出量以及它们的传递函数。为了表明每一个环节在系统中的功能，在控制工程中，我们常常应用所谓“框图”的概念。控制系统的框图(blockdiagram)是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算，是控制理论中描述复杂系统的一种简便计算。,36,一.框图的组成和绘制方法,加号常省略,负号必须标出,(1)信号线,(3)相加点(比较点),(2)引出点(分支点),(4)方框,1.框图组成,37,2.框图的绘制方法,例2-7绘制RC网络的框图,解（1）列写该网络的运动方程式,（2）画出上述两式对应的框图,（3）各单元框图按信号的流向依次连接,38,例2-8绘制双T网络的框图,解（1）列写该网络的运动方程式,（2）画出上述方程对应的框图,（3）各单元框图按信号的流向依次连接,双T网络可不可以看成两个RC网络的串联？,隔离放大器,k,39,3.框图绘制的一般步骤,（1）列写系统中每个部件的运动方程式(注意负载效应)；,（2）写出相应的传递函数，并画出对应的框图；,（3）将各单元框图按信号的流向依次连接起来，输入量位于框图的最左端，输出量位于框图的最右端；,一个复杂的系统结构图，其方框间的连接必然是错综复杂的，为了便于分析和计算，需要将结构图中的一些方框基于“等效”的概念进行重新排列和整理，使复杂的结构图得以简化。,40,二、框图的等效变换,在控制工程中，任何复杂的系统，其框图主要串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。,框图的等效变换必须遵守一个基本原则，即变换前后各变量关系保持不变的原则。,1.串联连接series,N个环节串联后，等效的传递函数为这N个环节传递函数之积。,常用的框图等效变换方法有二：一是环节的合并，二是信号分支点或相加点的移动。,41,2.并联连接parallel,N个环节并联后，等效的传递函数为这N个环节传递函数之代数和,42,3.反馈连接feedback,当H(s)=1时，称为单位反馈,43,例2-9试求多回路系统的闭环传递函数,该框图中有没有典型连接？,该框图中包括三种典型连接：串联，并联和反馈,44,45,该框图中包括哪种典型连接？怎么办？,移动相加点或引出点的位置！,46,4.比较点和引出点的移动,(1)相加点的后移,(2)相加点的前移,47,(3)引出点的后移,(4)引出点的前移,(5)相邻的相加点的移动,48,(7)相邻的相加点与引出点的移动,(6)相邻的引出点的移动,麻烦，最好不要用！,49,第四节系统框图及其等效变换,50,例2-10设系统如图所示，试对其闭环传递函数。,A,关键是“点”的移动,往哪移？,51,52,三种典型结构可直接用公式,相邻相加点可互换位置,相邻引出点可互换位置,不是典型结构不可直接用公式,引出点相加点相邻，不可互换位置,总结,注意事项,53,一.开环传递函数与前向通道传递函数,将反馈环节H(s)的输出端断开，则前向通道传递函数G1(s)G2(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为系统的开环传递函数,相当于B(s)/E(s)。,第五节控制系统的传递函数,自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类输入信号的作用，一类是给定的有用输入信号r(t)，另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号d(t)。,54,二.闭环系统的传递函数,1.R(s)作用时的闭环传递函数(D(s)=0),55,2.D(s)作用时闭环传递函数(R(s)=0),E(s)=R(s)-B(s),不会因为输入信号位置的变化而改变！,反馈通道中的负号如何处理？,56,3.系统的总输出,叠加原理,4.系统的总误差,无论输入输出如何变化，闭环传递函数的分母不变！,1+G1(s)G2(s)H(s)=0系统特征方程式用于判断系统的稳定性，只与系统结构参数有关。,57,上式称为闭环系统的特征多项式。,上式称为闭环系统的特征方程。,特征方程的根称为闭环系统的根或闭环系统的极点。,第六节信号流图和梅逊公式的应用,控制系统的信号流图(Signal-FlowGraph)与框图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。对于结构比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,58,一、信号流图的基本组成单元,1.节点：表示系统中的变量，图中用表示。,2.支路：连接节点的有向线段，图中用表示。,例如：描述系统的方程组为,59,二、信号流图的常用术语,60,61,三、梅逊增益公式,梅逊公式给出了系统信号流图中，任意输入节点与输出节点之间的增益，即传递函数。其公式为：,N-为从输入节点到输出节点的前向通路的总条数Pk-为第k条前向通路增益(传递函数),Masonssignal-flowgainformula,62,k-为第k条前向通路特征式的余子式，即在中，除去与第k条前向通路接触的回路（包括有公共节点部分）后的值的剩余部分。,-为系统特征式,=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+