“直线与平面垂直的判定”的教学实践及其反思

“直线与平面垂直的判定”的教学实践及其反思陶维林章建跃执笔“中学教学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计研究”课题组于2007年5月11日14日在浙江省台州市黄岩中学召开了第四次研讨会。会前指定了五位教师根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（实行搞）”，以“直线谷平面垂直的判定”和“算法的概念”为题，进行精心的教学设计，有的设计还经过集体讨论。讨论会上，先由五位教师上课（实施教学设计），然后课题组以教学设计实施过程为载体，分析和评价教学过程，并反馈到教学设计环节，提出改进教学设计的方案。“直线谷平面垂直的判定”由三位教师执教。我们采取比较的方式，在分阶段回顾三堂课的基础上，对教学设计和实施进行反思。在不改变愿意的前提下，我们对教师的语言做了适当精简。1课题的引入三位教师采用了个不相同的引入方式。11教师甲的引入教师同学们，空间一条直线与平面有哪几种位置关系学生1边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。教师直线与平面内，得到直线与平面平行已研究过，直线与平面相交的位置关系成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些可以抽象成直线与平面相交的位置关系（的形象）请举例说明。学生日光灯的掉线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；插在碗里的筷子与（平的）碗底相交。教师同学们想象力非常丰富，在生活中确实有许多可以抽象成直线与平面相交的例子。再比如，教室中的墙角线（两个墙面的交线）与地面。（展示图片）小区中的某些建筑，撑船师傅的竹竿与水平面都给我们以直线与平面相交的形象。古诗词中描写某些自然景观，如“大漠孤烟直”，“一行鹭上青天”的诗句，这些都给我们以直线与平面相交的形象。（展示操场上旗杆图片）旗杆与地面所在的平面也相交。在直线与平面相交的模型中（位置关系中），你认为哪种相交最特殊学生直线与平面垂直。教师今天我们就研究这种关系（板书出示课题）12教师乙的引入教师（用PPT呈现龙卷风图片）同学们刚进教室看到这样一副壮丽的图片，我不禁想到唐代诗人王维的诗句“大漠孤烟直”。在广袤无垠的沙漠上一般炊烟冲天而起给沙漠带来无限生机。欣赏这一美妙画面之后是否想到立体几何中什么与什么的关系。学生（齐声）线与面垂直。教师线与面垂直，很好。说明同学们既有丰富的想象力又有很好的理性思维。请想一想在日常生活中，有没有这种线与面垂直的其他例子。学生看电视时，视线与画面；电线干直立与地面垂直。教师这样的例子很多，比如大桥桥柱与水面。正是因为生活中有许多线与面垂直关系，所以，在几何中有必要对线面垂直做进一步研究。这堂课就来学习直线与平面垂直（板书出示课题）13教师丙的引入教师前面我们研究了直线与平面平等的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。展示天安门广场上的国旗及旗杆。这里先请大学看一幅图片，天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图片，一桥飞架南北，天堑变通途。请大学回答下面问题。问题1请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系学生众垂直。教师从数学的角度看，就是什么与什么的垂直。学生众线与面。教师你还能举出一些类似的例子吗想一想（教师同时出示课题）。学生1音箱的边缘与地面。学生2立竿见影，竿与地面垂直。教师又展示跨栏与跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面、跳高架立竿与地面是垂直关系。请大家将旗杆与地面这种位置关系画出相应的几何图形。学生画图，教师在图板上画出图1。教师为什么画成这样呢这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。教师接着前面内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。14不同引入方式的比较与思考应当说，三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的系统中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等很难觉察到。另外，“线面垂直”的说法不好，至少提出得太早。另外，甲、乙两位教师用的“大漠孤烟直”的情境不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情境。教师丙的引导语“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容已有经验的衔接不够自然。良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，以自然、亲切地引出学习内容；如果在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。2定义的形成过程21教师甲的教学过程教师怎样给直线与平面垂直下定义呢请同学们回忆直线与直线垂直是如何定义的学生直线与直线成90，称这两条直线互相垂直。教师两条直线垂直可以分为两条直线“相交垂直”和“异面垂直”。而“异面垂直”是转化为“相交垂直”来研究的，实际上是把空间问题转化为平面问题。按照这样的思路能否将“线面垂直”的问题转化为“线线垂直”的问题呢请大家结合对下列问题的思考给出直线与平面垂直的定义。（结合图片）阳光下，一条旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角是多少度呢（图2）学生众90。教师旗杆所在的直线与影子所在的直线相互垂直。那么，随着太阳的移动影子也会发生移动，在这个过程中，旗杆所在的直线与影子所在的直线位置关系是否会发生变化学生众不会。教师那么，说明旗杆AB所在的直线与地面上任意一条过点B的直线始终垂直。平面上不过点B的直线是否与旗杆AB也垂直呢学生众垂直。教师为什么学生把平移过去（经过点B），存1BC在一条过点B的影子与旗杆AB垂直。教师很好。这说明，地面上与不经过点B的其他直线也是垂直的，也说明，旗杆所在的直线与地面上任意一条直线都垂直。那么，你能用语言来概括直线与平面垂直的定义吗学生如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么，我们就说这条直线与平面是互相垂直。教师很好。我们借用“线线垂直”来定义“线面垂直”。教师用幻灯片显示直线与平面垂直的定义，要求学生用图形语言、符号语言表示直线与平面垂直关系。22教师乙的教学过程教师研究直线与平面垂直，我们首先要弄清到底怎样才算直线与平面垂直呢（开、闭教室的门）问“在门打开的过程中，门轴与接近地面的这条边保持什么关系”学生众垂直。又通过教具说明旗杆与地面上的影子保持垂直。门边与下面的（不同位置的）边缘、旗杆与（不同位置的）影子都是相交的。（借助教具）在平面内，有的直线与旗杆不相交，它和旗杆是否也是垂直关系学生众是的。教师为什么我们可以将它平移到过旗杆的根部。这就为我们提供了线面垂直的定义。板书线面垂直的定义，给出画法以及垂线、垂面、垂足的意义。23教师丙的教学过程教师接下来，我们要研究直线与平面垂直的定义、判定和性质。首先我们看直线与平面垂直的定义。展示图片，提出思考题如果定义一条直线和一个平面垂直在我们前面学习的“线面平行”的位置关系中，我们将“线面平行”关系转化为“线线平行”这样的位置关系考查，体现了“平面化”和“降维”的思维。现在我们要研究直线与平面垂直，也可以将它转化为直线与平面同的直线的位置关系问题。下面来看问题2（PPT显示）（1）如图2，阳光下，观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在的直线有什么位置关系（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线有什么位置关系A演示在不同时刻时，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系。学生众垂直。教师旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线垂直，能说说理由吗A学生将直线平移到与AB相交。教师这就体现了将两条异面直线的问题转化为共面直线的问题。直线是平面A内的任意一条，由此可以得到什么结论呢学生如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。问题3通过上述观察分析，你认为应该如何定义直线与平面垂直L学生如果直线与平面内的任意一条L直线都垂直，那么直线垂直于平面。教师板书直线与平面垂直的定义，并辨析“任意一条”是否可以换成“无数条”。24不同教学过程的比较与思考本环节涉及如下几个问题定义的教学时间、典型实例的使用特别是提出什么问题、概括定义的过程中师生活动的安排、数学思想方法的渗透、定义辨析活动的内容和过程等。241关于定义的得出过程教师甲注意利用学生已有的知识基础、生活经验，并注意研究方法的引导。把“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”是可以借鉴的经验，教师通过提示，不仅引导了思考方向，而且也渗透了类比、化归、降维等数学思维方法。怎样的“线线垂直”可以导致“线面垂直”教师构建了“旗杆与变动的影子的关系”的情境，在学生得出“旗杆与变动的影子都垂直”之后，提问“地面上不是影子的直线是否与旗杆也垂直”学生由“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”的经验，采用平移的方法（空间问题转化为平面问题的最常用方法），得出“也垂直”的结论。在充分认知“旗杆和地面上任意一条直线都垂直”之后，再给直线与平面垂直下定义就比较自然了。这一过程既是学生对定义的充分感知过程，也是体会定义合理性的过程。在教师甲的教学中，一开始让学生回忆直线与直线垂直的定义是一个不恰当的环节，因为它容易把学生的思路引到“当直线与平面成90时，直线与平面垂直”。虽然可以再追问“如何刻画直线与平面成90”，但这是一个学生“够不着”的问题。所以，直接让学生回忆直线与直线垂直的研究方法更好，因为它是与本节内容直接相关的知识“生长点”。教师丙也注意到思想方法的引导。回顾“线面平行”位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题。”然后也利用了“旗杆与影子的关系”这一情境，引导学生感知直线与平面垂直的特征，并让学生自己下定义。教师乙的过程比较简单。由教师自己举出直线与平面垂直的实际事例（“门轴问题”与“旗杆问题”），由教师自己指明可以将其他直线平移到过旗杆底部的位置。因为采用了“告诉”的方法进行定义教学，因此很快（约3分钟）完成直线与平面垂直的定义。显然，这样的教学大大压缩了定义的形成过程，定义过程中体现的数学思想方法没有得到挖掘，学生的生活经验、已有知识的作用都没有得到充分发挥，概念的概括过程不充分，知识之间的联系性也建立的不牢固。特别是，学生的思维停留在模仿、机械记忆的层次上，自主性得不到发挥。实际上，教师在提出“到底怎样才算直线与平面垂直呢”以后，应该让学生谈谈自己对“直线与平面垂直”的直观感受，通过例子说明直线与平面垂直的内涵，让他们参与到概念的概括过程中来。与其他两位教师比较，教师乙在引导学生感知直线与平面垂直关系特征时所用的时间较少。这一现象有代表性，即当前的数学课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几道题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项（例如，这里强调“要注意，必须是任意的”），然后就讲例题、做练习。实践表明，这样的教学是得不偿失的，对学生把握和应用概念都产生了不利影响，因为在学生没有基本把握概念内涵的时候就要求学生用概念解决问题，结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。242关于定义的辨析过程在讨论定义的过程中，教科书安排了一个“思考一条直线与一个平面垂直的意义是什么”并在“边空”提出“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否垂直于这个平面”其目的是用以辨析直线与平面垂直的内涵，使学生形成正确的直线与平面垂直的概念。几位教师对这一问题的处理不尽相同。定义形成后，教师甲提问定义中的“任意一条”能否用“无数条”替换这个问题接连几个学生都不能回答。教师提示可以举反例，学生也未能举出。这说明学生对定义的内涵仍没有完全把握，定义形成的过程并不够完善。教师乙在直线与平面垂直的判定定理出现之后作为练习提出我们知道，一条直线与平面垂直，则这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。那么，如果一条直线与平面不垂直，是不是这条直线与平面内的直线都不垂直教师丙放在定义形成之后，辨析“任意一条”与“无数条”问题，从而引入一条直线与平面垂直需要怎样的两条，为判定定理的引出服务。虽然定义的理解需要一个过程，在后续学生中应当安排回顾、辨析的机会，但是定义的教学必须安排辨析过程。所以，教师乙的定义教学过程是不全面的。另外，几位教师安排的辨析过程都不充分。243总体分析从上述教学过程可以看到，利用典型事例引导学生直观感知直线与平面垂直的特征，然后概括得出定义，再对定义进行辨析，是教学的基本环节。其中，教师的教学行为对学生把握概念的内涵有关键性影响。这里具体表现在两方面第一，例子由谁来举。我们看到，三位教师都自己先举例。实际上，如果先让学生举例，并说说自己理解的“直线与平面垂直的含义”，然后教师查漏补缺，引导学生概括出概念，这样做的话，学生不仅有充分的直观感知活动，而且还有合情推理、逻辑思维的机会，学生对概念本质的把握自然就更深刻了。我们常常听到教师抱怨“直观感知、操作确认”的几何课不好上，学生的活动难安排，削弱了逻辑思维，但从上面的讨论可以看到，关键还是教师的教学行为是否恰当。第二，定义的辨析如何安排。中学数学中的定义一般都是“充分必要条件”，对定义的辨析，一方面是对“关键词”的辨析，也就是对内涵的理解，例如能否把“任意”换成“无数”；另一方面就是从“充分必要条件”进行辨析，这里要设法让学生关注“如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内的所有（或任意一条）直线是否都垂直”和“如果直线与平面L内的所有（任意一条）直线垂直，能断定这条直线与平面垂直吗”显然，三位教师在教学设计中，只关注了前一方面，因此对定义的辨析不全面。“判定定理”的教学“课标”要求“通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理”。为此，教科书安排了“探究；请同学们用一块三角形纸板做实验；如图3，过的ABC定点翻折纸片，得到折痕，将翻折的纸AAD片竖直的放置在桌面上（、与桌面接B触）。（1）折痕与桌面垂直吗（2）如AD何翻折才能使得折痕与桌面所在的平面AD垂直”经过实验学生会明白，问题（1）的答案是“不一定”；也正是因为“不一定”，所以要回答问题（2）“如何翻折”，这正是判定直线与平面垂直的条件。接着，教科书又设置了“思考（1）有人说，折痕所在的直线与桌面所在的平AD面上的一条直线垂直，就可以判断垂直AD，你同意他的说法吗（2）如图4，由折痕，翻折之后垂直关系不变，即BCAD，由此你能得到什么结论”、这个活动的安排也体现了学生在操作中辨析、思考折纸过程的教学本质，操作结果体现的几何要素（线、面）的相互关系。DCBADCBA图3DCBA图4因此，“操作确认”中不仅有合情推理的要求，也有逻辑推理的要求，教学活动思维更全面了。三位教师对“实验”“思考”有不同的处理。教师甲的处理教师“定义”通常可以作为判定的依据。如果用“定义”判定直线是否与平面垂直，你们说方便不方便学生众不方便。教师；不方便在哪里学生众任意一条（难穷尽）。教师要检验一条直线与平面内每一条直线都垂直很难做到，所以，我们有必要寻找更为简便可行的方法来判定直线是否与平面垂直。于是，就想到要减少直线的条数，最理想的是减少到一条。“一条直线与平面内的一条直线垂直，这条直线就与这个平面垂直”可以吗学生众不可以。教师可以减少到几条呢学生众两条。教师（仍注意从思考方法上引导）请大家拿出三角形纸片，我们来做实验。（教师边演示边说明如何做实验）任意翻折得到一条折痕，然后把纸片竖立放在桌面上，下面的两条边紧贴桌面，观察折痕是否与桌面垂直学生活动，教师巡视。学生不垂直。教师为什么你认为这条折痕与桌面不存在呢学生这条直线与桌面所成的角不是。09（涉及未定义的“直线与平面所成角”的概念，教师引导不当，使学生的观察指向不明，说明实验的目的要解决什么问题不太明确）教师（替学生解释）他的意思是这条折痕与这条直线（）不成。因为直线与BC09平面垂直意味着这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。那么怎样翻折才能使这条折痕与桌面垂直学生继续活动。教师巡视，看到一名学生以上的高度为折痕，拿过来展示，并BC帮助解释，这是使折痕后下面的两边重合（图）；看到另一名学生以图的方式翻折，也拿过来展示，并帮助学生解释，折痕与垂直。（这里，教师给出的折法的EDBC解释是不当的，应当让学生自己解释）教师你认为，使折痕与桌面所在的平面垂直的关键因素或这两种折法共同特征是什么学生，。CDAB教师你认为它们是垂直的学生下面两条边（指、）重合。DC教师“重合”为什么就说明直线，CDA呢BDA学生的一半是。01809DCBA图5ABDCE图6教师我们如果把折痕抽象成一条直线，把下面的两条直线，那么，你认为直线与L平面垂直的条件是什么学生一条直线如果与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直（图）。教师（展示图）直线不经过直线、LM的交点，但是仍然保证、，是否也NMN有L学生用“可以平移”说明结论成立。教师只要保持与平面内的两条相交直线垂直就可以了，至于是否与这两条直线有公共点没有关系。你能给出直线与平面LMON图7LMON图8垂直的判定定理吗学生一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。教师板书判定定理，说明判定定理只要求平面内有两条相交直线与该平面垂直即可，比定义要方便得多。点出关键之处线不在多，相交就行。指出用定义判定直线和平面垂直与用判定定理判定直线和平面垂直的共同点都是由“线线垂直”得到“线面垂直”，这是空间问题转化为平面问题的思想方法。教师乙的处理教师我们要考查一条直线与一个平面就要考查这条直线与平面内的直线是否都垂直，但是平面内的直线有无数条，我们不可能对无穷多条的直线是否与这条直线垂直做一一验证，怎么办学生任意取一条。教师同学们看，这条直线不与平面垂直吧（教师用教具演示，表示平面的一条斜线），但我在这个平面内任意取一条直线，与这条直线（平面的斜线）垂直，这条直线与平面并不垂直。因为前面学习过的直线与平面平行的判定，平面外的一条直线只要与平面内的一条直线平行，那么这条直线就与平面平行，因此，这名同学的想法可能受这个定理的影响。一条直线不行，我们来考虑两条。如果平面内的两条直线是平行的，都与这条直线垂直，还是不能保证这条直线与平面垂直吧，那么我们就考虑两条相交的直线。我这里有一个三角形的纸片，这样折一下（折痕不垂直于底边），然后把折后的纸片放在桌面上，这条折痕与平面是什么关系垂直吗学生众不垂直。教师你有没有办法将三角形纸片折一下，使折后放在桌面上折痕与桌面垂直呢同学们试验一下。学生活动，教师巡视。提问一学生“你是怎么折的”学生作一条高线，沿着高线折（图9）。教师这就为我们判定直线与平面垂直提供了依据。由于高线AD与边BC垂直，翻折后折痕AD仍然与底边所分成的两部分DB、DC保持垂直，同时AD与BD、DC都相交，BD与DC也相交。如果BD与DC是相交的，另外一条直线与它们不是相交的，能不能保证这条直线与平面垂直学生众能。教师可以把它们平移成为前一种情形。这就为我们判定直线与平面垂直提供了一个依据。板书直线与平面垂直的判定定理。33教师丙的处理教师我们如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直（展示操场上旗杆的图片）学生用定义。教师用定义，我们就要判断旗杆是否与地面上的任意一条直线都垂直，能做到吗学生不能。教师为什么不能学生直线的条数是无限的。教师但人的生命是有限的。我们现在不能用定义来解决这个问题，就要寻找新的办法。首先要解决这个“无限”的问题，就是要转化为“有限”。有限的情况至少是几条学生众两条。教师两条就行吗学生众要相交。教师平行不行。下面考查相交的情形。（展示跨栏及跳高架图片）问观察跨栏、简易木架等实物，你认为其竖杆能竖直于地面的原因是什么由此你能得出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗学生因为跨栏的支柱与地面上的两条直线垂直。教师制作跨栏时，支柱与放在地面上的两条横边都是垂直的。你能由此得到判断直线与平面垂直的方法吗学生如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。教师（板书定理）定理中特别要注意的地方在哪里学生两条，相交。教师直线与平面上的直线不相交呢学生平移。34不同处理方法的比较与思考教师甲的教学过程可以概括为感受用定义作判断不方便，引起探索判定定理的需要讨论平面内的直线减到多少条才合适折纸实验讨论不同折法的共同特点变式（任意两条相交直线）获得判定定理辨析定理。教学过程设计比较合理，体现了“直观感知，操作确认”的认知过程。比较遗憾的是第一，折纸活动中对操作、观察的目的强调不够，没有明确提出“折纸结果所反映的数学本质是什么”的思考任务，因此“感知”“确认”不充分，直接影响了活动的数学思维层次；第二，没有给学生自己解释折纸方法的理由和自主辨析定理的机会，采取了代替学生说明理由、“告诉”学生注意事项的做法，这也损害了推理能力（包括逻辑推理能力）的培养。教师乙的教学设计也有“引起探索判定定理的需要折纸活动得出定理”的过程，但在教学时基本采取了“我讲你听”的方式，特别是在学生提出“作一条高线，沿着高线折”时，没有要求学生概括这样做的本质，而是教师自己提出“这就为我们判定直线与平面垂直提供了依据”从而使折纸活动的意义大打折扣。我们认为，这是对教科书设置“探究”的意义未能充分理解的表现，结果是学生的活动不充分，“直观感知，操作确认”未落实，教学目标的达成度也就较低了。教师丙没有采纳教科书设置的“探究”活动，变“直面感知，操作确认”为观察教师提供的图片，并经过教师讲解而“观察确认”，因此很快得出判定定理。在给出判定定理后，教师安排学生折纸，这就使“折纸活动”成为验证判定定理的过程。由于没有“操作”这一环节，因此学生对定理的感知很不充分，对判定定理的必要体验没有建立起来。另外，“操作确认”得出的结论作为定理是需要证明的。在得到判定定理后，教师应当说明“这个定理需要证明在后续的学习中会给出证明。”总之，在三位教师的教学设计中，对判定定理的“直观感知，操作确认”都是有安排的。但是由于课堂中没有让学生充分展开思维活动，特别是没有充分挖掘“折纸”活动的数学内涵，没有明确折纸的目的、“观察”的角度、“确认”的途径等，导致学生缺乏从折纸结果概括判定定理的思维过程，因此极大降低了本节课的数学思维水平。4课本例2的教学教科书在得出判定定理后，安排了例2如图10，已知，求证。ABB这是判定定理的一个典型应用题，以往教科书把它处理成一个定理。41教师甲的教学教师怎样证明它证明垂直于平面B只要怎么样（这样的问题指向是非常不明确的）学生在平面内画两条相交直线，证明直线与它们垂直就行。B教师与该生边议论边板书证明过程。教师能否用定义来证明呢只要画一条，但必须说明这是平面内的任意一条。42教师乙的教学教师出示例2，自己读题目，很快（22秒钟以后）提问一学生。这名学生正确地解答了问题（在平面内画出两条相交直线、）。MN教师很好。如果证明直线根B据判定定理，只要在平面内找两条相交直线；如果根据定义的话，找平面内任意一条直线都与直线超重教师给学生讲解、B分析，板书解答，学生观看。43教师丙的教学教师先让学生板演“求证与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直”