第11章第2节幂级数

2020年5月3日星期日,1,幂级数是一种特殊形式的函数项级数.,主要内容,一.幂级数及其收敛半径,二.幂级数的性质,三.函数的幂级数展开,四.基本初等函数的幂级数展开,2020年5月3日星期日,2,一.幂级数及其收敛半径,1.定义,2020年5月3日星期日,3,极限值小于1或大于1决定它收敛或发散,2020年5月3日星期日,4,上述结果可以归结为以下定理.,收敛半径,2020年5月3日星期日,5,定理1(柯西-阿达马(Hadamard)定理),可见,对于任何一个幂级数,都存在一个以为中心,以R为半径的区间,在区间的端点处,幂级数的敛散性需作进一步判断.,由定理1还可以得到下面的结论(阿贝尔第一定理),在此区间内绝对收敛,而在此区间外,幂级数发散.,称上述R为幂级数的收敛半径.,2020年5月3日星期日,6,定理2(阿贝尔第一定理),距离,2020年5月3日星期日,7,例1,解,于是级数,收敛半径,2020年5月3日星期日,8,例2,证明,例3,证明,2020年5月3日星期日,9,以上结论证明与柯西判别法导出收敛半径相仿,这里是利用达郎贝尔判别法导出.,2020年5月3日星期日,10,例4,解,2020年5月3日星期日,11,定理3(阿贝尔第二定理),三个结论,2020年5月3日星期日,12,证明,2020年5月3日星期日,13,2020年5月3日星期日,14,二.幂级数的性质,由收敛半径定义和A-第二定理可以证明幂级数在收敛域内的以下两个性质:,性质1,2020年5月3日星期日,15,性质2,逐项微分.,和,2020年5月3日星期日,16,并且逐项积分和逐项求导后的级数(仍是幂级数),其收敛半径仍为R.(即收敛域不变),例5,2020年5月3日星期日,17,例6,解,技巧.难度.,2020年5月3日星期日,18,三.函数的幂级数展开式,幂级数形式简单而且有很多特殊性质,这就使我们想到,能否把一个函数表示为幂级数形式来进行研究.,2020年5月3日星期日,19,注意:,2020年5月3日星期日,20,回答:不一定.,如:,可以验证它在原点任何邻域内有任意阶导数,那么,在什么条件下,一个任意阶可导的函数,才能够表示为幂级数形式呢?,2020年5月3日星期日,21,分析:,这就是函数的幂级数展开式,右端的幂级数称为的泰勒级数.,2020年5月3日星期日,22,以上分析表明,一个函数在某个区间是否可以展开成幂级数,关键在于余项在这个区间内是否趋于0.,定理4,若在某邻域内有任意阶导数,则在此邻域内有,2020年5月3日星期日,23,证明,证明步骤,2020年5月3日星期日,24,推论1(拉格郎日余项),恒有固定符号,应用积分第一中值公式即得.,推论2(柯西余项),2020年5月3日星期日,25,四.基本初等函数的幂级数展开,讨论一些基本初等函数能展开成泰勒级数的范围,在实际应用中往往取,这时的泰勒级数称为麦克劳林级数,L-余项,C-余项,积分余项,2020年5月3日星期日,26,(1),L-余项,2020年5月3日星期日,27,(2),2020年5月3日星期日,28,2020年5月3日星期日,29,(3),(例5),(4),2020年5月3日星期日,30,(5),(柯西余项),2020年5月3日星期日,31,我们要说明的是:,2020年5月3日星期日,32,2020年5月3日星期日,33,例7,解,需要取多少项才能达到要求的精度呢?,2020年5月3日星期日,34,经过计算知,只要取n=9,并取七位小数进行计算,就可以得到e的精确到六位小