【步步高】高考数学一轮总复习(北师大版)【打印版】

高考数学总复习一轮复习资料北师大版目录专题1 集合与常用逻辑用语- 1 -1.1 集合的概念与运算- 1 -2 命题及其条件、充分条件与必要条件- 3 -3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词- 5 -专题2 函数概念与基本初等函数- 7 -1 函数及其表示- 7 -2 函数的单调性与最值- 9 -3 函数的奇偶性与周期性- 11 -4 二次函数与幂函数- 13 -5 指数与指数函数- 15 -6 对数与对数函数- 17 -7 函数的图像- 19 -8 函数与方程- 22 -9 实际问题的函数建模- 23 -专题3 导数及其应用- 25 -1 导数的概念及运算- 25 -2 导数的应用- 27 -2.1 导数与函数的单调性- 27 -2.2 导数与函数的极值、最值- 29 -3 定积分与微积分基本定理- 33 -专题4 三角函数、解三角形- 34 -1 任意角、弧度制及任意角的三角函数- 34 -2 同角三角函数基本关系式及诱导公式- 36 -3 三角函数的图像与性质- 38 -4 函数yAsin(x)的图像及应用- 40 -5 两角和与差的正弦、余弦正切公式- 42 -6 简单的三角恒等变换- 44 -7 正弦定理、余弦定理- 46 -8 解三角形的综合运用- 48 -专题5 平面向量- 50 -1 平面向量的概念及线性运算- 50 -2 平面向量基本定理及坐标表示- 52 -3 平面向量的数量积- 54 -4平面向量应用举例- 56 -专题6 数列- 58 -1 数列的概念与简单表示法- 58 -2 等差数列及其前n项和- 60 -3 等比数列及其前n项和- 62 -4 数列求和- 64 -专题7 不等式- 66 -1 不等关系与不等式- 66 -2 一元二次不等式及其解法- 68 -3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题- 70 -4 基本不等式及其应用- 72 -专题8 立体几何与空间向量- 74 -1 简单几何体的结构、三视图和直观图- 74 -2 空间图形的基本关系与公理- 76 -3 平行关系- 78 -4 垂直关系- 80 -5 简单几何体的面积与体积- 82 -6 空间向量及其运算- 84 -7 立体几何中的向量方法- 86 -7.1 证明平行与垂直- 86 -7.2 求空间角和距离- 88 -专题9 平面解析几何- 90 -1 直线的方程- 90 -2 两条直线的关系- 92 -3 圆的方程- 94 -4 直线与圆、圆与圆的位置关系- 95 -5 椭圆- 96 -6 抛物线- 98 -7 双曲线- 101 -8 曲线与方程- 103 -9 圆锥曲线的综合问题- 105 -专题10 计数原理- 119 -1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理- 119 -2 排列与组合- 120 -3 二项式定理- 122 -专题11 统计与统计案例- 124 -1 随机抽样- 124 -2 统计图表、用样本估计总体- 126 -3 变量间的相关关系、统计案例- 128 -专题12 概率、随机变量及其分布- 130 -1 随机事件的概率- 130 -2 古典概型- 132 -3 几何概型- 134 -4离散型随机变量及其分布列- 135 -5 二项分布及其应用- 137 -6离散型随机变量的均值与方差、正态分布- 139 -专题13 推理与证明、算法、复数- 141 -1 归纳与类比- 141 -2综合法与分析法、反证法- 143 -3 数学归纳法- 145 -4 算法与算法框图- 147 -5 复数- 149 -专题14 系列4选讲- 151 -1 几何证明选讲- 151 -1.1 相似三角形的判定及有关性质- 151 -1.2 直线与圆的位置关系- 152 -2 坐标系与参数方程- 153 -2.1 坐标系- 153 -2.2 参数方程- 154 -3 不等式选讲- 155 -3.1 绝对值不等式- 155 -3.2 不等式的证明- 156 -专题1 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN(或N*)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或 B=A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个.(2)ABABAABB.易错警示系列 1.遗忘空集致误典例设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR.若BA，则实数a的取值范围是_.易错分析集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B的情况，导致漏解.解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a0；条件q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是()A.1，) B.(，1C.1，) D.(，3解析(1)由(a1)21解得0a2，p：0a2.当a0时，ax2ax10对任意xR恒成立；当a0时，由得00，得x1，由q的一个充分不必要条件是p，可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.x|xax|x1，a1.答案(1)A(2)A温馨提醒(1)本题用到的等价转化将p，q之间的关系转化成p，q之间的关系.将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到.方法与技巧1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用AB与BA；BA与AB；AB与BA的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件.失误与防范1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：p且q；p且q的否定：p或q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：pqpqp或qp且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假高频小考点 1.常用逻辑用语及其应用一、命题的真假判断典例已知命题p：存在xR，x212x；命题q：若mx2mx10恒成立，则4m0，那么()A.“p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析由于x22x1(x1)20，即x212x，所以p为假命题；对于命题q，当m0时，有10，a1)f(x)0logf(x)g(x)f(x)0，且f(x)1，g(x)0 tan f(x)f(x)k，kZ思想与方法系列 2.分类讨论思想在函数中的应用典例(1)(2014课标全国)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.(2)(2015山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B.0,1C. D.1, )解析(1)当x1时，ex12，解得x1ln 2，x1.当x1时，2，解得x8，1x8.综上可知x(，8.(2)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.答案(1)(，8(2)C温馨提醒(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.方法与技巧1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解.失误与防范1.复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的当x1f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.2.函数的最值前提函数yf(x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)对于任意xD，都有f(x)M.(3)存在x0D，使得f(x0)M；(4)对于任意xD，都有f(x)M.结论M为最大值M为最小值答题模版系列 1.确定抽象函数单调性解函数不等式典例(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数.6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2).12分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(2x)的x的取值范围是_.易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误：由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误.解析(1)f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2)画出f(x)的图像，由图像可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1).答案(1)1(2)(1，1)温馨提醒(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论.保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系.弄清最终结果取并集还是交集.方法与技巧1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.失误与防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.应用时要注意函数的定义域并进行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.4 二次函数与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，f(x)ax22x图像的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图像的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增.f(x)minf().当1，即0a1时，f(x)ax22x图像的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减.f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图像的开口方向向下，且对称轴x1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)幂的运算性质：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，其中a0，b0，m，nR.2指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)是R上的增函数(7)是R上的减函数思想与方法系列 4换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数yxx1在区间3,2上的值域是_(2)函数的单调减区间为_思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设tx，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求解析(1)因为x3,2，所以若令tx，则t，故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数值域为.(2)设ux22x1，yu在R上为减函数，函数的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1答案(1)(2)(，1温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化方法与技巧1通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值，再进行比较2指数函数yax (a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(2)对数的性质 N ；logaaN N (a0且a1).(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3.对数函数的图像与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0(6)是(0，)上的增函数(7)是(0，)上的减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图像关于直线 yx 对称.高频小考点 2.比较指数式、对数式的大小典例(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A.cba B.abc C.bac D.acbc B.bac C.acb D.cba(3)已知a，b，c，则()A.abc B.bac C.acb D.cab思维点拨(1)可根据幂函数yx0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小.(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式.解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以balog221，blog2log210,0c1，bclog3log43.6.方法二log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于y5x为增函数，.即，故acb.答案(1)C(2)C(3)C温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1.对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0.2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y1交点的横坐标进行判定.失误与防范1.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.7 函数的图像1.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像.2.图像变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a0且a1)ylogax(a0且a1).yf(x)y|f(x)|.yf(x)yf(|x|).(3)伸缩变换yyf(ax).yf(x)yaf(x).高频小考点 3.高考中的函数图像及应用问题一、已知函数解析式确定函数图像典例函数f(x)2xsin x的部分图像可能是()思维点拨根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图像.解析方法一f(x)2xsin xf(x)，f(x)为奇函数，排除B、C，又0x0，排除D，故A正确.方法二f(x)2cos x0，f(x)为增函数，故A正确.答案A温馨提醒(1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想.(2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.二、函数图像的变换问题典例若函数yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x1)的图像大致为()思维点拨从yf(x)的图像可先得到yf(x)的图像，再得yf(x1)的图像.解析要想由yf(x)的图像得到yf(x1)的图像，需要先将yf(x)的图像关于x轴对称得到yf(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到yf(x1)的图像，根据上述步骤可知C正确.答案C温馨提醒(1)对图像的变换问题，从f(x)到f(axb)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别.(2)图像变换也可利用特征点的变换进行确定.三、函数图像的应用典例(1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1,1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)(2)设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_.思维点拨(1)画出函数f(x)的图像观察.(2)利用函数f(x)，g(x)图像的位置确定a的取值范围.解析(1)将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图像，如图，观察得到，f(x)为奇函数，递减区间是(1,1).(2)如图，作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图像，观察图像可知：当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，).答案(1)C(2)1，)温馨提醒(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质.(2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图. 方法与技巧1.列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等.2.合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系.(2)用图函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况.失误与防范1.函数图像平移的方向和大小：函数图像的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(2x)的图像到f(2x1)的图像是向右平移个单位.2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.8 函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.2.二分法对于在区间a，b上连