2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积讲义苏教版.docx

3.1.5空间向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别(易错点)1.通过数量积的概念、性质和运算律的学习，培养逻辑推理素养2.借助空间角、距离等问题，提升数学运算素养.1空间向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b，a，b的范围是0，如果a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.2空间向量的数量积(1)数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)数量积的性质(1)cosa，b(a，b是两个非零向量)(2)abab0(a，b是两个非零向量)(3)|a|2aaa2.(3)数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)(R)；(3)a(bc)abac.3数量积的坐标表示(1)若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)abx1x2y1y2z1z2.(2)abab0x1x2y1y2z1z20(a0，b0)(3)|a|.(4)cosa，b(a0，b0)(2)空间两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB.思考：(1)若ab0，则一定有ab吗？(2)若ab0，则a，b一定是锐角吗？提示(1)若ab0，则不一定有ab，也可能a0或b0(2)当a，b0时，也有ab0，故当ab0时，ab不一定是锐角1已知正方体ABCDABCD的棱长为a，设a，b，c，则，等于()A30B60C90D120DBDC是等边三角形，120.2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A.1 B. C. D.Dkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k.3若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则_，_.(1，1，1)(1，1，1)，|.4已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.cosa，b.所以a，b.求空间向量的数量积【例1】已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)；(2).思路探究法一(基向量法)：与，与的夹角不易求，可考虑用向量，表示向量，再求结论即可法二(坐标法)：建系求相关点坐标向量坐标数量积解法一(基向量法)：如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，(0,4,0)，(1,4,1)，(2,2,2)，(2,0,2)，(1)0(1)440116.(2)2220220.解决此类问题的常用方法1基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量2坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可1在上述例1中，求.解法一：(abc)|a|2|b|22.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，(1,2,1)，(2,2,0)，1222102.利用数量积求夹角和距离如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的长；(2)求与的夹角的余弦值思路探究求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用解(1)，|2()2|2|2|22()4232522(0107.5)85.|.(2)法一：设与的夹角为，ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos .法二：设a，b，c，依题意得(abc)(ab)a22abb2acbc160945cos 6035cos 6016910，cos .1求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通过向量运算求|a|.2对于空间向量a，b，有cosa，b.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，故a，b时，它们相等；而当a，b时，它们互补2如图，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设a，b，c.(1)用a，b，c分别表示向量，；(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值解(1)()()()(ac)(bc)(ab2c)，()()(ab)b(a2b)(2)设棱长为1，即|a|b|c|1且a，bb，cc，a，则|.又(ab2c)(a2b)(a2ab2ac2ab2b24bc)，cos，.异面直线DM与CN所成角的余弦值为.利用数量积解决平行和垂直问题已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且a与c(2，2，)垂直，求a.思路探究利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解解(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2)向量平行与垂直问题主要有两种题型1平行与垂直的判断2利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用3如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中点求证：A1BC1M.证明如图所示，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，2)，B1(0,1,2)，则M，2，于是(1,1，2)，00，故A1BC1M.1空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解3空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围注意：(1)abacbc(向量的数量积不满足消去律)；(2)abka(3)(ab)ca(bc)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)在ABC中，B.()(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量()(4)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)2已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3D3B由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.3已知