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文档简介
数理统计中常用的分布除正态分布外,还有三个非常有用的连续型分布,即,数理统计的三大分布(都是连续型).,它们都与正态分布有密切的联系.,!,在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面各章的基础.,第四节三大抽样分布及常用统计量的分布,(卡方)分布,定义1:设总体,是的一个样本,则统计量,的概率密度函数为,则称统计量服从自由度为n的分布,记作,其图形随自由度的不同而有所改变.,分布密度函数的图形,注:自由度是指独立随机变量的个数,,性质1:2分布的数学期望与方差,设22(n),则E(2)=n,D(2)=2n.,性质2:2分布的可加性,设,则,定理1设(X1,X2,Xn)为取自正态总体XN(,2)的样本,则,证明,由已知,有,XiN(,2)且X1,X2,Xn相互独立,,则,由定义1:得,定理3:设(X1,X2,Xn)为来自正态总体XN(,2)的样本,则,(1)样本均值与样本方差S2相互独立;,(4.1)式的自由度为什么是n-1?,从表面上看,,但实际上它们不是独立的,,它们之间有一种线性约束关系:,=0,这表明,当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时,剩下的一个的取值就跟着唯一确定了,故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.,定理3:设(X1,X2,Xn)为来自正态总体XN(,2)的样本,则,(1)样本均值与样本方差S2相互独立;,与以下补充性质的结论比较:,性质设(X1,X2,Xn)为取自正态总体XN(,2)的样本,则,其几何意义见图5-5所示.,其中f(x)是2-分布的概率密度.,显然,在自由度n取定以后,的值只与有关.,2分布的上侧分位点,例如,当n=21,=0.05时,由附表3(P254)可查得,,二、t分布,定义3,设随机变量XN(0,1),Y2(n),且X与Y相互独立,则称统计量,服从自由度为n的t分布,,记作,t分布的概率密度函数为,Tt(n).,其图形如图5-6所示(P106),,其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.,当n较大时,t分布近似于标准正态分布.,定理4,设(X1,X2,Xn)为来自正态总体XN(,2)的样本,则统计量,证,由定义3得,定理5,设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是来自正态总体N(1,2)和N(2,2)的样本,且它们相互独立,则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差.,t分布的上侧分位点,对于给定的(045.,一般的t分布临界值表中,详列至n=30,当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.,三、F分布,服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,,概率密度函数,其中,其图形见图5-9.(
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