应用数学模型

*第七章应用数学模型,第一节欧拉(Euler)四面体问题,第二节交通流量的计算模型,第三节投入产出分析模型,第四节小行星的轨道模型,第五节人口迁移的动态分析模型,第六节常染色体遗传模型,第七节莱斯利(Leslie)种群模型,第八节Drer幻方,1欧拉(Euler)四面体问题,问题：如何用四面体的6条棱长去表示它的体积？,返回,上一页,下一页,解建立如图所示的直角坐标系设A，B，C三点的坐标分别为(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2)和(a3，b3，c3)，并设四面体OABC的6条棱长分别为l，m，n，p，q，r.,将第二个行列式进行转置后再相乘，得,返回,上一页,下一页,根据向量的数量积的坐标表示，有,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,上式即为欧拉的四面体求积公式.,由余弦定理，可得,例1一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得6条棱长分别为p14米，q13米，r11米，l10米，m15米，n12米由此得,返回,上一页,下一页,V195(米3),2交通流量的计算模型,假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2)全部流入一个节点(道路交汇处)的流量等于全部流出此节点的流量试建立数学模型确定该交通网络中未知部分的具体流量,问题：某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数)如下图所示,返回,上一页,下一页,建模与计算由网络流量守恒的条件假设，所给问题满足如下线性方程组,返回,上一页,下一页,系数矩阵为,返回,上一页,下一页,增广矩阵的行最简形矩阵为,返回,上一页,下一页,其对应的齐次线性方程组为,返回,上一页,下一页,取(x5，x8)为自由未知量，分别赋两组值为(1,0)，(0,1)，得齐次线性方程组的基础解系为：,其对应的非齐次线性方程组为,返回,上一页,下一页,赋值给自由未知量(x5，x8)为(0,0),原方程组的通解为,返回,上一页,下一页,3投入产出分析模型,问题：在一个国家或区域的经济系统中，各部门(或企业)既有投入又有产出生产的产品满足系统内部各部门和系统外的需求，同时也消耗系统内各部门的产品应如何组织生产？,数学模型：我们将整个经济系统分成n个经济部门,xi(i1,2，n)表示第i个部门的总产出；yi(i1,2，n)表示外部对第i个部门的需求；aij(i，j1,2，n)表示第j个部门生产单位产品需要消耗的第i个部门的产品量；zj(j1,2，n)表示第j个部门的新创造的价值,返回,上一页,下一页,用总和号表示可以写成,这个方程组称为产品分配平衡方程组,返回,上一页,下一页,用总和号表示可以写成,这个方程组称为产品消耗平衡方程组,如果,返回,上一页,下一页,分别称矩阵A为直接消耗系数矩阵，x为产出向量，y为需求向量，z为新创造价值向量,xAxy，或(EA)xy,其中矩阵E为单位矩阵，(EA)称为列昂季耶夫矩阵.,x(EA)1y,令BAdiag(x1，x2，xn)，D(1,1，1)B，分别称矩阵B为投入产出矩阵，D为总投入向量，则zxD.,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,4小行星的轨道模型,问题：一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观测，测得轨道上5个点的坐标数据如下表，试确定小行星的轨道方程.,分析与建模：小行星的轨道为一椭圆,返回,上一页,下一页,a1x22a2xya3y22a4x2a5y10.,写成矩阵的形式：Axb，,其中,返回,上一页,下一页,求解这一线性方程组，即可得椭圆方程的系数,矩阵C的特征值为1，2，|C|，|D|分别为矩阵C与D的行列式的值则可得,返回,上一页,下一页,由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点，从而可得到小行星的近日点距离为hac，远日点距离为Hac.,计算求解,使用计算机可求得(a1,a2,a3,a4,a5)(0.6143,0.3440,0.6942,1.6351,0.2165),返回,上一页,下一页,C的两个特征值为10.3080，21.0005，C的行列式值|C|0.3081.,返回,上一页,下一页,D的行列式值|D|1.8203.于是，椭圆长半轴a19.1834，短半轴b5.9045，半焦距c18.2521.从而小行星的近日点距离为hac0.9313，远日点距离为Hac37.4355,返回,上一页,下一页,5人口迁移的动态分析模型,问题：对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势：每年农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁往农村现在总人口的60%住在城镇假设城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇的人口所占总人口比例是多少？两年以后呢？10年以后呢？最终呢？,解设城乡人口总数为N，开始时，农村人口为y0，城镇人口为z0，则y0z0N.于是y00.4N，z00.6N.,设n年以后，农村人口为yn，城镇人口为zn，则一年后的情形是,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,知矩阵A的两个特征值分别为，21，,返回,上一页,下一页,从而n年后人口的分布为,返回,上一页,下一页,令n，则有,问题1某植物园中的植物的基因型为AA，Aa，aa.人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代已知双亲体基因型与其后代基因型的概率如下表所示.问：经过若干年后3种基因型分布如何？,返回,上一页,下一页,6常染色体遗传模型,返回,上一页,下一页,所以M的特征值为：,返回,上一页,下一页,于是MnPDnP1.,返回,上一页,下一页,显然，当n时，由上述三式得到an1，bn0，cn0，,返回,上一页,下一页,7莱斯利(Leslie)种群模型,用矩阵形式表示为,返回,上一页,下一页,称为莱斯利矩阵.,返回,上一页,当时，特征方程可变形为a1n1a2b1n2anb1b2bn1n.,p()0等价于q()1(当0