概率论与数理统计

数理统计,对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值,对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性,第六章数理统计的基本概念,第六章,参数估计(第七章),假设检验(第八章),回归分析(第十一章),方差分析(第九章),推断统计学,总体研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.,X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.,6.1基本概念,6.1,样本从总体中抽取的部分个体.,称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.,用表示,n为样本容量.,样本空间样本所有可能取值的集合.,个体组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用表示.,若总体X的样本满足:,一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是,(1)与X有相同的分布,(2)相互独立,则称为简单随机样本.,简单随机样本,N/n10.,设总体X的分布函数为F(x),则样本,若总体X的密d.f.为f(x),则样本,的联合d.f.为,的联合分布函数为,设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,称,定义,例是未知参数,若,已知,则为统计量.,是一样本,是统计量,其中,则,常用的统计量,为样本均值,为样本方差,为样本标准差,为样本的k阶原点矩,为样本的k阶中心矩,例如,(5)顺序统计量与极差,为样本值,且,定义r.v.,其中,注样本方差与样本二阶中心矩的不同,故,推导,2）,例1从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.,解,令,例1,则,例2在总体中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.,解,故,例2,例3设总体X的概率密度函数为,为总体的样本,求,(2),(3),解(1),例3,近似,(3),由中心极限定理,(2),确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一,正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.,6.2,(1)正态分布,则,特别地,则,标准正态分布的分位数,正态分布的上分位数.,定义,正态分布的双侧分位数.,若,则称为标准,若,则称,为标准,标准正态分布的分位数图形,常用数字,-z/2=z1-/2,(2),分布,(n为自由度),且都服从标准正态分布N(0,1),则,n=1时,其密度函数为,卡分布,n=2时,其密度函数为,为参数为1/2的指数分布.,一般,其中，,在x0时收敛，称为函数，具有性质,例如,分布的性质,n=10,性质,性质,性质,性质,相互独立,则,(3)t分布(Student分布),定义,则称T服从自由度为n的T分布.其密度函数为,t分布,t分布的图形(红色的是标准正态分布),t分布的性质,1fn(t)是偶函数,2T分布的上分位数t与双测分位数t/2均有表可查.,性质,t,-t,t/2,-t/2,(4)F分布,则称F服从为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布.,其密度函数为,定义,令,F分布,m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15,m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10,F分布的性质,例如,事实上,故,求,性质,例1证明,证,例1,证,例2,证明：,设,令,例2,抽样分布的某些结论,()一个正态总体,设总体,样本为()，,结论,(II)两个正态总体,相互独立的简单随机样本.,令,则,则,相互独立的简单随机样本.,的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?,例3设,为使样本均值大于70,解设样本容量为n,则,故,令,得,即,所以取,例3,n=20的样本,(1)求,(2)求,解(1),即,例4,故,(2),故,例5设r.v.X与Y相互独立，XN(0,16),YN(0,9),X1,X2,X9与Y1,Y2,Y16分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量,所服从的分布.,解,例5,从而,例6设总体,的样本,为总体X,解,故,因此,例6,简单随机样本,是样本均值,则服从自由度为n-1的t分布的随机变量为,例7,故应选(B),解,补充作业,其样本均值为,求统计量,1.设为从正态总体XN(,2)中抽取的简单随机样本,的数学期望E(Y).,习题,（转后页）,是来自正态总体的容量为n的两个样本均值,且两样本相互独立,试确定n,使两样本均值之差的绝对值超过