第10章非线性似然估计.ppt

第10章非线性估计与极大似然估计,10.1非线性估计10.2极大似然估计法10.3ARCH与GARCH模型,第10章非线性估计与极大似然估计,10.1非线性估计前面讨论的单方程回归模型中，它们都是关于参数线性的。通常利用普通LS法、加权LS法等估计这些参数。下面将参数线性模型拓宽到本质上非线性的情形，如模型这些模型无法变换为线性模型，因此线性LS不再适用。但误差平方和最小化原则仍然可以施行，所得到的参数估计，我们称为非线性LS估计。考虑一般模型,第10章非线性估计与极大似然估计,其中f是k个自变量X1,X2,Xk和p个参数1,2,p的非线性函数。如果具有Y与X1,X2,Xk的T个观测，利用误差平方和最小化可得参数的非线性LS估计：1、非线性估计的计算方法求解参数的非线性LS估计，要比线性模型的LS估计复杂的多，通常采用数值解法。以下三种方法较常见：直接查找法：是指对不同的参数值比较误差平方和S函数的值，使S最小的那组值就是参数的估计值。这种方法适用于所有参数仅有若干取值的情形。,第10章非线性估计与极大似然估计,直接优化法误差平方和S关于各参数求偏导，得到相应的正规方程通过求解正规方程组，获得参数估计。由于正规方程关于参数是非线性的，通常采用数值解法如梯度法(参数从初始数值集朝使函数值下降最快的方向逼近，亦称最速下降法),第10章非线性估计与极大似然估计,循环线性化法是指将非线性方程在某个参数的初始数值集附近线性化，然后用普通LS法得到参数的新数值集；再把非线性方程在新的数值集附近重新线性化，用普通LS法得到参数更新的数值集，如此循环反复直至数值集变化很小(即数值集收敛)，作为参数的最终取值。其中利用了关于以参数为变元函数的一阶泰勒级数展开式,第10章非线性估计与极大似然估计,上式可变形为这是关于参数的线性模型，用普通LS法可以得到参数的LS解，作为参数新的数值集，替换(10.1)式的初始数值集。如此循环下去直至这里为指定的一个正数，如0.01。,第10章非线性估计与极大似然估计,2、非线性回归方程的评价由于非线性回归方程的残差不再服从正态分布，因此残差平方和也不再服从2分布，原来线性模型中的F分布、t分布不在适用了。但拟合优度R2仍然是有用的3、非线性回归方程的预测一旦得到了非线性方程的估计，就可以用它来预测。因此Y的点预测为,第10章非线性估计与极大似然估计,但由于YT+1不再服从正态分布，因此其预测区间无法类似于第8章那样给出。但通过参数服从正态分布的假定，利用蒙特卡罗模拟方法，可以得到YT+1的一个近似预测区间。下面说明模型的预测区间产生办法。确定蒙特卡罗模拟方程其中0,1,2是最后一次循环线性回归参数的数值解，利用残差平方和及参数估计的标准差构造相应的正态随机变量与0,1,2，它们均值都等于0，标准差为对应值。,第10章非线性估计与极大似然估计,产生与0,1,2的正态随机数，由(10.2)可以计算YT+1的预测值。重复第二步100至200次，获得YT+1的预测值的样本标准差，从而得到YT+1的近似预测区间。10.2极大似然估计法参数极大似然估计，在一般情况下具有一致性和渐近有效性这两个优良性质。1、极大似然估计法现在先从最简单的一元线性模型阐明极大似然估计法,第10章非线性估计与极大似然估计,Yi的密度函数为则似然函数是密度函数在所有N个观测取值的乘积，即极大似然估计的目标是寻找最可能生成样本观测Y1,YN的参数,2的值，即使对数似然函数logL最大的参数值。,第10章非线性估计与极大似然估计,对数似然函数关于参数求偏导可得解出参数,2的值，就得到了对应参数的极大似然估计。不难发现方程组中含,的前两个方程与普通LS估计是一样的，2的极大似然估计为,第10章非线性估计与极大似然估计,对一般非线性模型服从N(0,2)，其对数似然函数定义为类似于一元线性模型可以求出参数的极大似然估计，只是在许多情况下只能得到数值解，但总有有趣的是可以得到各个参数估计方差的近似值,第10章非线性估计与极大似然估计,2、似然比检验下面用极大似然比检验模型中一些参数=0的原假设。用L(UR)表示没有限制条件时对数似然函数的最大值，L(R)表示有限制条件时对数似然函数的最大值，显然有L(UR)L(R)，若原假设成立，两者应十分接近。称为似然比。通常更多地考虑两者的差，即统计量其中m为限制条件个数。如果统计量大于临界值，就认为两者存在较大的差异，即原假设不成立，这些参数不为0。,第10章非线性估计与极大似然估计,3、一个应用：Box-Cox模型考虑下面的Box-Cox模型当参数=1时，模型化为线性模型当趋于0时，有所以对X作类似处理，Box-Cox模型化为对数线性模型,第10章非线性估计与极大似然估计,实际上Box-Cox模型是广义的非线性模型，参数当然也不是随意指定，通常可通过极大似然法获得。下面先考虑Y的似然函数两边对yi求导数可得,第10章非线性估计与极大似然估计,所以Y的对数似然函数为从这个对数似然函数最大化，可以求得的数值解。如果，Yg是Y值N个观测的几何平均；对Y的原始观测进行如下数据变换Y*=Y/Yg，那么线性模型=1：对数线性模型=0：显然,第10章非线性估计与极大似然估计,这样两者的对数似然函数形式(第一项都为0)就完全一致了，,的极大似然估计不仅形式一致且等价于LS估计。这从另一个侧面表明最小误差平方和的参数估计准则，具有很好的性质。对于非线性模型来说，由于R2最大等价于误差平方和最小，拟合优度R2仍是评价一个模型好坏的标准。4、拉格朗日乘数(LM)检验法第5章介绍了用F分布对参数进行联合检验，这一方法也称为Wald检验法(其范围更广)。它从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件(某些参数=0)是否减弱了回归模型的解释能力。而LM检验法，却是从限制条件出发，检验如果向无条件限制方向变化是否能显著提高模型的解释能力。LM检验法也以极大似然函数为基础。,第10章非线性估计与极大似然估计,LM检验法是最大化以下目标函数由极大化的一阶偏导条件可得称为拉格朗日乘数。若限制条件是有效的，加入它们将不导致目标函数最大化值的显著不同，即值将很小，因而有统计量为,第10章非线性估计与极大似然估计,LM检验法可以很容易地用于考虑是否在回归模型中加入另外解释变量的情形。假如已经估计了有条件模型下面考虑对另外q个变量全部或部分加入的无条件模型。对q个变量中每一个系数都等于0的原假设，LM检验法首先计算有条件模型的残差，然后将残差对无条