第四讲单自由度系统的受迫振动

2.2简谐激励作用下的受迫振动,2.2.1振动微分方程2.2.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3旋转失衡引起的强迫振动2.1.4支撑运动引起的强迫振动,受迫振动,激励形式,系统在外界激励下产生的振动。,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。,2.2简谐激励作用下的受迫振动,简谐激振力,振力的幅值，为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为：,具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。,2.2.1振动微分方程,例：,，F0为激,简谐激励的响应全解,有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程,微分方程全解：,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,齐次,非齐次,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,x2(t)有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：,x1(t)有阻尼自由振动运动微分方程的解:,受迫振动的构成：,这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。,可以看出：稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。,2.1.1振动微分方程,代入,其中初始条件：,特解（稳态响应）的求解：,将,得到：,相位差；其中r是激励的频率与系统的固有频率之比,稳态受迫振动的振幅,系统的唯一稳态响应为：,忽略阻尼时（c=0)：,同理，扭转振动微分方程为：,扭转受迫振动的稳态响应为：,对振幅和相位进行无纲量化处理：,等效于F0静止作用在弹簧上产生的静变形,令：振幅放大因子,幅频响应曲线,相频响应曲线,2.2.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论,在低频区和高频区，当1的区域(高频区或惯性控制区)，响应与激励反相；阻尼影响也不大。,3、r1的附近区域(共振区)，急剧增大并在r1略为偏左处有峰值。通常将r1，即0称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，r1时，总有，/2,这也是共振的重要现象。,例题,例质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。,解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。,2.2.3旋转失衡引起的强迫振动,根据达朗贝尔原理，有,=f0,例题,(1),电机作受迫振动的运动方程为,例题,将（1）代入P41（2.54）、（2.55）得到：,幅频特性曲线和相频特性曲线,例题,当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率0时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。,例题,2.2.4支撑运动引起的强迫振动,例：在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为