交通流理论第五章

第五章 连续交通流模型如果从飞机上俯看某条高速公路，我们会很自然地把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。我们知道，流体满足两个基本假设：一是流量守恒，二是速度与密度（或流量与密度）对应。对于交通流，其中第一个假设比较容易证明，而第二个假设的成立需要有一定的条件。本章将推导交通守恒方程，介绍它的解析解法和数值解法，以此为依据还将介绍更精确的动态模型，并详细地讨论交通波理论。第一节 守恒方程一、守恒方程的建立守恒方程比较容易推导，可以采用下面的方法：考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图51所示，两站间距为x,两站之间没有出口或入口（即该路段上没有交通流的产生或离去）。 Dx 站1 站2 图51 用于推导守恒方程的路段示意图设Ni为t时间内通过i站的车辆数，qi是通过站i的流量，t为1、2站同时开始记数所持续的时间。令N = N2-N1，则有： N1/t=q1 N2/t=q2 N/t=q如果x足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量k可以表示如下： 式中（N2N1）前面之所以加上“-”号，是因为如果（N2N1）0，说明从站2驶离的车辆数大于从站1驶入的车辆数，也就是两站之间车辆数减少，即密度减小。换句话说，N与k的符号相反，于是：同时，根据流量的关系，有： qt=N因此 即 假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷小，那么取极限可得： （51）该式描述了交通流的守恒规律,即有名的守恒方程或连续方程，这一方程与流体力学的方程有着相似的形式。如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式： （52）这里的g（x，t）是指车辆的产生（或离去）率（每单位长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。二、守恒方程的解析解法守恒方程51和52可以用来确定道路上任意路段的交通流状态，它把两个互相依赖的基本变量密度k和流率q与两个相互独立的量时间t和距离x联系了起来。但是，如果没有另外的附加方程或假设条件，对方程52的求解是不可能的。为此我们把流率q当作密度k的函数，即q=f（k）。相应地u=g（k），这是一个合理的假设，但只有在平衡状态时才能成立。下面介绍守恒方程的解析解法。回到式（52）的求解。考虑下面的基本关系式： (53)易知,如果在式(52)中u=f（k），我们将得到只有一个未知量的方程，可以对其解析求解。针对一般情况的解析解法很复杂，实际应用起来也不方便。为了简化求解过程，我们只考虑没有交通产生和离去的影响，即g（x，t）=0的情况，这样我们可以把守恒方程化为如下形式： （54）或 (55)应该指出的是f（k）可以是任一函数，没有必要特意构造条件使得结果通用，例如采用格林希尔治速度密度线性模型，式（54）就变为： （56）式中：uf 自由流速度；kj 阻塞密度。式（54）是一阶拟线性偏微分方程，可以通过特征曲线方法求出其解析解，具体的解析解法例子将在后面介绍。三、守恒方程的数值解法根据前面的介绍，我们可以看出解析解法的主要缺点是推导过程中要求的条件过于简化，这包括简单的初始交通流条件、车辆的到达和离开模型、没有出口和入口、简单的流率密度关系等。更重要的是，在真实条件下经常遇到很复杂的情况，如存在转向车道和出入口匝道等等，因此要想求得精确的解析解是非常困难的。通常对于可压缩流体的类似问题，可以通过对状态方程进行数值求解来解决。该方法考虑到的情况包括在实际中可能遇到的复杂情况，即对真实到达和离开模型的处理、更复杂的uk模型以及实验条件等。数值计算思路如下：首先把所要考虑的道路离散成若干很的路段x，并按连续时间增量t来更新离散化的网络中每一节点的交通流参数值。D3D2D112jj+1j-2j-1jj+1j+2j+3BAABDxj交通信号上游虚拟路段下游虚拟路段图52 道路空间离散实例如图52所示，首先从空间上对路段进行离散化处理，然后再将时间离散，即：T=ntT为观测周期，并满足下面的方程： （57）式中：在j路段，t=t0+nt时刻的密度、流量； t 0初始时刻； t，x时间和空间的增量，要求x/t大于自由流速度； 路段j在t=t0+nt的净流率（产生率减去离去率）。如果密度确定，在t0+ t（n+1）时刻的速度由平衡态速度密度关系获得，即： (58)例如，对于格林希尔治线性模型有： (59)式中： uf 自由流速度；阻塞密度。需要指出的是，式（58）适用于任何速度密度模型，包括不连续模型；如果无法获得u的解析表达式，那么可以从uk曲线通过数值方法获得其数值解。t0+ t（n+1）时刻的流率可从下面的基本关系式获得： (510) 数值解法所需的基本数据可以由检测设备获得。数值解法的应用比较广泛，比较有代表性的应用是分析多车道交通流的动态特征。四、多车道流体力学模型1模型设计考虑一个同向2车道路段，如图53所示。xjJj+1jj-112x车道2（i=2）车道1（i=1）图53 同向2车道高速公路空间离散图示假定每一条车道都满足守恒方程，两车道之间车流的交换代表所研究车道的车辆产生和离去。对每一车道分别写出守恒方程： (511)式中：qi（x，t）第i车道的流率（i=1，2）；ki（x，t）第i车道的密度（i=1，2）；Qi（x，t）车道交换率（i=1，2）(i车道之间的车辆变化率)，正值表示进入， 负值表示离开。从上述条件可得： (512)这里是敏感系数，单位是时间的倒数，ki0第i车道的平衡密度。由于系统封闭，流量守恒，因此很容易看出Q1+Q2=0。2模型改进上面的模型并没有考虑入口或出口匝道引起的车辆产生或减少。此外，当两车道密度相等时，如果平衡密度k10k20，根据这一模型判断将发生车辆改变车道的现象。而事实上，当两车道密度值相差不大时，车辆一般不会改道行驶。因此，要想使这个模型更符合实际情况，必须对其加以改进，这可以从以下几个方面考虑：1）敏感系数是可变的，它随两车道之间密度的不同而不同；2）考虑进出口问题；3）考虑时间滞后影响。这样，上面的公式被修改为： (513)这里g（x，t）为车道1（右侧车道）内的匝道口净流率，驶入为正，驶出为负，且有： 式中：是恒定值，如果密度值低于它，车流将不变换车道；是相互作用滞后时间；kjam是阻塞密度。 在这个模型里假设在车道1车辆可以驶入或离开，该模型可以通过时间和空间离散数值求解。图53中给出了包括一个入口匝道的两车道高速公路路段的空间离散过程，由此求出的数值解是： （514） （515）式中： ； i=1,2；与相对应的平衡速度；s车辆在第i车道的第j节点进行车道变换所延迟的时段数； t=t0+nt时刻，第i车道,第j节点的密度，t0是初始时间。如果使用格林希尔治线性模型，则很容易证明。随着计算每一时间段的密度，流率和速度可以从下面两式得到： (516）和 （517）求解所需的上游或下游边界条件应与车辆的到达和离开相对应，它们可以是常量，可以是变量（随时间变化），也可以是随机的，随机值可以使用模拟技术产生。初始条件可以是恒定的，也可以根据所考虑的实际情况随距离而变化。在确定下游边界条件时，如果交通流情况不详且x又充分小，可以假定： ； （518）最后，在初始时期0t(即当ns0时),可以假设，这意味着没有变换车道的现象发生。我们可以将多车道模型扩展到多于两个车道的情况,如果I代表车道数，每一车道的一般守恒方程是： i=2,3,I （519）式中：对于所有的内侧车道，即对于i=2,3,I-1，上式中：或者常量上面的公式对最外侧和最内侧车道（即i=1和i=I）也是适用的。在这样的情况下，我们应该进行如下变换：对于i=1，令i-1=i；对于i=I，令i+1=I，并且。按照前面的类似记法，式（519）总的求解结果是： （520）式中：上面我们所讨论的模型并没有明显地包含车道宽度y这个因素，也就是说没有对y方向进行空间离散。由于我们已经把道路划分成了多条车道，所以y方向的空间离散是很自然的。原则上，一个二维空间模型能更准确地描述交通流行为。下面是一个满足守恒规律的简单二维连续方程： （521）式中x，y，t分别是空间和时间坐标；k=k(x,y,t)为交通流密度；ux=ux(x,y,t)是速度向量沿x方向的分量（与道路中心线平行）；uy=uy(x,y,t)是速度向量沿y方向的分量；g(x,y,t)是车辆的产生率。由于上面的方程有三个未知量，因此它必须和下面的两个状态方程联合起来求解：应该指出的是，在这个新方程里，密度代表每单位区域内的车辆数，例如阻塞密度定义为：式中：Sx、Sy分别代表x和y方向的最小车头间距。式（521）的一般形式为： （522）我们也可以采用数值解法对 式（521）和式（522）求出数值解，ue(k)和ve(k)的表达式也能得到。至于有关的具体解法，读者可以参考相关专著，由于篇幅所限，这里不再详细介绍。第二节 动态模型一、交通流观测中的加速度 前一节中我们介绍的守恒方程解析解法，曾简单地把速度看成是密度的函数，即，这使得求解析解变得简单了。但实际情况告诉我们，交通流的平均速度u不可能瞬时地跟随密度k发生变化，所以在动态交通条件下使用q(k)的稳态关系不能准确表示qu的动态过程。事实上，驾驶员总是根据前方密度来调整车速的。设交通流的速度为u，由数学的微分知识，我们知道有下面的式子成立： （523）这里的是观测车随交通流行驶的加速度，而是观测者在路边固定点所观测到的交通流的加速度。如果假设u是k的函数，即： 则 （524）将式（524）代入式（523），得： （525）又因为 所以 （526）这里，此结论将在第三节中介绍。现在结合式（526）和式（51）： （527）注意到，uw可写为： （528）将式（527）代入到式（525），得： （529）把式（528）代入到式（529），得： （530）式（530）表示观测车随着交通流行驶的加速度是密度梯度的函数，由于平方项恒为正，交通流观测中的加速度取决于密度梯度。具体地说，当0，即前方密度趋于增大时，0，这意味着车流开始减速；当0，这意为着车流开始加速。这样，我们就从理论上证明了车流的加速和减速行为与车流前方密度的关系。二、速度动态模型研究表明，对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装置等都要有一个调整时间，故车速的变化总比前方x处密度的变化滞后一个时间，即 （531）把上式左侧对、右侧对x进行泰勒级数展开并略去高阶项，得到： (532)通过实际观察与研究发现，取x为平均车头间距为宜，即,再把近似地看作常数并且小于零，引入一个大于零的常数，即：同时把全导数：代入式(532)，得到： (533)这就是连续形式的速度动态模型。对式（533）进行空间离散化处理（差分处理），即把道路划分为若干路段，并假设第i路段内交通情况保持一致，其交通流参数为、，则有： i=1,2, (534)其中i为路段i的长度。在动态情况下，i宜选得尽量短一些，这样才能认为路段内部交通均匀，一般取为数百米至1km。式 (534)中最后一项引入了一个新的参数，称为调整系数，这可以避免当ki很小时该项出现很大的不切实际的数值。对采样周期进行时间离散化处理，得： i=1,2,；j=0,1,2, (535)式中T是周期长，j指第j采样周期。式中右端第三项引入了一个调整系数，这是为了便于调整该项权重，使模型更容易适合实际的交通情况。第二、四两项的权重可以通过适当估计、的值加以调整。式（535）为实用的速度动态模型，它能够精确地描述道路交通流空间平均速度的动态变化，包括交通拥挤情况、交通从顺畅过渡到拥挤的过程以及由拥挤恢复到顺畅的过程。式（535）还表明，在动态过程中，平均速度由四个方面决定：（1）前一时刻的速度；（2）平均速度要朝着稳态方向变化，即朝着与uki(j)相一致的数值趋近，并且驾驶员反应越快，这一作用越大；（3）平均速度值与上游相邻路段中的速度有关；（4）平均速度值与下游相邻路段内的交通流密度有关。研究表明，上述模型对于车道数目单一、出入口匝道无太大进出流量冲击的公路，能够以令人满意的精确度描述各种不同交通状况以及相互间转变的过程、常发性与偶发性交通拥挤现象的出现及其消除过程。但在车道数目有所改变或匝道流量较大的情况下，需要对模型加以扩展，即引入适当的修正项才能使用。上述平均速度动态模型并没有充分反映匝道流量的影响。事实上，匝道上的高流量不仅通过路段密度变化影响本路段及其上游相邻路段的平均速度，而且大量的进出车辆在临近匝道一带速度较低，又存在大量的交织行驶，这必然影响到干线的车流速度。设t时刻在x点处存在侧向驶入、驶出项r 、s(其中r=ri/i，ri为匝道流入率，s=si/i，si为匝道流出率，r与s的单位为辆/hkm)，设这些车辆速度为ue,低于干线车流速度u。它们汇入或驶离干线车流时必然有个加速或减速过程，这会影响到干线车流的速度。为此，连续型速度模型式（533）应引入修正项： 其中记,该修正项代表单位时间内由于r、s引起的干线车流速度的下降。于是式（533）应修正为： （536）由于， ，故离散模型式（536）的修正项为：或对时间进行离散后，式（535）应引入修正项： 或 （537）现在接着研究车道数目改变时应该引入的修正项。设第i路段车道数为li，其下游相邻路段i+1车道数目减至li+10，表明波面的运动方向与交通流的运动方向相同；uw=0，表明波面维持在原地不动；uw0，意味着： 或 前一种情况如图57 a，后一种情况如图b所示。图a 表示交通流从低流量、低密度、高速度区进入到高流量、高密度、低速度区，但两种交通流界面向下游运动，即高密度区并未向上游扩展，如当两条4车道支路汇集到一条6车道主路时会出现这种状况。图5-7b表示的是交通流从高流量、高密度、低速度进入低流量、低密度、高速度区，下游交通状态变好，但因交通波向前运动，并不改善上游交通状态，如当交通流从一条6车道的主干道分入两条4车道的支路时会出现这种状况。图5-7e表示的是uw=0的情形，此时只有q2=q1。这是一种流量相同、速度和密度不同的两种交通流状态的转换，如当交通流量不大，道路有多车道变为少车道或反之，都会出现这种状态。此时的交通波发生在瓶颈处，瓶颈既不前移，也不后退。当uw0时，意味着： 或 这两种情况都是交通波向后传播，前一种情况如图5-7c所示，交通流从高流量、低密度、较高速度进入低流量、高密度、较低速度状态。由于此时交通波向后运动，所以上游交通流状态将受到影响而变差，即较差的交通流状态将向上游扩展，如当交通流前方遇到阻碍时会出现这种情况。后一种情况如图5-7d所示，这是一种交通流从高密度、低流量、低速度状态进入到低密度、高流量、高速度状态的情形。由于交通波向后运动，将对上游交通状况有所改善，如前方阻碍解除时会出现这种状况。qq21kk2ab1 kqq21dk21c 2 qke12 图57 各种交通流状态下的交通波三、停车波和起动波1模型的变化从第二章中我们已经知道速度和密度有一定的关系，还介绍了几种常用的速度密度模型，下面我们就应用著名的格林希尔治线性模型进一步分析交通波模型。已知格林希尔治线性模型的表达式为： （542）为了便于推导，我们把密度标准化，即令 ， (543)其中为i车流的标准化密度，将式（543）代入式（542），有： 和 其中uf 为自由流速度，和为分界线S两侧的标准化密度。将以上关系代入式（539），得波速为： （544）用式（543）得到的和的关系式来简化式（544），可得： （545）式（545）是用标准化密度表示的波速公式 ，下面就利用该式分析交叉口车流由于交通信号影响而产生的停车波和起动波现象。 2停车波现假定车队以区间平均速度 u1 行驶，在交叉口停车线处遇到红灯停车。此时，k2=kj，即1。根据式（545），有： （546）上式说明，由于停车而产生的波，以的速度向后方传播。经过t秒以后，将形成一列长度为的排队车队。3起动波下面考察车辆起动时的情况。当车辆启动时，k1=kj,也即1。因为： 即 代入式（545），得到： （547）由于u2是刚刚起动时的车速，很小，同uf相比可以忽略不记。因此，这列排队等待车辆从一开始起动，就产生了起动波，该波以接近uf的速度向后传播。 四、交通波理论的扩展应用考虑三个相邻的交叉口信号对交通流的影响。假设三个交叉口信号的绿信比相同，红灯时长均为，忽略绿灯间隔时间，周期长均为，绿灯起步时差为，应用上述理论分析交叉口间的交通流状态变化情况。设交叉口与间距离为，交叉口与间距离为，交通流初始平均速度为，排队车辆的起动速度为，初始时刻路段上的交通流处于平衡状态，其密度设为常数，交叉口停车线位于处，时刻信号灯由绿灯变为红灯。下面分别分析三个交叉口的情况。 1孤立交叉口车辆运行状况的分析（1）车辆在交叉口处排队过程的分析以交叉口为例，在时刻，,路段上各处密度相等，这是稀疏流的情况。当交叉口信号变为红灯时，车队在交叉口形成停车波，其波阵面记为，而已经驶出停车线的车辆继续以原有速度行驶，按照前面的停车波分析。在时刻，一列长度为的车队停在之后形成排队，如图58所示。 图 58 交叉口车辆的排队过程（2） 车队在交叉口处消散过程的分析在时刻，交叉口信号变为绿灯，交叉口排队车辆启动，形成起动波，其波阵面记为，按照前面的起动波分析。起动波以速度沿交叉口排队车辆从前向后传播，排队车辆以的速度通过交叉口，波传过后车队密度记为，设为排队车辆完全消散时间（即车队开始起动），则有： （548）若，则排队车辆在一个周期内可以完全消散；否则车队在一个周期内将无法完全消散，此时记为排队车辆完全通过交叉口的时间，则有： （549）若则排队车辆在一个周期内可完全通过交叉口，否则排队车辆将在交叉口处形成二次排队，此时该周期内可通过的车辆数为，而滞留车辆数为，这些车辆必须等待下一周期通过交叉口，若足够长，排队车辆也可能出现三次、四次排队，如图59所示，此时可用同样的方法分析。 图 59 交叉口车队的消散过程2上游交叉口对下游交叉口影响的分析以相邻交叉口和为例分析。在时刻，交叉口信号为绿灯。此时驶出交叉口停车线的车辆以初始速度驶向下游交叉口，当时，交叉口信号为红灯，若，则已驶出交叉口的头车可顺利通过下游交叉口，从而不形成排队；若，则驶出交叉口的车辆将在下游交叉口处形成排队，车辆最大排队长度为。此时，设为交叉口排队车辆消散时间，则有： 即 （550）在交叉口停车线处排队的车辆在绿灯启亮后以的速度通过交叉口追赶前面的车辆，若，则前方车辆已驶出下游交叉口，故无法追上；另一方面，设： 若，则在交叉口处排队车辆全部通过该交叉口之前，交叉口上一周期所释放的车辆可以追上该排队车辆的尾车；若，则在交叉口释放车辆到达下游交叉口之前，在处排队的车辆已经释放完毕，故无法追上，如图510所示。 图510 上游交叉口车队释放对下游交叉口的影响3下游交叉口对上游交叉口影响的分析以相邻交叉口和为例分析。在时，停车波以速度沿交叉口处的排队车辆从前向后传播。在时刻，起动波以速度沿交叉口处排队车辆从前向后传播，又，则，即起动波将在某一时刻追上停车波，该时刻即为交叉口排队车辆消散时刻，若，且上游交叉口在此方向上也为绿灯，则在起动波追上停车波之前，停车波已延伸至上游交叉口，即交叉口的排队车辆将堵塞交叉口，此时若交叉口发生灯色转换，则将产生所谓的“多米诺”现象，将严重地影响相交道路交通流的通行，如图511所示。 图 511 下游交叉口排队车辆对上游交叉口的影响这样，我们比较详细地分析了连续几个交叉口车辆受信号干扰而产生的车辆排队和消散过程，这些方法可以用于计算机模拟交叉口信号配时效果，有很高的应用价值。五、交通波的解析解法 交通流与其它流体相比，一个明显的特点是它的可压缩性，因此在研究交通波时必须考虑这一特点。现在，我们就来考察一列在信号控制交叉口排队等待的车队。如果此时车队的车辆数是x，平均车头间距是S，那么我们可以估计车队长度是xS。假设绿灯刚刚开始时，后面N1辆车加入了车队，而前面的N2辆车释放。按照同样的逻辑，排队长度是x+（N1N2）S。然而，一般地说事实并非如此，因为绿灯刚刚开始时，无论N1和N2是否相等，排队长度都在发生变化。例如，如果N1N2，那么有效排队大小仍为x，但是排队长度不能再用xS的结果估计了，因为平均车头间距减小了。简单连续流模型由于认为速度和密度有一定的函数关系，即u=f（k），因此体现了车队的这种可压缩性。下图512是由信号控制交叉口检测设备获得的，该图中x、t分别代表距离和时间。假设从停车线开始的L距离内没有出口和入口，并且认为L足够长，车队没有延伸过这一路段，还假设停车线下游的交通流顺畅，没有阻塞现象。图中Ll和分别代表信号周期c开始和结束时的排队初始长度和最终长度。停车线xBAL1L2LgrL1L2CMDECF区域 密度1，4 k=kj2 k=ka3 kjkkmt 图 512 信号控制交叉口在一个饱和周期内排队的形成过程沿着图512的x轴，点B对应停车线，点A对应有效绿灯间隔开始时车队的队尾；t=0对应有效绿灯开始的时刻，在AB段内交通流达到阻塞密度，流率为零；A的上游（L段的剩余部分L2）车辆以平均流率qa到达，这样L2上的密度是ka。假定周期内平均到达流率qa，密度ka，用c代表周期长度，c=g+r，g、r分别代表有效绿灯时间和红灯时间。最后，假设周期达到饱和，即绿灯时从点B到点F,车流释放达到最大通行能力的流率qm和密度km，而在有效红灯期间（从点F到周期结束），停车线处阻塞（即q=0、k=kj）。从x=0，t=0开始到x=L所画出的射线也即特性曲线，是基于定义和边界条件画出的。这些直线是流率密度关系曲线对应点的切线。例如，在AB内特性曲线的斜率是负值，与流率密度曲线在点（0，kj）的切线一致，这里kj代表阻塞密度。点B的密度由kj很快变成km，这里km指最大通行能力时的密度。这样特性曲线在B点呈扇形展开（即斜率取遍从到0的所有可能值），在斜率等于0时达到最佳状态。按照这一方式，我们可以画出如图512所示剩下的特性曲线，此段解释如图513所示。dq/dkqk(kj,0)dq/dk=0图513 流率密度关系曲线如图512所示，从边界发出的特性曲线把整个时空区域（0xL，0tc）分成四个流率密度状况截然不同的区域。特性曲线相交线，即为交通波曲线。在图示的周期内，交通波线为ACMDE（车队队尾）。因此，这条线代表了车队队尾的轨迹，并且它到停车线的垂直距离代表车队长度（由y（t）表示）。曲线ACMDE上任意点处切线的斜率代表交通波（或车队队尾）沿道路向上游或下游传播的速度。我们可以通过考察特性曲线的交线推演出车队队尾的轨迹。首先，可以看到A点产生的线性交通波相对停车线向后传播，该波在C点处结束，因为直线BC代表最后一条由停车线发出具有密度kj的特性曲线。在C点之后，由于区域3内呈扇形放射的特性曲线具有不同的密度，波向下游传播的密度是变化的，而向上游传播的密度恒为。这就是交通波CMD呈非线性的原因。事实上，正如曲线CMD的斜率所示，它以变化的速度传播。在有效绿灯结束（点F）时，交通波FD产生，在D点与车队队尾相遇，并产生新的交通波面。交通波再一次形成波面下游的阻塞区，在下游（区域4）密度恒定为kj。最后，一个周期结束时，距离L1代表了最终排队长度，也就是下一周期的初始排队长度。需要指出的是，如果周期内车流未饱和，曲线ACMD在绿灯时与停车线相交，点D落在停车线上，点D之后排队长度为零。在这种情况下，对于剩下的绿灯时间，车辆没有延误便离开，在点F排队长度又开始线性增长直到周期结束。 六、解析结果曲线ACMDE的每一段以及点C、M、D、E的坐标都能用解析法得到。为获得解析结果，必须假设流率和密度或等价的速度和密度之间有特定的关系。为了简单起见，采用格林希尔治速度密度线性模型， 但应该指出的是，类似的结果可由从任何的模型得到。假