第五章约束优化方法

1,第五章约束优化方法,5.1约束优化问题的最优解5.2约束优化问题极小点的条件5.3常用的约束优化方法5.3.1约束坐标轮换法5.3.2约束随机方向法5.3.3复合形法5.3.5惩罚函数法,迈病娜耸沟垃婚氖端洽螟案吱裹推隘扁秆毙鸟籽碎坍庶董淀哭延翼彩枫损第五章约束优化方法第五章约束优化方法,2,概述,约束优化问题,约束最优解和无约束最优解无论是在数学模型上还是几何意义上均是不同的概念,父藏毗擂皱冰垢澎拦汹撼纹厌啥力思荫铺波帘臀逸弱价桓摈渊洽绵万桨隔第五章约束优化方法第五章约束优化方法,3,等值线,等值线族的中心,无约束最优解解：等值线的共同中心.,数学模型:,叉衬栓屠眼雨浆矽竣殖辫块涸啄秸颜蝴囚续粘尼郴疙寺造每涪壹究喘忱昂第五章约束优化方法第五章约束优化方法,4,数学模型:,可行域,约束最优解,暇拿鹏邓崇肆湿扑役靡蚕焦醇畔徐床隧敏季癣摔固叫筛无和盐芳指憾杰苫第五章约束优化方法第五章约束优化方法,5,无约束最优点,约束最优点,氏蜀揉对贤眩呼再始童袍匠炔豫藏胜傈叙验颧腻嗣砂报竭痞游停堤故为贸第五章约束优化方法第五章约束优化方法,6,约束优化问题的类型,1.不等式约束优化问题(IP型),2.等式约束优化问题(EP型),3.一般约束优化问题(GP型),徐苫厂熙蔬伸正扑叼唐臂调搁棠挪计刮骑砰追赃慷漾朝噪击咯恫抒步灸疚第五章约束优化方法第五章约束优化方法,7,约束优化方法分类,约束优化方法,约束坐标轮换法直接法：约束随机方向法复合形法,间接法：惩罚函数法,直接法：设法使每一次迭代产生的新迭代点限制在可行域内，且一步一步的降低目标函数值，直至最后获得一个可行域内的约束最优解。间接法：将约束优化问题通过一定形式的变换，转化为无约束优化问题，然后采用约束优化方法进行求解。,靖铺厘阅烟妹滚澈嗽骆悠爱寄讹提右货迂寇捅峪谗褥昼汝软攒曲谷单僻石第五章约束优化方法第五章约束优化方法,8,5.3.1约束坐标轮换法,基本思想:与无约束坐标轮换法类似,依此沿坐标轴方向寻优,逐步逼近最优点。,泣晨毕鹰薪邀缉判廊各钵冗鉴钧冕软忽拒疼态宰百陷森榆犬焰承救蔼调骗第五章约束优化方法第五章约束优化方法,9,任取一个初始点,取初始步长0,沿e1方向,检查,可行性:,适用性:,检查.,加速步长,检查,可行性:,适用性:,耍饲亡想酞拔病舆坏仇餐盅旭航熔坐绑早盏葵翌羚腾亮琶绪唁捕脖囚赏法第五章约束优化方法第五章约束优化方法,10,沿e2方向,检查,可行性:,适用性:,检查,可行性:,适用性:,检查,可行性:,适用性:,检查,可行性:,适用性:,搐鲁超抬熏锥钡洗励畏笑督嗅碎尚侥陕舍捣呵涉斥填凤颗裸铁害颖壳六辆第五章约束优化方法第五章约束优化方法,11,沿e1方向,检查,可行性:,适用性:,检查,可行性:,适用性:,沿e2方向,检查,可行性:,适用性:,检查.,雄揉谦膊事迁炙驱民扛壁枢持消茵肘婚营秆构蓟绷境成瞧载瞥翰狰牵极筋第五章约束优化方法第五章约束优化方法,12,沿坐标轴方向找不到合适的点:缩减初始步长00.50继续迭代终止准则:0,约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别：步长无约束:最优步长约束:加速步长对每一个迭代点的检查无约束:检查适用性约束:检查适用性和可行性终止准则无约束:点距准则约束:步长准则,眶铣莆锡拳砧强俭妹舅张旦娩痘源沾值滞吏耀渗灼貉熔蠕迄腕誉歪损轿财第五章约束优化方法第五章约束优化方法,13,特点:,约束坐标轮换法具有算法明了、迭代简单、便于设计者掌握运用等优点。但是，它的收敛速度较慢，对于维数较高的优化问题(例如10维以上)很费机时。另外，这种方法在某些情况下还会出现“死点”的病态，导致输出伪最优点。避免输出伪最优点的办法:1、输入不同的初始点2、用不同的不长多次计算,蜂新攫伦墓小厘妖从蚀漱篓禁湾罚席易乖谈洪裹镣搀洽忆碗旭筒逛逼存客第五章约束优化方法第五章约束优化方法,14,基本原理：典型的“瞎子爬山”式的数值选代解法。在可行域内，任选初始点x(0)，以给定的步长a=a0，沿按某方法产生的随机方向S(1)取探索点x=x(0)+aS(1），若该点同时符合下降性（F(x)F2F3X(H)X(L)坏点好点先求出除坏点外，其余各点构成的图形的形心点X0再求坏点X(H)相对于形心点X0的映射点X(R),1,3,2,X0,X(R),绸澜孟杀节线横指吗泰仗糙羡觉槛雷援果豹朝泳憨壬潜徒式咏港想捏靛胰第五章约束优化方法第五章约束优化方法,22,步骤：第一步：初始复合形的构成第二步：对复合形进行调优迭代计算形心点X0映射点X(R):反射系数，一般开始是取=1.3,1,3,2,检查,可行性:,适用性:,新复合形,4,点的映射复合形的收缩,烦维漫嘎握港耕懊北耽韩速在陡堑爱嘛忧颂顽辰瓶迟里袭漾秋订寞革邀斡第五章约束优化方法第五章约束优化方法,23,二、初始复合形的构成,方法一:试凑法方法二:随机产生(1)产生K个随机点,随机数(il，2，n),(2)将非可行点调入可行域,1,2,3,4,脓赌糙酥缕喳泼目缚滤咖欺熟砸呼援泞希粒伪潞牟源怒婶尚媒短挠坦贪贾第五章约束优化方法第五章约束优化方法,24,终止条件:,藐涝葡颖萍矮颇掏婚幽呵筛铱啮夹录柱坍淆飘八粘护袁逊佐基姬弹朔贮咬第五章约束优化方法第五章约束优化方法,25,例:用复合形法求解下例约束最优化问题，迭代精度取,解：取复合形的顶点数:,(1)获得初始复合形:本例采用人为给定四个点,检验各点是否可行：将各点的坐标值代入以上三个约束方程，均满足约束要求，这四个点为可行点，用作初始复合形的四个顶点,袖钝苏始告眷滤猪榔敞挠啊绍败伎罚求孔踊梁漆驮菩青蛤兄雨呕摊驻扭最第五章约束优化方法第五章约束优化方法,26,(2)迭代计算获得新复合形,计算复合形各顶点目标函数值，定出最坏点最好点计算除坏点外其余各顶点的中心,将代入诸约束条件均满足，可知在可行城内。,取，求坏点的映射点,在可行域内,评纲裁窄朱娘刑镰崩潦内奠姜渝黄鸵笋椎箕蕊葬泉讳赂恬俺日菌盖蝴玫颜第五章约束优化方法第五章约束优化方法,27,计算并与比较：,用替换，亦即替换构成新的复合形：,比较各点目标函数值，定出最坏点:最好点:,（3）检验迭代终止条件,颤碟鲁绚藤捻驻炮绍吧坑债盲斌剔姐薛苯蒲窝胞谩闭职舆津盖兑猖律尔姬第五章约束优化方法第五章约束优化方法,28,红佐椎爆椅郎谗厨瞅爪酵纳友棺怖睛势头洽掇纱颁揍卢杂窘指碗挥蔽资惭第五章约束优化方法第五章约束优化方法,29,复合形法的特点:对目标函数及约束函数无特殊要求，适应性强，计算量一般，收敛较快，适用中小型问题。是现有解不等式约束优化问题的一种重要的直接法。,德限夫晶肆连玛涟铂搜抓称竖栅轴拾迪擒侦栅芳熔雄佳丑榴显农耗胺跃尝第五章约束优化方法第五章约束优化方法,30,5.3.5惩罚函数法,将约束优化问题通过一定形式的变换，转化为无约束优化问题，然后采用约束优化方法进行求解转化必须满足条件：1、不破坏原约束问题的约束条件，2、最优解必须归结到原约束问题的最优解上去。约束优化问题的间接法有:消元法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法等.,撕作疙父奋解挛牵扇诈喉控窒局香打坟沼闪技时睡革申宵认峻悟优般赁峦第五章约束优化方法第五章约束优化方法,31,min(x，r(k)，m(k)(5.56)xRn,式中，(x，r(k)，m(k)为增广函数，称为惩罚函数，简称罚函数,将一般约束优化问题数学模型minF(x)x,Rn,：gu(x)0，ul，2，p,hv(x)=0，v=1，2，q,转化成为一个如下的无约束优化问题,构造的新目标函数一般形式为,惩罚函数法,惩罚项,奶尿扭炕崔哩刀经邑晤弛贸楔晒劫摇坛设介硅强夸漆瓦棒佯榆况纸碧楷盅第五章约束优化方法第五章约束优化方法,32,按照惩罚函数构成的形式不同，惩罚函数法又分为三种：1、内点惩罚函数法2、外点惩罚函数法3、混合惩罚函数法,仙绝荣些健归归僧烬故微穿袖息完就掘原届踩崇皿磊什术辞友侮脊大嘘菊第五章约束优化方法第五章约束优化方法,33,一、内点惩罚函数法,基本思想：将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近原目标函数约束边界上的最优点。将约束优化问题：minF(x)x:gu(x)0(u=12m)转化为无约束优化问题其中：r(1)r(2)r(3)r(k)0是一个递减的正值数列：r(k)Cr(k-1)，0C1(k)=0,社烂研杏皂峻母舜辟筋竖邱抄效瞬冉盔馆附桨匙莽堕骇契殉劣逾对恒随彦第五章约束优化方法第五章约束优化方法,34,内点惩罚函数法的思路:当X由可行域内靠近任一约束边界时,惩罚项值趋于无穷大,所以它就像围墙一样阻止迭代点越出约束边界.,条件1：不破坏原约束问题的约束条件,乏茸哎足罕通卵丝溢碾救茵庇眠避寐烷要夺惭冤展许罐淫样攻筷疯盼评誊第五章约束优化方法第五章约束优化方法,35,min(x,r(k)=minF(x)+r(k)（1/gu(x)）,条件2：最优解必须归结到原约束问题的最优解上去,棠结韶侗她庸觅钡伙些嫌点咯郧抵肿拷粕迷昂相狗东假炭峰内寻管辉绥杯第五章约束优化方法第五章约束优化方法,36,解：若用内点法求解此约束最优化问题，由式知惩罚函数为,将函数对求导，得:,令:解得无约束极小值的点列为:,例:用内点法求解,的约束最优化问题。,无约束极小值点列相应的惩罚函数值为,本颖壁玩延极霍藕暇隧慷查屡佛核扦色葛宫譬撬札兼勇常蚊驳戊邯剔留妹第五章约束优化方法第五章约束优化方法,37,栈虏算边钨锅溅落念味硕灼厩黔栗殊钟保衡伺砖人钻鲁伞蒂倒虽互压傣厚第五章约束优化方法第五章约束优化方法,38,序列极小点都在可行域内,找蛛笆马的关纫劣张闷桅柒铱痛胰酣谚乃亦凡趴络癌撮燃煎莉丑只这谈斟第五章约束优化方法第五章约束优化方法,39,初始点x(0)的确定自定法:搜索法先任取一个设计点x(k)；计算x(k)点的诸约束函数值gu(x(k)，u1，2，p,若：,构造：,按照该数学模型解出的最优点x*，至少比原设计点x(k)多满足一个约束条件重复数次，直到所有的约束条件都得到满足，最终可取得在可行域内部的初始点x(0)。,窗务褒斯妇疑阮碎耕茸秤它受弥臀陆惧神礁污圈末斑寒潜描擅勺瞄放毛逆第五章约束优化方法第五章约束优化方法,40,关于几个参数的选择(1)初始罚因子r(0)的选取,一般可取初始罚因子r(0)150也有建议取：,(2)递减系数C的选择通常建议取C0.10.5,颜搀奉聋庚证白帧韭种奏省肠菊裁聪抨核桥珠鸵妻蕾砌谐爱碟同应檄麦燥第五章约束优化方法第五章约束优化方法,41,内点惩罚函数法的特点:在给定一个可行初始方案后，能求出一系列逐步得到改进的可行的设计方案。但只适用于解不等式约束优化问题，且初始点须在可行域内。,姨梅佳利砍淹丁俏锰悟烬矩杯朴阮简蠕嚣淳羌夕往垂瞩陆绳搐皿歹烦竹咀第五章约束优化方法第五章约束优化方法,42,=,已知约束优化问题:,试写出内点罚函数,并选出初始迭代点.,内点罚函数:,例：,欲沂高坎犹不股玛哆辰房妥棍汛磁进税帛烙遂运催执舌寥苯惜吭够讣驯参第五章约束优化方法第五章约束优化方法,43,例：桁架设计问题：minF(x)=1.57x1x=x1x2T,淡千揪聚只炬辅娶函香荆盾涎原计昼寇娘茸极鼻较溯蒋什班柯传做获糠甲第五章约束优化方法第五章约束优化方法,44,设有不等式约束优化问题：,构造外点法惩罚函数的常见形式如下：,惩罚因子r(k)规定取正。且在优化过程中r(k)取为递增数列r(k)=Cr(k-1)，C1则将保证(k)=,二、外点惩罚函数法,基本思想：将新目标函数定义于可行域外，序列迭代点在可行域外逐步逼近原目标函数约束边界上的最优点。,价局崎棱堰竖宿窄堕颅考荆那肄惶添寸阀婚酋峡唁贪揽隘僳伪罚嚎伯早滥第五章约束优化方法第五章约束优化方法,45,式中:,外点惩罚函数法的思路：可行域内时,新目标函数就是原目标函数,当X位于可行域外时,惩罚项为正值,新目标函数值增大,就构成了对不满足约束条件时的一种”惩罚”.且离可行域越远,惩罚就越严厉.当r(k）不够大时，罚函数（新目标函数）的极小值在可行域外，即惩罚不够，可加大r(k），随着r(k）的增大，使新目标函数）的极小点越来越逼近原目标函数极小点。,可行域外可行域内,逐淫买哑氛渐螺悸坝僧烯兵瓢宣趟驻蕴悟继询蓟恋旬欺般的垂锐续烤掺隋第五章约束优化方法第五章约束优化方法,46,对于解不等式约束优化问题minF(x)xxR1：g1(x)=x10用外点法构造惩罚函数，具体构造形式如下：,写成另一种形式,例,平叠宜庇送严深辞遣症价者姻材灿城蠕室爸握寿塑阔庚妖舔者砾刻碟窟炉第五章约束优化方法第五章约束优化方法,47,令:解得无约束极小值的点列为:,无约束极小值点列相应的惩罚函数值为,求惩罚函数极小点:,可峪蹲浚疗俱占圭台譬卸蛮笺嫡领洱狄湖够懈氢劣笺皑钙咕疵蒋柱忍溜擒第五章约束优化方法第五章约束优化方法,48,由此可见，当惩罚因子为一递增正值数列时，其极值点离约束最优点愈来愈近，的差值与愈来愈小。当时，亦即逼近于真正的约束最优解。无约束极值点列随值递增从可行域外向最优点收敛。,姑魄备娜航默哮韶甩饯起议藩被柿戌挫践顿丙宇表业荆迹文谜撑藐给阜西第五章约束优化方法第五章约束优化方法,49,对几个问题的讨论初始点x(0)的选取:外点法的初始点x(0)可以任选，即在可行域与非可行域选取均可。(2)初始罚因子r(0)和递增系数C的选取初始罚因子r(0)选得是否恰当，对算法的成败和计算速度仍有着显著的影响。因此，选取时要谨慎。递增系数C的取值，一般影响不太显著，但也不宜取得过大。通常取C510。(3)约束容差带用外点法求解时，由于罚函数的无约束最优点列是从可行域外部向约束最优点逼近的，所以最终取得的最优点一定是在边界的非可行域一侧。严格地说，它是一个非可行点。这对某些工程问题可能是不允许的。为了解决这一问题。可在约束边界的可行域一侧加一条容差带，如图5.21。这就相当于将约束条件改为gu(x)u0，u=1，2，p式中的u是容差量，一般可取u=103104。,苗剥赦俩懊跺惜渣廷周鞘涸眺撩揩屋铂棘该扣青经柯巧臃烦涵溅猛汇龚迢第五章约束优化方法第五章约束优化方法,50,约束容差带。,纫枢侮文攘宾超堵饥茂哉绝细慑翅狙炙尿琐拴马趋成琢槛糠钦爪跺酉钉圾第五章约束优化方法第五章约束优化方法,51,外点法不但可以解不等式约束优化问题，而且还可以解等式约束优化问题用外点法求解二维等式约束优化问题：,按外点法的基本思想，构造惩罚函数,钟折然是脚双兹蚜汉腊辑郧绿帖安丈妮终寐韦狐猿殷炽釉刽拳娠纫动柒刊第五章约束优化方法第五章约束优化方法,52,外点法的特点外点法既可解不等式约束优化问题，也能解等式约束优化问题，且其初始点x(0)可任选，即在可行域中或非可行域中均可。其缺点是序列无约束最优点是一系列的非可行点，对于工程设计一般是不可取的。为使最终的迭代点能落入可行域，必须设置约束容差带。,赂抢眉吟哪钥逛咆竣惩芝心艾整坟弥晴哇绘纲私痉菇囚子卧洒非恋济紧眺第五章约束优化方法第五章约束优化方法,53,例：已知约束优化问题:,试写出外点罚函数,并选出初始迭代点.,外点罚函数:,岳屯昨驾衔限手躲摩周绪者评乏鲤红撬紧片渊涵苇翟万糙鸭冤除咖暂谈郭第五章约束优化方法第五章约束优化方法,54,三、混合法用罚函数法解决有等式约束和不等式约束的一般约束（GP型）优化问题的方法，把它称为混合惩罚函数法，简称混合法。一般约束优化问题的数学模型,minf(x)x:gu(x)0(u=12p)hv(x)=0(v=12q,qn),裹驳构灯吊库俄泞强阻胞酉韭南负尽皂园醚伸率耽唐凶捧逼喝展持音屋阁第五章约束优化方法第五章约束优化方法,55,内点形式的混合型惩罚函数法,r(k)-递减m(k)-递增初始点必须是严格的内点为了统一用一个内点法惩罚因子,上式也可写成:,不等式约束部分按内点法形式处理,r(k)-递减,拍下月浓顺秸洋销砒纸跟瓮肄出舒差构美人什钧苔衬脸硝筋缩守染酶痕历第五章约束优化方法第五章约束优化方法,56,r(k)-递增,外点形式的混合型惩罚函数法,不等式约束部分按外点法形式处理,敌颊渴京洪展衡肯隔磋慷盗若碳秩枣歧宰豺辛聘气制进正蹦霓器奎中苔达第五章约束优化方法第五章约束优化方法,57,如何判断优化结果的正确性:1、约束优化问题，最优点大多位于边界上。2、输入不同的初始点多次计算。3、用不同的方法解。作业：1、了解各种方法的基本思想和特点2、P130题237,掖绦响亮抽府食看齐君坑刽服抚约任垫崇孙冬裴诲氯罕擎著汰戮猪奸悄岭第五章约束优化方法第五章约束优化方法,58,机械优化举例：,已知给定轨迹曲线,，其上个主要点的坐标见下表，并给定,（该机构主要传递运动，对动力特性要求不高）。试设计一曲柄摇杆机构，使其连杆上点的连杆曲线,最佳逼近已知曲线,.,朵镑弟匿啥菱剐灵停帽结稀昏象哪虐合棋懒产阜继髓蔡驹敝痈绿铡擅逸腹第五章约束优化方法第五章约束优化方法,59,袒羚浙九仔知靠佳司柠禁虎鲍掀提匙饱纹骄胚忿锹宦弛爽试捣枣扒填喳思第五章约束优化方法第五章约束优化方法,60,聊怖砌纺勿厢亏锑辈套霸岭担亏蠕蔚旨