线性代数教材

第1章行列式,1.1二阶与三阶行列式,1.2逆序与对换,1.4行列式的性质,1.3阶行列式的定义,1.5行列式按行（列）展开,1.6克莱姆法则,1.1二阶与三阶行列式,对于二元一次方程组,1.1.1二阶行列式,定义二阶行列式,则当,时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为,即可用二阶行列式表示为,例1解二元一次方程组,解：,1.1.2三阶行列式,定义三阶行列式为:,则三元一次方程组,当,时方程组的解可用三阶行列式表示为,例2计算行列式,解:,1.2逆序与对换,1.2.1排列与逆序,自然数,组成的有序数组称为一个,元排列,记为,规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排列）.,即排列,为标准排列.,定义1在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列.,的逆序数记为,.,计算排列逆序数的方法:对于排列,其逆序数为每个元素的逆序数之和.,即对于排列,中元素,，如果比,大且排在,前面的元素有,个，就说,的逆序数为,全体元素的逆序数之和为,即,例3求排列,的逆序数.,解:在排列,中,定义2逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.,1.2.2对换,定义3把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换.对换改变排列的奇偶性.将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列变成标准排列需要偶数次对换.,是偶排列；,是奇排列.,1.3阶行列式的定义,定义4由,个数组成数表,从中选取处在不同行不同列的,个元素相乘,其中,为,的一,个全排列,并冠以符号,则,称和,为,阶行列式,记作,或简记为,其中,表示处在第,行,第,列位置的元素.,例4计算行列式,其中未写出部分全为零.,解：在行列式的展开式中共有,个乘积,显然如果,则,必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑,的项.同理只须考虑,也即行列式的展开式,中只有,(其他的项乘积均为零),而,因而其符号为正.因此,定义5对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式.由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:,例5计算行列式,解:在行列式的展开式中共有,个乘积,显然如果,则,必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑,的项.同理只须考虑,也即行列式的展,开式中只有,(其他的项乘积均为零),而,，因此,由例5还可得出下三角行列式的如下结论：,因而其符号为,以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.,行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于,阶行列式,当,很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算,几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简,化行列式的计算.,记,为行列式,的转置行列式.,1.4行列式的性质,称行列式,性质1行列式与其转置行列式相等,即,性质2互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.,推论1若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.,性质3行列式某行元素都乘以数,等于用,乘以行列式,即,推论2由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数,可以将数,提到行列式外.,则,推论3若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的,性质4若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可,值为零.,以写成两个行列式的和,即,此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.,倍加到另外一行(列)的,对应元素上去,行列式的值不变.即,性质5把行列式中某行(列)元素的,的值,其中,解:,例6计算行列式,例7计算行列式,的值,其中,解法一:分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第,一行得,例8计算行列式,的值,其中,解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得,的值,其中,解:,例9计算行列式,加到后一列上去得,再将第三列乘以,加到第四列上去，第二列乘以,第三列上去得,性质可得.,解:把前一列乘以,加到,由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的,定义6在,阶行列式,中划去元素,所在的第,行和第,列的元素,剩下的,阶的行列式,称为元素,的余子式,.对冠以,符号,后称为元素的代,数余子式,记为,即,1.5.1余子式与代数余子式,1.5行列式按行（列）展开,个元素按原来的排法,构成一个,记作,引理设,是一个,阶行列式，如果其中第,行所有元素除,外都为零，那么这个行列式的值等于,乘以它的代数,，即,余子式,积之和,即,这个定理称为行列式按行(列)展开法则,1.5.2行列式按行（列）展开,定理1行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘,例10算行列式,的值,其中,解：,例11计算行列式,的值，其中,解：,为,求,的值.,解:,为行列式,按第二行的展开式,因此,的值等于行列式,例12设行列式,而,因此:,推论,阶行列式的,的任意一行(列)的各元素与另一行(列),对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,或,或,作为定理1的推论,我们有：,例13：设多项式,.试求,的根.解法一：,解得的解为：,解法二：由性质2推论3知，当,时，,，故,为,的根。,为,由于,的4次多项式，因此，,只有4个根。,现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.,定理2如果线性方程组,1.6克莱姆法则,1.6.1克莱姆（Cramer）法则,的系数构成的行列式,那么线性方程组,有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出,其中,是行列式,中第,列换成方程组的常数项,而得到的行列式.,此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数,与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又,是非常特殊、非常重要的方程组.,例14解方程组,解:方程组的系数行列式,所以方程组的唯一解为:,.,由克莱姆法则得:,那么它只有零解.,定理3如果齐次线性方程组,的系数构成的行列式,1.6.2克莱姆法则的推论,定理4若非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数,行列式,推论:如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式,例15,为何值时,方程组,有非零解.,解：由以上推论知,