《开集的可测性》PPT课件

第10讲开集的可测性,目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点：,第10讲开集的可测性,基本内容：一Borel集问题1：按Lebesgue可测集的定义，我们所熟悉的哪些集合是可测的？,第10讲开集的可测性,问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？,第10讲开集的可测性,（1）开集与闭集的可测性命题1Rn中任意开长方体都是可测的，且。证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有,第10讲开集的可测性,注意到仍是个长方体，故不难得知（这与证明类似）因此从而I可测。证毕。,第10讲开集的可测性,定义1Rn中的集合称为左开右闭长方体。与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即,第10讲开集的可测性,引理1Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即是左开右闭长方体。证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为,第10讲开集的可测性,（有限或可数个）。对于k1，用表示上述那些完全被G包含但与任何不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体且它们互不相交，并满足。如果，则存在，使注意到故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在中，从而也包含在G，所以一定在某个中，即,第10讲开集的可测性,于是，（2）G型集、F型集、Borel集定理1Rn中的任意开集、闭集、F型集、G型集均为可测集。证明：由命题1知任一左开右闭长方体J可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F型集、G型集均可测。证毕。,第十讲开集的可测性,注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。,第十讲开集的可测性,二Borel集类与Lebesgue集类的比较问题3：根据Lebesgue外测度及可测集的定义，你认为Lebesgue可测集与Borel集差别有多大？,第十讲开集的可测性,问题4：对任意集合E，能否找到包含E的Borel集G，使得它们有相同的外测度？问题5：对上述E，能否找到包含在E中的Borel集F，使得它们具有相同的外测度？如果E是可测集，情形又如何？,第十讲开集的可测性,Lebesgue可测集的结构Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未,第十讲开集的可测性,必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c。事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。由此立知，Lebesgue可测集全体,第十讲开集的可测性,远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集。现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设，则对任意，存在可数个开长方体，使,第十讲开集的可测性,且由此易知事实上,由于故由及,第十讲开集的可测性,易得记则Gn是开集，从而是G型集，而且，由立知是Borel集与一个Lebesgue零测集之差。类似的办法可以证明，能找到Borel集，使，即E也,第十讲开集的可测性,是Borel集与一个Lebesgue零测集之并。换言之，对任一Lebesgue可测集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度。因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上。,第十讲开集的可测性,问题6：问题4中能否使G-E的外测度为零？为什么？举例说明。,第十讲开集的可测性,即使不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度。这就是下面的定理2设，则存在Rn中的G8型集G，使且。证明：若，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）。故不妨设，此时类假刚才的讨论，可,第十讲开集的可测性,以找到开集Gn，使且令，令G即为所求。证毕。应该指出的是，如果E是不可测集，虽然可以找到Borel集，使，但的外测度不可能等于0，否则E=G-（G-E）将是可测集。,第十讲开集的可测性,定理3若是可测集，则有Rn中的Borel集F，使且证明：若E无界，则可作一列长方体，使且，于是是一列有界可测集列，且，从而,第十讲开集的可测性,若对每一En，可找到Borel集，使且则令，则，于是,第十讲开集的可测性,进而；另一方面，由于故。因此，我们只需就E是有界可测集情形证明就可以了。若E是有界的，则存在长方体，记，则S也是可测集，且由定理2知存在Borel集G，使，且,第十讲开集的可测性,，令，则F仍是Borel集，且，显然注意故。证毕。,第十讲开集的可测性,习题二1、证明有理数全体是R1中可测集，且测度为0。2、证明若E是Rn中有界集，则3、至少含有一个内点的集合之外测度能否为零？4、在a,b上能否作一个测度为ba但又异开a,b的闭集？,第十讲开集的可测性,5、若将1定理6中条件去掉，等式是否仍成立？6、设E1、E2、是0，1中具有下述性质的可测集列：对任意，从这个序列中可找到这样的集Ek，使证明，这些集合之并的测度等于1。7、证明对任意可测集A，B，下式恒成立。,第十讲开集的可测性,8、设A1、A2是0，1中两个可测集且满足，证明：9、设A1、A2、A3是0，1中三个可测集且满足,证明：,第十讲开集的可测性,10、证明存在开集G，使11、设E是R1中的不可测集，A是R1中的零测集，证明：不可测。12、若E是0，1中的零测集，其闭包是否也为零测集？13、证明：若E是可测集，则对任意存在型集，使,第十讲开集的可测性,14、证明：位于0 x轴上的任何集E（甚至它在直线上为不可测集）在0 xy平面上可测且其测度为零。15、证明有界集E可测当且仅当对任意，存在开集，闭集，使,第十讲开集的可测性,16、证明；若是单调递增集列（不一定可测），则17、证明Rn中的Borel集类B有连续势。18、证明对任意闭集F，都可找到完备集，使19、证明只要，就一定可以找到使对任意都有,第十讲开集的可测性,（提示：利于闭集套定理）20、如果可测，记证明也可测，且21、设是零测集，证明是零测集。,第十讲开集的可测性,22、设可测，是含x0的任一开区间，若下列极限存在，则称d是E在点x0的密度，显然，如果称x0是E的全密点。（i）点a是否是的有密度的点？（即d0）,第十讲开集的可测性,(i