2.3连续型随机变量

Ch2-48,2.3连续型随机变量,定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得,其中F(x)是它的分布函数,则称X是连续型r.v.，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简记为d.f.,2.3连续,Ch2-49,分布函数与密度函数几何意义,Ch2-50,p.d.f.f(x)的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r.v.的d.f.,在f(x)的连续点处，,f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率,Ch2-51,积分,不是Cauchy积分，而是Lesbesgue意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导,Ch2-52,注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0,其中a是随机变量X的一个可能的取值,命题连续r.v.取任一常数的概率为零,强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生),事实上,Ch2-53,对于连续型r.v.X,Ch2-54,Ch2-55,例1已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其d.f.为,(1)求常数c,(3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2)计算,例1,Ch2-56,解,(1)令,c=1000,(2),Ch2-57,(3),设A表示一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为Y,Ch2-58,例2设,为使f(x)成为某r.v.X在,解由,d.f.系数a,b,c必须且只需满足何条件？,当,有最小值,上的,Ch2-59,另外由,当且仅当时,得,所以系数a,b,c必须且只需满足下列条件,Ch2-60,作业P83习题二,1618,习题,Ch2-61,(1)均匀分布,若X的d.f.为,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称,X服从参数为a,b的均匀分布.记作,均匀分布,Ch2-62,X的分布函数为,Ch2-63,Ch2-64,即X落在(a,b)内任何长为dc的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量,应用场合,Ch2-65,例3秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X的d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.,解X等可能地取得区间,所以,上的任一值，则,Ch2-66,(2)指数分布,若X的d.f.为,则称X服从参数为的指数分布,记作,X的分布函数为,0为常数,指数分布,Ch2-67,Ch2-68,对于任意的0ab,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,Ch2-69,若X(),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,Ch2-70,解(1),例4假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)(t),求,相继两次故障的时间间隔T的概率分布;设备已正常运行小时的情况下,再正常运行10小时的概率.,例4,Ch2-71,即,Ch2-72,(3)正态分布,若X的d.f.为,则称X服从参数为,2的正态分布,记作XN(,2),为常数，,正态分布,亦称高斯(Gauss)分布,Ch2-73,N(-3,1.2),Ch2-74,f(x)的性质：,图形关于直线x=对称,即,在x=时,f(x)取得最大值,在x=时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点,曲线y=f(x)以x轴为渐近线,曲线y=f(x)的图形呈单峰状,f(+x)=f(-x),性质,Ch2-75,Ch2-76,f(x)的两个参数：,位置参数,即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同,形状参数,固定，对于不同的，f(x)的形状不同.,若12则,比x=2所对应的拐点更靠近直线x=,附近值的概率更大.x=1所对应的拐点,前者取,Ch2-77,Showfn1,fn3,Ch2-78,正态变量的条件,若r.v.X,受众多相互独立的随机因素影响,每一因素的影响都是微小的,且这些正、负影响可以叠加,则称X为正态r.v.,Ch2-79,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差；人体的生理特征；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；,热噪声电流强度；学生的考试成绩；,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查.,标准正态分布N(0,1),密度函数,Ch2-81,Ch2-82,-x,x,Ch2-83,对一般的正态分布：XN(,2),其分布函数,作变量代换,Ch2-84,例5设XN(1,4),求P(0X1.6),解,例5,Ch2-85,求P(X0).,解一,例6,Ch2-86,解二图解法,0.2,由图,Ch2-87,例3原理,设XN(,2),求,解,一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间可能性很小,由3原理知，,当,3原理,Ch2-88,标准正态分布的上分位数z,设XN(0,1),01,称满足,的点z为X的上分位数,z,常用数据,Ch2-89,例7设测量的误差XN(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?,解,例7,Ch2-90,设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米,故至少要进行4次独立测量才能满足要求.,Ch2-91,作业P84习题二,22242627,习题,Ch2-92,X,求其密度函数f(x).,A,B,C,h,.M,问题,第6周,每周一题6,M,点M到AB的距离为随机变量,X,求其密度函数f(x).,问题,Ch2-93,每周一题7,第7周,问题,上海某年有9万名高中