数学物理方法8863cab8a843a136efd636c74773f6a5第3和4章_第1页
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第三章幂级数展开,3.2幂级数,3.3泰勒级数展开,3.4解析沿拓,3.1复数项级数,3.5洛朗级数展开,3.6孤立奇点的分类,称级数,复数项级数和,前n项和,若,有限,收敛于F,这时,也收敛,3.1复数项级数,1、复数项级数,科西收敛判据：(级数收敛必要条件),对于任意0,有N，使得nN时,p为任意正整数,绝对收敛：,收敛,2、复变函数项级数,各项都是z的函数,对于B（或l上）任意z,给定0,有N，使得nN()时,称为级数在B上一致收敛,此时，若每项连续，则和连续,令：,1、比值判别法,3.2幂级数,讨论幂级数,为以z0为中心的幂级数,考虑,绝对收敛,发散,绝对收敛,2、根值判别法,发散,绝对收敛,发散,绝对收敛,发散,3、收敛圆与收敛半径,的收敛半径,例：求幂级数,以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称为收敛圆。R为收敛半径,事实上：,解：,收敛圆：以0为圆心半径为1,如,的收敛半径,例：求幂级数,公比为,解：,收敛圆：以0为圆心半径为1,如,的收敛半径,例：求幂级数,解：,定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可展开为,其中：,3.3泰勒级数展开,CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆,证：cauch公式,CR,CR1,而由cauch公式,展开,例：在z0=0邻域上把,公比为,解：,展开,例：在z0=0邻域上把,解：,和,展开,例：在z0=0邻域上把,解：,展开,例：在z0=0邻域上把,展开,例：在z0=1邻域上把,解：,3.4解析沿拓,比较两个函数：,除z=1以外,设某个区域b上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在含有b的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z),和,两者在较小区域等同,b,B,称F(z)为f(z)的解析沿拓,1、解析沿拓概念,设f(z)，F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一子区域b中f(z)F(z)，则在整个区域B上必有f(z)F(z)。,2、解析沿拓唯一性概念,3.5洛朗级数展开,考虑如下幂级数,正幂部分收敛半径为R1,负幂部分，记=1/(z-z0),级数,的收敛圆半径为1/R2=,即在z-z0=R2圆外收敛圆,在圆环R2z-z0R1内绝对一致收敛圆,定理：设f(z)在圆环R21),有一个奇点z=0,为2n+1阶极点,(3)、含三角函数的无穷积分,其中F(z)为偶数，G(x)为奇数,若f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,n)外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当z无穷时，f(z)一致趋于零，且m0则,证明：,由约定当引理,由约定当引理,z无穷时，f(z)在包括实轴在内的上半平面中，一致趋于零，则
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