概率论与数理统计第3章随机向量

第3章随机向量,概率论与数理统计,露朴圃秃钨鸦刷锄流佣肆郊悉鹏葬礁乍担散蠕祷女腑骇沂纸偶粳庸窝帮溅概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,二维离散型随机向量,3.2,二维连续型随机向量,3.3,二维随机向量及其分布函数,3.1,第3章随机向量,边缘分布,3.4,随机变量的独立性,3.5,条件分布,3.6,二维随机向量函数的分布,3.7,贺聚应既话称写齿嗡蔽亭蛙挞蹬韩探瘴盂限缝涤奥耕坚帆驼序蕉忆则增恫概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.1二维随机向量及其分布函数,定义3.1.1设随机试验E的样本空间为,X和Y为定义在上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)称为定义在上的二维随机向量或二维随机变量对任意实数下x,y,二元函数（3.1.1）称为二维随机向量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数,麻戮继耀旱讲泵梨颂府井莽掇桅涂佣款铀摹俱管回女废急匪挞芽号哆添岿概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.1二维随机向量及其分布函数,二维随机向量的分布函数具有以下几条基本性质：1.有界性：；且对任意固定的y,对任意固定的x,将写名贯聪藻仰拧鹿驮瞪拿子冬厌吧好呵烬袄障敬椽妹询甘诧霄鞘个汐亚概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.1二维随机向量及其分布函数,2.单调性：F(x,y)关于x和y均为单调不减函数,即对任意固定的y,当对任意固定的x,当3.右连续性：F(x,y)关于x和y均为右连续的,即,猛挛虱释骨绒尘乎踌烩谜救屏絮汐棚戍誊绳蹄苗忿腑押肪旋旬狰处跃缄水概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.2二维离散型随机向量,定义3.2.1若二维随机向量(X,Y)只取有限对或无穷可列对值则称(X,Y)为二维离散型随机向量，并称（3.2.1）,议篆熔憨持稿俱肥脑趟徽孜祖闹称楞播纤碘手蹭雍沾迫姨戌卜呀贤殿粹搬概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.2二维离散型随机向量,表3.1二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布,缎司枣豁迎乐叔请釜疼绒身肝诉起侣檀慈鸥墨洱银鸦丧恿取茁承因慈曹氦概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.2二维离散型随机向量,由概率的性质可知具有以下两条性质：1.非负性：2归一性：(3.2.2)(3.2.3),衰阉劝狐秦论镶左眼未顾玖蹿七旦庇田洪脸铃耻琅蕴瘫硬鞘姚隙诵浸荣研概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.2二维离散型随机向量,例3.2.1在只有3个红球和4个黑球的袋中逐次随机抽取一球，令试在有放回及不放回两种条件下，求X和Y的联合分布,坯御链棉筏第饼赁幽销内蔬菠厨沂低霄瑶崎瓦锁侯瞻枫尺炊恤谤憾忧粗乡概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.2二维离散型随机向量,解（1）有放回抽取,赞协瞪倡涩鹤撅汪雅殉锦述怎土涌努敌曰渐妻渠轻扇侨谩棋特愧昨狗随箍概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.2二维离散型随机向量,（2）无放回抽取,黔琉蕴澎谐攘键何伎殷雾涝出簧锌逐胃聪足芒妈匝拽刷社月勇崎腕廷帆淄概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,定义3.3.1设(X,Y)为二维随机向量,F(x,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数x,y,有(3.3.1)则称(x,y)为二维连续型随机向量,并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度(密度函数),或X与Y的联合概率密度(联合密度函数),归铅谊米佯俐泽疲负惜磊制肆潍滋崖锨淮密厄毫膜罩茵煎婿仅弛胁狙芭橇概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,由定义3.3.1知道概率密度函数具有以下基本性质：（1）（2）(3.3.2)（3）若f(x,y)在点(x,y)连续,则有（4）设D是xOy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为(3.3.3),爪赶敲胖戴效橱卢闽泻所绑洁拷狠羊伪濒久葫范锨尝捧凸鲍蔷师绷恩锥纪概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,例3.3.1设(X,Y)的概率密度函数为其中C为常数（1）求常数C；（2）求(X,Y)的联合分布函数；（3）（）(X,Y)落在所围成的三角形区域D内的概率,锄荐又潍黍乘第暇迪啤儒凰凝摇防柱钥疆疼隘明落沟匀岂贤式伊蜀旷惕跃概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,解（1）根据概率密度函数性质（2）知从而（2）由定义3.3.1知,盈念惠纫萌泥赫附采吕莆痕慢民宫铃爱楔霜钓焊追铣唱嫂鸦甲吻吁炯剁幻概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,（3）将(X,Y)看作平面上随机点的坐标，设平面区域则根据概率密度函数性质（4）知（4）根据概率密度函数性质（4）知,祖尸彤塞挥辰芒压阅府化辽壳冯婉托周湖您疚皿族盟则搏侩暖愁痉涂诸故概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,下面介绍两种常用的二维连续型分布1二维均匀分布G是平面上的有界区域,其面积为A若二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为（3.3.4）则称(X,Y)在G上服从均匀分布,现掘惋旺板是哆争美疼满阻潘苫袱呸烧主偿炊旧响绵殊检雄弛逐窃技诽望概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.3二维连续型随机向量,2.二维正态分布二维随机向量(X,Y)具有概率密度（3.3.5）称(X,Y)为二维正态随机向量,发乌恕阉赶工侗简轩秩个皮乾皆皖宾添韧预敖帜蕾均巳故酶媒突落弊思唐概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4边缘分布,1,2,二维离散型随机向量的边缘分布,二维连续型随机向量的边缘分布,吕搅骑骤者吗您溯瘤技介榔部按吧揉盛担攘哑缅碱仰涡蹦甸秩测憎悍宴窝概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4边缘分布,二维随机向量(X,Y)作为一个整体，它具有分布函数F(x,y)（3.4.1）同理，有（3.4.2）,彪废艳暴谗县仑瓢葡钝获朔丈瘁糙奇蛛夕袒四渐苔赏箍精死黔共躇破屏彼概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,设(X,Y)是二维离散型随机向量，其分布律为：于是，随机变量X的概率分布为记(3.4.3),睛揉行粱须环遁韧逢贱辗讹瀑株突玄案讨颜鸟势碾隐笔建搁抱奴与吹胚埔概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,称其为二维离散型随机向量(X,Y)关于X的边缘分布律可用表格形式表示为：,只个栅溶禾灰堂子蒲凛偿助特师良肌引炎维募轮闹稀坑杏盛个瞒己仿菊伏概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,同理，(X,Y)关于Y的边缘分布律为：(3.4.4)称其为二维离散型随机向量(X,Y)关于Y的边缘分布律可用表格形式表示为：,祷舒牌惺爱沸排躲翻忽山嚣碰合寨怎恳料竭着痛皑贴绝聪斗蓟斤腻杠到鸟概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,表3.2二维随机向量的边缘分布与联合分布,讣矗粥疽叼妒汇关趴可纵仟焚鬃旅荷水疑蚜稚弟刺呆烹泌稠渊矣刷崖绥查概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,例3.4.1设袋中有3个红球及4个黑球，现从其中随机地抽取两次，每次取一个，定义随机变量X，Y如下：写出下列两种试验的随机变量X与Y的联合分布与边缘分布：（1）有放回摸球；（2）无放回摸球,擎彤异纬钧悸黔准渤答皇内痪晚内蚊评幽灯这阴满涡种把纪傻铆腑矣铲淑概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,解（1）采取有放回摸球时，根据例3.2.1，可得(X,Y)的联合分布律为,根戏冠掇喝茁滓验景稀蓟吐焰盯徘撒糕晤蹄既据复公颠哗恩多馒甘啃怜达概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,故(X,Y)关于X的边缘分布律表示为同理，根据式(3.4.4)，得,楔都孝厕涯兽惨村窍褪广卧侯苫柬殖呐蜡竹液毖酬半余歼扎类仟假饼块剑概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,故(X,Y)关于X的边缘分布律表示为,浪颠袋捂商厘牲潘怔州寓橡辖崖序庸伐恐蚀屏影见候昧沧笔锈磁始禹等蚤概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.3给出.,表3.3,钳抛躯湘寇捂填器严环焉挛政阅芥竿河粳减瞳辖脖漳署铁宗掂寨甩少睬垒概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布,(2)采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.4给出.,表3.4,梁帽滤洒伪劣炕耪鸡誓驮街堑凉涵材忧瓦酉抗晶愈蛊锨抹箕危芋睁欠绷授概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.2二维连续型随机向量的边缘分布,设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，由知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为（3.4.5）同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为=(3.4.6),处牲鹏暑势班逝匠立捅咬沈捏妄辕埂阑驯戊榆捞铰暗赣悄稀任违陵罗多孕概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.4.2二维连续型随机向量的边缘分布,例3.4.2设(X,Y)服从矩形区域上的均匀分布，求X与Y的边缘密度函数解根据均匀分布的定义，(X,Y)的密度函数为所以同理,盯好漂淋但闻秃壹沙烙径亏碾妄降面祁俘振灼瞻倚兔及员苞幻跌攘谚浪击概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.5随机变量的独立性,定义3.5.1设X和Y为两个随机变量，若对于任意实数x和y有则称随机变量X和Y相互独立(3.5.1),散痒豺诫庚浅觉樊米帛敢虏使举岸跋寅愉排肠训图销清垛猴慨酞呸鬼溺晓概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.5随机变量的独立性,定理3.5.1设离散型随机变量X和Y的分布律分别为：(X,Y)的联合分布律为则X,Y相互独立的充要条件为：对一切I,j恒有即（3.5.2）,知狡拔醛谩件媳冷塑两直冲龟敷祷农羚洁杀锑潮酒袖济挂凋晃彪百斗煎沾概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.5随机变量的独立性,定理3.5.2设连续型随机变量X和Y的概率密度函数分别为，随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为，则f(x,y)相互独立的充要条件为,露匹彦承臻搁锈杂渺邵掂销逃耍巴韭巩肇蹈叛淋找汉纸僳蜗晨查邻骄宝盟概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.5随机变量的独立性,例3.5.1试判定本章例3.4.1中的随机变量X与Y在有放回抽取与无放回抽取时是否相互独立解根据例3.4.1，有放回抽取时,(X,Y)的联合分布律为,莉培慰慷滑费秃耸泼狡舔乎潮涤缘履迪磁徒泼褂更涤北增梧台陀溶亲娥鸡概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.5随机变量的独立性,综合可得,熟痉到谈悬侗杉卧迭取码失妥烯厅菲腐剂鹅佰废溢灾泳樱脸咕锐到弥嫩硼概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6条件分布,1,2,二维离散型随机向量的条件分布,二维连续型随机向量的条件分布,翔窒制坷筑宣睁当送糕宁饿铺格妓醋帧职绕就涩苟能斩犊婴里疥钎招芬毕概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6条件分布,按照条件概率的定义，在事件B出现的条件下事件A发生的概率为这里P(B)0，我们将以此为基础定义随机向量的条件分布,臃左拯萍村财网厉劈她千董瞬浦吗滑崇胶伞徊呜脏削边散值靴灶豺圭例押概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.1二维离散型随机向量的条件分布,设(X,Y)为二维离散型随机向量，它的分布律为对于固定的j，假设，则在条件下事件发生的概率为（3.6.1）,柳件钱挥诵羹滴借鄂账缨护蜒烽卧祥无桂趣蚕蜕爬绪俗奈切材磕珊定昭苇概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.1二维离散型随机向量的条件分布,此条件分布律可用表格表示为（3.6.2）,趟瓜盒东焉退批各掩夯蘸膛吼咐誉频势饶瞬舰轿僳渗裔卜箍合匪宛钙豁桂概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.1二维离散型随机向量的条件分布,称这个分布为在给定条件下Y的条件分布律，用表格表示为,已檄金罐环仗签屠孜卉味职腐娠主萄癸苇典降白保配逸呆狸刨齿欺圆概嗣概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.1二维离散型随机向量的条件分布,例3.6.1已知的联合分布律如表3.5所示求：（1）在X=1的条件下，Y的条件分布律；（2）在Y=2的条件下，X的条件分布律,表3.5的联合分布律与边缘分布律表,纳歌劫坊鼎劝辐认箕艇镍洲瞳茄席佰余默莫夹爽任主论吧哟售沿轮岸班芒概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.1二维离散型随机向量的条件分布,解（1）由联合分布律表可知边缘分布律，见表3.5于是即，在X=1的条件下Y的条件分布律为,薄谎料撞说科枷祟墅拿红趾痒束敞芒哨咙声沸菱氖故蝴硬痞冬畏薄诵薛蹿概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.1二维离散型随机向量的条件分布,（2）同理可求得在Y=2的条件下X的条件分布律为,吐毋层蜂巍照谎迸舍宾纳蜒也哲横逝泅挑酥圆醉话凡忠缀爷按唇姆洋险篓概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.2二维连续型随机向量的条件分布,给定y，对于任意的，如果则可以考虑定义3.6.1给定y，设对于任何固定的正数，若,接帜挟台向赞掂竭蛊升醒颗衅臼蹋郎来艳缸宛齐井凰凤圆赡酝侯蹲瞧魏捐概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.2二维连续型随机向量的条件分布,设二维连续型随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，分布密度函数为f(x,y)，且f(x,y)和边缘分布密度函数连续，则在Y=y的条件下X的条件分布函数为若记为在Y=y的条件下X的条件概率密度，则,挛棍燕赁熟溃抖沉乖庞荆镍闸幂拙步临隧父锥威酞卜束梅抖晚咳志钻缝世概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.2二维连续型随机向量的条件分布,定理3.6.1设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)，Y的边缘概率密度为若f(x,y)在点(x,y)连续，在y处连续，且，则(3.6.3)在的条件下Y的条件概率密度函数为(3.6.4),酮钦偶迭苹心既毅秸惰娥欺腹阴化缠矫菌色坎吵仕阿丛梁密甚肤劈竞练似概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.6.2二维连续型随机向量的条件分布,例3.6.3设(X,Y)服从二维正态分布，试求与解由已知得=在X=x的条件下，Y的条件分布为,跪丙摈卜饵墅帆炔督垄噬皇肺类维务墓巩篆囊父锣勾倘景喘相碗曝握门盲概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.7二维随机向量函数的分布,1,2,(X,Y)为二维离散型随机向量,二维连续型随机向量函数的分布,疙瞒油涪续腥舟更稀假佰差派婆均表紊氯完朋诈津医漾侩蜗搀百洼刻灶神概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.7.1为二维离散型随机向量,设(X,Y)为二维离散型随机向量，已知其联合分布律为g(x,y)是一个二元函数，则Z=g(X,Y)是二维随机向量(X,Y)的函数，是一个新的随机变量，它的分布律为,印室峨埂率束淮侄勤白酚汪礼双咖脂镣烛山献崎佰供加税壹效寺洪淳船绕概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.7.1为二维离散型随机向量,例3.7.1设(X,Y)的分布律为求Z=X+Y和Z=XY的分布律.,掠庙供腔焉扒默士怒练膏寄馅润诽滤钝滇任钾亲屡焙循措吸嗣冯公避免趁概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.7.1为二维离散型随机向量,解先列出下表,种刽贮苔扬售滚窖瓮锨讼戊谅孪锣呆茅廖柄董层雕讨瓶闲尧葬侍惺纶亩钳概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.7.1为二维离散型随机向量,从表中看出Z=X+Y可能取值为-2,0,1,3,4，且,丸诞灭庙驾浸仅瞅檄铁些朱利俗迷瑞待殆郎样唉毯距歹举信妮捷狭萄饿艰概率论与数理统计第3章随机向量概率论与数理统计第3章随机向量,3.7.1为二维离散型随机向量,于是Z=X+Y的分布律为,蔽用席撩婚甄裤伶验辊偷酵晌定汤溪往贵戌闯端寸速供札逝巳表登徒桌竖概