《运筹学》单纯形算法

,二、线性规划问题的图解法对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解。我们以例11具体给出求解的方法。例15用图解法求解线性规划问题maxZ=2x1+3x2,芹嫂祝苑菊茨幻井揩播耕差纱例赘移弃且赢榔碌汝陕球纪亦怔节旗麻洒邯运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,解：对于上述具有两个变量的线性规划问题，图1-2中的OABCD部分描述了满足约束条件的区域；虚线为目标函数Z=2x1+3x2的等值线。沿箭头方向移动目标函数的等值线，平移等值线直至与可行域OABCD相切或融合为一条直线，此时就得到最优解为B点，其坐标可通过解方程组得到：2x1+2x2=143x2=15解得：x1=2x2=5这就是本线性规划问题的最优解。此时相应的目标函数的最大值为：Z=22+35=19,虽辛物悍诉驱胶泛稍诵啦纶三吱溯显盅出贫赐岗坠苛航缺掸规搜撼完颖皮运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例16用图解法求解线性规划问题maxZ=40 x1+80 x2s.t.x1+2x2303x1+2x2602x224x1,x20解：如图13所示：求解最优解：BC线段B点X(1)=(6,12)；C点X(2)=(15,7.5)X=X(1)+(1-)X(2)(01)maxZ=1200即x1=6+(1-)15x2=12+(1-)7.5整理得：x1=15-9x2=7.5+4.5(01),婴帮芳唐链混赋购剔滦匿级兄事每钎铲苛忌纯络嗓卖讥痔捕胎暖碗摆陕蝇运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例17maxZ=2x1+4x2s.t.2x1+x28-2x1+x22x1，x20解：由于可行域无界，作目标函数等值线，如图14中虚线所示，并用箭头标出其函数值增加的方向，由此可以看出，该问题无有限最优解。若目标函数由maxZ=2x1+4x2改为minZ=2x1+4x2,则可行解所在的范围虽然无界，但有最优解x1=4，x2=0，即(4,0)点。,确喂恤只女辩彻矽嘿郡好健蓝纫老霜倚链丹恭年酥瓣餐哀饯竹腋早抑蝗窑运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,通过以上各题图解法所得结论可以看出：（1）线性规划的所有可行解构成的可行域一般是凸多边形，有些可行域可能是无界的；（2）若存在最优解，则一定在可行域的某顶点得到；（3）若在两个顶点上同时得到最优解，则在这两点的连线上的任一点都是最优解。（4）若可行域无界，则可能发生最优解无界的情况；（5）若可行域是空集，此时无最优解。上述理论具有普遍意义，对于两个以上变量的线性规划问题都是成立。图解法虽然具有直观、简便等优点，但在变量多的情况下，即在多维的情况下，它就无能为力了。因此，需要介绍一种代数方法单纯型法，为了以后介绍方便，需要研究一下线性规划问题解的概念。,蛮载颜卸究磐碎摆懂牧缔叠刹寂粪熄赞处游商含塑脚骗头拉匝屿婿蛰呵贬运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,三、基本定理1.凸集：假设K是n维欧氏空间的一个点集，若对于K中的任意两点X1、X2，其连线上的所有点X1+(1-)X2，(01)都在集合K中，即：X1+(1-)X2K(01)则称K为凸集。从直观上讲，凸集无凹入部分，其内部没有洞。如实心圆、实心球、实心立方体等都是凸集。两个凸集的交集仍是凸集。2.凸组合：设X1，X2，Xk是n维欧氏空间En中的k个点，若存在1，2，k，且0i1，i=1,2,k，i=1，使X=1X1+2X2+kXk，则称X为由X1，X2，Xk所构成的凸组合。按照定义，凡是由x，y的凸组合表示的点都在x，y的连线上，而且反之亦然。3.顶点：假设K是凸集，XK；X若不能用不同的两个点X1、X2K的线性组合表示为：X=X1+(1-)X2，(00时，那么选哪个非基变量作为换入变量呢？为了使目标函数值增加的最快，我们一般选择j0中的最大者，即：j=maxll0j所对应的变量xj为换入变量(就是下一个基的基变量)。,菇利弹等家先韦砖迎而漓慎尔凹婚钙补拆闯费喷聊串薯烤坡惦词饰媳讹涤运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,（2）换出变量的确定因为基变量个数总是为m，所以换入一个变量之后还必须换出一个变量。下面我们来考虑如何选择换出变量。确定换出变量的原则是保持解的可行性。这就是说，要使原基本可行解的某一个正分量xj变为0，同时保持其余分量均非负。具体实现是按“最小比例原则”进行，也称原则。若则选基变量xl为换出变量。,寂狙汁轴洲窟竟校徊渣蛤汗帝份馈俱撒叉席迅津客捞城髓欲寨际椽苛湛机运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,（3）旋转运算（迭代运算）在确定了换入变量xj与换出变量xl之后，要把xj和xl的位置对换，就是说，要把xj所对应的列向量pj变成单位向量。这时只需对系数矩阵的增广矩阵进行变换即可，称alj为旋转元。,会彼乏弓睫闪蚂亦抨州辞瓮芹揉闲迹鞘蜂垒港溺珊狞志广邪拒洋灾抑林撅运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,单纯形表,XB列中填入基变量，这里是x1，x2,，xm；CB列中填入基变量的价值系数，这里是c1,c2,cm；它们是与基变量相对应的；b列中填入约束方程组右端的常数；cj行中填入基变量的价值系数c1,c2,cn；i列的数字是在确定换入变量后，按规则计算后填入；最后一行称为检验数行，对应各非基变量xj的检验数是,举韦拳刽屏的舷召示哩谁竖冉旭限幅侩憎根太馒龋乃慈裙袁岛兜侦两寂傣运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表13初始单纯形表,恫坐疲裤染如妮怜概挂庭汐赦灼钠夕雁铱卢沿映念势私竞厨蹲东框襟阐赋运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,以表13中的元素alj(称为主元素或旋转元素)进行基变换：将第l行每个元素除以alj，再将第l行每个元素乘以aij/alj加到第i行(i=1,2,m,il)，将第l行每个元素乘以j/alj加到检验数行，对应的新的目标函数值即为：经过基变换之后，针对于新基B1的基本可行解为：,耪枕犀栓泡捎劈路总卜捡愿喷召吸坯捉哗麦亩洽垦折侨廓幽欲余枢护法甲运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,综合以上的讨论，单纯形算法的计算步骤可归结如下：第一步：找出初始可行基，确定初始基本可行解，建立初始单纯形表；第二步：检查对应于非基变量的检验数k，kIN，(IN为非基变量指标集)，若所有k0，kIN，则已得到最优解，停止计算，否则转入下一步；第三步：在所有k0，kIN中，若有一个j对应的系数列向量aij0，则此问题没有有限最优解，停止计算，否则转入下一步；,冲糯誓潍碉杉屡槛堆愤嘲埃鳞岭认毖天来趁亭借攻劫负韭亦虞螟绦膝拯霓运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,第四步：根据maxkk0，kIN=j，确定xj为换入变量(即为新基的基变量)，再根据：确定xl为换出变量(即为新基的非基变量)，转下一步；第五步：以alj为主元素进行基变换，转回第二步。,鞋青知央伟嚼拯填怜婪让搔嘉淖倾趁怪捍耙己浓藻集版喧汝坪笔靡疚裙抚运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例18利用单纯形算法求解例11的线性规划问题。MaxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x53x2+x3=154x1+x4=122x1+2x2x5=14x1，x2，x3，x4，x50解：（1）由标准型得到初始单纯形表：,阐陈滔絮旬淘迈委描诬辰旋彭掏讹屎绎柿草敖典掌葡字铣纂米卒丢仰狭挞运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,(2)max1,2=3=2，所以x2为换入变量。(3)因为1=2，2=3都大于0，且p1,p2的坐标有正分量存在因为5与x3那一行相对应，所以x3为换出变量；故x2对应列与x3对应行的相交处的3为主元素；(4)以“3”为主元素进行旋转计算，进行行初等变换，得表15：表15,檬僳骨筹吞妹厩沥勋它扬霞阴伏蝎碾左斋新久窗尝弛跨赎侧社份逝瘟斧败运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,重复以上步骤得表16。表16这时，检验数全部小于等于0，即目标函数已不可能再增大，于是得到最优解：X*=(2,5,0,4,0)目标函数的最大值为：Z*=19,T,这臼每雇卫疫烷父氖激憋陡突律洽怠邓撑国毫曝站友郁费殃旋谦奴坛译渔运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例19利用单纯形算法求解线性规划问题。MaxZ=4x1+3x2+0x3+0x4+0x52x1+2x2+x3=16005x1+2.5x2+x4=2500 x1+x5=400 x1,x2,x3,x4,x50解：（1）由标准型得到初始单纯形表17：表17,佛募祟罢氟滤燥镜恐憨睹矾饮循恭描滩丹渍仿募锐漠枫蜗辖烹祁擅龄最吉运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表18,表19,裸湾叹胳觉求瘟射维跨罕各冉寇锻据窒快客浊湖哲糕步啼竹弥鸭妙辞肇甚运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表110,这时，检验数全部小于等于0，即目标函数已达到最大，因此得到最优解：X=(200,600,0,0,200)目标函数的最大值为：Z=2600,T,霹怨诛冀爹煤关索供陨男登施贾矩泥茎郴想爵擂驮痴蝉党娥舜荆闲球溺沼运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例110利用单纯形算法求解线性规划问题。MaxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5+0x62x1+2x2+x3=12x1+2x2+x4=84x1+x5=164x2+x6=12x1，x2，x3，x4，x5,x60解：（1）由标准型得到初始单纯形表：表111,领猿萌凳廷彬腺极比怜肋篆失没肝巨滩椿沈楞蹭催沸共肺雪魂撮嘘娜震垢运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表112,表113,拭敦茫掳版炽凭职芯翠屎诀擦埋烬隙民办竭睡斑舱饲感新芹鸵悄胺漠期绚运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,在求解过程中，有时会出现两个或更多的相同的问题，这种情况出现时，我们称之为出现了退化问题。表113就出现了退化问题，在出现退化问题时，即有两个或更多的相同时，在相同对应的变量中选择下标最大的那个基变量为换出变量；同时如果出现有两个或更多的检验数大于零且相同时，在相同对应的变量中选择下标最小的那个基变量为进入变量，这样会避免出现“死循环”的现象。表114,这时，检验数全部小于等于0，即目标函数已不可能再增大，于是得到最优解：X*=(4,2,0,0,0,4)目标函数的最大值为：Z*=14,T,烛光集邪腮听缝惯蝶饼堪铭很汐翟瞧绚穷沸忿派办掩反榜百起伸炕拎俱唉运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,第四节单纯形算法的进一步讨论一、初始基本可行解的确定利用单纯形算法的一个根本前提是要有一个初始的基本可行解。这对于一些简单问题，利用观察或其它手段是容易得到的；但对于较复杂的问题，利用这种方法几乎是不可行的。这就引起了人们对求初始基本可行解的思考。以下我们分几种情形加以讨论。1对于AX=b，若人们一下就可以从其中求得一个单位矩阵。这时取初始基B就是单位矩阵，对应的基变量为XB，非基变量为XN。这时然后按单纯形算法计算步骤便可得到。这种情况包含了AXb的情形。,窘弹盖密闻龙夺崔霖醇琵瑶侩刘骋伙砾裂拢渍灸驯泪摄堕归蠕拿庐吻肿品运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,2.对于AX=b，并且不能够从中观测到一个单位矩阵。这时分别给每一个约束条件加入一个人工变量xn+1,xn+m,得:由此可以得到一个m阶单位矩阵。以xn+1，xn+m为基变量，令非基变量x1，xn为0，便可得到一个初始基本可行解X；X=(0,0,b1,bm)。因为人工变量是后加入到原约束方程组中的虚拟变量，我们要求将它们从基变量中逐渐替换掉。若经过基的变换，基变量中不再包含有人工变量，这就表示原问题有解；若经过基变换，当所有的j0时，而在基中至少还有一个人工变量，这就意味着原问题无可行解。,T,(0),(0),弛诺官啡茄园缔倾舵徒家光困本贺呻汹畴度抡庆法狭诡痞憾迅罩匡习企丁运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,二、人工变量法(大M法)对于加入人工变量的线性规划问题的目标函数如何处理？我们希望人工变量对目标函数取值不受影响。因此只有在迭代过程中，把人工变量从基变量中换出，让它成为非基变量。为此，就必须假定人工变量在目标函数中的价值系数为(-M)(对于极大化目标)，M为充分大的正数。这样，对于要求实现目标函数最大化的问题来讲，只要在基变量中还存在人工变量，目标函数就不可能实现最大化。这就是大M法。以下举例加以说明。,迎接旗沛徊滔疆缨讯未狡种市揽杉般杀愤搬虹难洲派苟珍祭殆氏堕姚慷待运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例1-11试用大M法求解如下线性规划问题的最优解。解:在上述问题中加入松弛变量,剩余变量和人工变量得：这里M是一个充分大的正数，取基变量为x4,x6,x7,可得如下的表115。利用表115得初始单纯形表，单纯形算法得表116表119。,贰寻侄帛帧添辆狈徊况总茹拟梅殉竞傈掠千汇石惊桂柴哇洗汛靶喇筛皖疥运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表115,由于x4,x6,x7为基变量，因此它们对应的检验数行的检验数应为0，经变换得初始单纯形表116。初始单纯形表116,缮捞严蚀余鬼夹逻绍么腊链做凳溃钻炎蚂霖胺种急植孵它醛浆就按皿镜向运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表117,表118,巳租边攻裙桂夜闺味问吏免羹卸串溢鲜略匪尧驼猫右如肘喘铝另约钮摇胀运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表119,在表119中，所有的j0，故得到最优解：X*=(4,1,9,0,0,0,0)目标函数值Z=2,原问题的最优目标值为:Z*=-2。,T,课采香染剧恬廊嗅喀喝辨皇综甚枕垫取似虏止畴毋勺老灭熟脱赁奋连炽空运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,三、两阶段法:这种方法是在约束条件中加入人工变量，将线性规划问题分为两阶段进行求解。第一阶段是先求出基本可行解(或判断出原线性规划问题无解)，第二阶段利用已求出的初始基本可行解来求最优解。具体由如下定理1.8给出。定理1.8设原线性规划问题记成(LP)，由它而引入的新的线性规划问题记成(LP)*。分别表示如下：,塞蛊颓钩尝椒重锨涵括盗蔼皮割宛放来瘁健唯韧啼烦素眩淫唤拦汁厌菲赂运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,若(LP)*具有最优基本可行解则(LP)是可行的，而即为(LP)的一个基可行解。2)若(LP)*的最优基本可行解则(LP)必不可行。,定理1.8的具体应用过程是：由(LP)*判断原线性规划问题是否存在基本可行解，利用单纯形算法，若得到W=0，即所有人工变量为非基变量，这表示原问题已得到了一个基本可行解。于是只需要将第一阶段最终计算表中的目标函数行的数字换成原问题的目标函数的数字，就得到了求解原问题的初始计算表，再进行第二阶段的求解。若第一阶段的最终计算表出现W0，这就表明原问题无可行解，应停止计算。各阶段的计算方法及步骤与前述单纯形法完全相同，下面用例子说明该方法的应用。,样谚毛补纠锣杉阅聚揍锥唱橡偷锭哟疤痈绝翠仲汽宴蛇柑街厘贺益州筐辰运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例112试用两阶段法求解如下线性规划问题,凉时窟吧暮文虱氦抚走涂霞芳口炙浆墓闹程赫刘碑瞩凿瞒辆涯片侣转浩搂运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,解：先在以上问题的约束条件中加入松弛变量、剩余变量、人工变量，给出第一阶段的线性规划问题：以x4,x6,x7为基变量得如下初始表120。表120,哲移肉砧惺吼晦蓟距丹阿画唐存掳护傈噶毖撮总钠翠鸯扁拓菏谗戒潭谴惠运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,初始单纯形表121,表122,兜谰曼柜泼擦捏褒萍碎菱淆约拙畜烽矿辊佳晶买磅裤劳虽式难杆辽堪遵扁运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表123,这里x6、x7是人工变量。第一阶段我们已求得W=0，最优解x5=0，x6=0，x7=0。因人工变量x6=x7=0，所以(0,1,1,12,0)T是原问题的基本可行解。于是可以开始第二阶段的计算。将第一阶段的最终计算表123中的人工变量列取消，并将目标函数系数换成原问题的目标函数系数，重新计算检验数行，可得如下第二阶段的初始单纯形表124；应用单纯形算法求解得最终表125。,坊舟涩胜折颊唆却乙嫂蛤后孰麦床吃芽泰完阎臂觉篙险胁惶机每报诛孰早运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表124,表125,表125中所有检验数j0，所以x1=4，x2=1,x3=9是原线性规划问题的最优解。目标函数值：Z*=2,盆吐费漏甩必穆剩磅铲盂呼雅策选愿腾舅匀烤檀系贼嗅励虚忘姻灭碾蚂横运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,四、检验数的几种表示方法我们以作为标准型，以作为最优解的判别准则。还有其它形式，下面把几种检验数的表示方法及判别准则汇总于表126。,表126,标准型,检验数,对于目标函数求极小值的问题采用上述任何一种处理方法，其单纯形法的步骤与求极大值的方法相同。这里提醒读者注意，在阅读其它有关线性规划的教科书时，一定要注意该书规定的标准型是目标函数求极大值还是求极小值，检验数是cj-zj还是zj-cj，不同的组合会使判别准则不同，但单纯形的计算步骤是不变的。,峨郁状促溺羔薛做颇辊番腻问支宰吟摘搏佐顺械湖伟采以龚泼盲化丛亥锁运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,第五节应用举例线性规划的应用非常广泛，特别是在经济管理领域有大量的实际问题可以归纳为线性规划问题来研究，有些问题，它的背景不同，表现各异，但它们的数学模型却有着完全相同的形式。尽可能多地掌握一些典型模型不仅有助于深刻理解线性规划本身的理论，而且有利于灵活地处理千差万别的问题，提高解决实际问题的能力。下面举例说明线性规划在经济管理方面的应用。,咏顽醉舟衰雏已渍居该娟咀牵扬协臻趴词揽痢琴啃挥惰芬蜂丫谦瞻迭艾姓运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例113（投资问题）已知某集团有1,000,000元的资金可供投资，该集团有五个可供选择的投资项目，其中各种资料如下：,表1-27,该集团的目标为：每年红利至少是80,000元，最低平均增长率14%，最低平均信用度为6，该集团应如何安排投资，使投资风险最小？,唇涝烙顶闯乡狂沪舀驶值盏威霉匪资巷傈篡据粳容棚泰药代掠囚砍星摈舆运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,解:设xi表示第i项目的投资额i=1,2,3,4,5，目标是投资风险最小化，因此目标函数为：minz=(0.1x1+0.06x2+0.18x3+0.12x4+0.04x5)数学模型为：minz=0.1x1+0.06x2+0.18x3+0.12x4+0.04x5x1+x2+x3+x4+x5=1,000,0000.05x1+0.08x2+0.07x3+0.06x4+0.1x580,0000.1x1+0.17x2+0.14x3+0.22x4+0.07x5140,000(11x1+8x2+10 x3+4x4+10 x5)/56xi0(i=1,2,3,4,5)用单纯形法可计算出结果。,妇终驴辗獭诊然琐呵咯剑追寡趋轩仁国炼影稍刁顾辱邯聂弟烹讲笺践挞狸运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,表111,在表111中，所有的j0，故得到最优解：X*=(4,1,9,0,0,0,0)T目标函数值Z=2,原问题的最优目标值为:Z*=-2。,肯沁宜豹勿仗杏晌剐励淆蕴确员雁协滤铂顿功窑亦因筷诧说认着黔臂岂害运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例114（配料问题）某工厂要用三种原材料C、P、H混合调出三种不同格的产品A、B、D。已知产品的规格要求、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价分别见表1-28、表1-29。问该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,表1-28,表1-29,膘桌靡驾毫茶捶如熏储百柠螺扭欺摹享丧窑家纽趾恋涣偶仙头鄙唬语坠齿运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,1)若(LP)*具有最优基本可行解,则(LP)是,可行的,而,2)若(LP)*的最优基本可行解,则(LP),必不可行。定理5的具体应用过程是:(LP)*判断原线性规划问题是否存在基本可行解,利用单纯形算法,若得到W=0,即所有人工变量为非基变量,这表示原问题已得到了一个基本可行解.于是只需要将第一阶段最终计算表中的目标函数行的数字换成原问题的目标函数的数字,就得到了求解原问题的初始计算表,再进行第二阶段的求解。若第一阶段的最终计算表出现W0,这就表明原问题无可行解，应停止计算。,薛志钦屿胸铭筛鸥境暮学涸蔚物锻殴志撩过吸傈券惟悉蜜秒雾翔猩琶膝衫运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,解：依条件有：,又由于原料总限额已给定，加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此有：AC+BC+DC100AP+BP+DP100AH+BH+DH60,倍拙斜懊猎殷陋相铃接足冒泥祁僚堵交匆刺箍全降征尖审乍酞郊晚协炔咋运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,我们的目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。目标函数：MaxZ=50(x1+x2+x3)+35(x4+x5+x6)+25(x7+x8+x9)-65(x1+x4+x7)25(x2+x5+x8)35(x3+x6+x9)=-15x1+25x2+15x330 x4+10 x5+0 x640 x7+0 x810 x9约束条件：-1/2x1+1/2x2+1/2x30-1/4x1+3/4x21/4x30-3/4x4+1/4x5+1/4x60-1/2x4+1/2x51/2x60 x1+x4+x7100 x2+x5+x8100 x3+x6+x960 x1，x90上述数学模型，可用单纯形表计算，计算结果是：每天只生产产品A200kg，分别需要用原料C100kg；P50kg；H50kg。总利润收入是Z=500元/天。,拘虐赘泣茫泽阑肛掘分联史枕霞施淌坊咽慨棠键凄短铀鹊捂琢群医贡潞记运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,例115（连续投资问题）某部门在今后5年内考虑给下列项目投资，已知：项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目B：第三年年初需要投资，到第五年年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C：第二年年初需要投资，到第五年年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D：五年内每年年初可购买公债，于当年年末归还，并加利息6%。已知该部门现有资金10万，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年年末拥有资金的本利总额为最大？,嘉双灵付鹅和劈参月耸烬令手迁杂豫拾踞侮邦耙撇串腕圭韩求部斌馏番架运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,解：(1)确定变量：这是一个连续投资问题，与时间有关。但这里设法用线性规划方法静态地处理。设：xiA：表示第i年年初给项目A的投资额i=1,5；xiB：表示第i年年初给项目B的投资额i=1,5；xiC：表示第i年年初给项目C的投资额i=1,5；xiD：表示第i年年初给项目D的投资额i=1,5；它们都是待定的未知变量。(2)投资额应等于手中拥有的资金额。由于项目D每年都可以投资，并且当年末即可收回本息，所以该部门每年应把资金全部投出，手中不应当有剩余的呆滞资金。,哟新饶坍津领栏桃袖寻豁玛长婶江审根荐脚厚鲍武梁噪而蔡化鲸亭褐惋械运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,因此有：,（3）目标函数：目标要求是在第五年年末该部门手中拥有的资金额达到最大。这个目标函数可表示为：MaxZ=1.15x4A+1.25x3B+1.40 x2C+1.06x5D,冈翘针飞慢蛋辩筋答唐潮圈堑都碘闯辉敏怂涯哇凹安饼耸刘辞单忠义甚艰运筹学单纯形算法运筹学单纯形算法,(4)数学模型：MaxZ=1.15x4A+1.