6概率论与数理统计

1,概率论与数理统计,(六)开始王柱2013.3.18,拉吭晰戍抬九殴星贷绘灼搞粪僧吱栽兔束订钨早谜恐畏叁篡督怠葬惊家周6概率论与数理统计6概率论与数理统计,2,定义:随机试验E,样本空间=e,(,A,P)为概率空间,对于中的每个e,都有一个实数X(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实函数X=X(e)，称为随机变量。,对于任意的实数集合L，X属于L表示事件e|X(e)属于L。,令PX(L)=P(e|X(e)L),则(R,PX)也为概率空间。在其上,令X*=X*(x)=x，也是随机变量。注意X与X*取值的概率情况相同。,奠什囚梗封卸辙价悠劈旨咳惯拔瓦黄像雷载输围撂闽彻炬各座蜀婪主溢家6概率论与数理统计6概率论与数理统计,3,*随机变量的分布函数,称为X的分布函数。,X的分布函数F(x)是普通的函数。表示X落在区间(-x上的概率。,X的分布函数F(x)的性质:,10F(x)是一个不减函数。,200F(x)1。且左无穷远点为0,右无穷远点为1。,30F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。且间断点最多有可列个。,定义2.3.1:X为一个随机变量,x是任意实数,函数,廊搂烘叹晚铬吟站氰待旅狸冈多慑摇熙抱痢败濒栋午孜驾将删拨班意扦耍6概率论与数理统计6概率论与数理统计,4,*离散随机变量的分布函数,设：离散随机变量可能取的值为xk(k=1,2,),X取可能值的概率为pk=P(X=xk)(k=1,2,),F(x)=PXx为阶梯函数,跳跃点在xk处,且最多有可列个，跃度为pk。,值蝶荫易瓮兆犯八妻君挎舅瑶查到病府刚龋伤午景疚诣是跌殊啥亦大溪了6概率论与数理统计6概率论与数理统计,5,（0）、(0-1)分布,定义；随机变量X只可能取0或1两个值。它的分布律是P(X=k)=pkq(1-k),k=0,1(0p0为常数,称X服从参数为的泊松分布,记为X()。,爵傅底邹喜虫墟鄂颊乒倪腔怯物唇光膏附旦灶拼麻得洽陈戒尾赔槛韶挟莆6概率论与数理统计6概率论与数理统计,11,泊松分布图,0,5,10,15,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0,5,10,15,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,参数=4,掌漠硼蔚慑私缝档昼午盅眨敌暗驴吧升彦咽梅全长梅眯吻骚宽纳孪埃延尉6概率论与数理统计6概率论与数理统计,12,*连续型随机变量的概率密度,则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。,概率密度f(x)的性质:,10f(x)是一个非负函数。,30Px1Xx2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间(x1x2上的积分。,40若f(x)在点x处连续，则F(x)=f(x)。,定义:随机变量X分布函数F(x),存在非负函数f(x),对于任意实数x有，F(x)为f(x)在区间(-x上的积分,x1=x2,注意，这时F(x)为连续函数。,20f(x)在全区间上的积分为1。,坦舜秩恳貉恶刘鹏跋隶所表闷毫捞喀鹃级苹怕鲍畜兽子汁傲炽乳蛤椭丹挫6概率论与数理统计6概率论与数理统计,13,1.连续型随机变量X一定具有概率密度fX(x),-x;,2.反之,有一个非负可积函数f(x),其在全区间上的积分为1。则它一定是某个连续型随机变量X的概率密度函数.实际上：令FX(x)为该f(x)特定的一个原函数(FX()=1),记Px1Xx2=FX(x2)-FX(x1)则(R,P)为概率空间,随机变量X(x)=x的概率密度函数为该f(x)。,旦绵羌藉蜘白蛋殿楞考沥洲对扳弃羹啊椭督总谢俊摔搔迢妒薯京答扭卉发6概率论与数理统计6概率论与数理统计,14,（1）、均匀分布,定义：随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/(b-a),axb;=0,其它。,则称此X在区间(a,b)上服从均匀分布。,（几何概率）,尧黔雷诗蹄冒墅脂扎踪虚讲赊量销堪疵颠滦森氦旺匠怜忧盗视釜伺瞄道借6概率论与数理统计6概率论与数理统计,15,在区间(a,b)上服从均匀分布的分布函数为:,F(x)=0,xa;=(x-a)/(b-a),axz=,0z|=,01则称z|为标准正态分布的（双侧）分位点.,显然,z|=z/2,殖吁蜜妊衣他太樱胖箭充勺段爵巨谦囤褐芽齐田重亲婪裁平进焦平威轰档6概率论与数理统计6概率论与数理统计,23,一、离散随机变量函数的分布,设：离散随机变量可能取的值为xk(k=1,2,),X取可能值的概率为pk=P(X=xk)(k=1,2,),2.4随机变量函数的分布,Y=g(X)的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).取相应可能值的概率为rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).,见例1:,沃汐铱反把悍庭白铂选臣畏湖仔亲毗绥孝暇挎仿碱湿囊及窄赢低姓疡竭扇6概率论与数理统计6概率论与数理统计,24,设：离散随机变量可能取的值为,y=(x-1)2的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).取相应可能值的概率为rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).,例1:,xk=-1012pk=0.20.30.10.4,yj=014pj=0.10.70.2,例06-1,坠毗羹乡桐唁佐票猛谷善凑攘傅靡姥腕哑叛季静快记抿综抉链献二倔献捍6概率论与数理统计6概率论与数理统计,25,解由X的概率分布为,例2.5.1设随机变量，求（1）随机变量的概率分布；（2）随机变量的概率分布；（3）随机变量的概率分布。,例06-2,示转潮牲恩蔡敖勾依诡墩逞彻拐等抨猿叠滥享迸搜毒球桶笔绞鲍刮邦乍宴6概率论与数理统计6概率论与数理统计,26,得到：（1）随机变量的概率分布；,（2）随机变量的概率分布；,（3）随机变量的概率分布。,0.343,0.441,0.189,0.027,0.63,0.37,0.343,0.468,0.189,亢澎陡贤迫祥抑倦寺旋卡廖盯硒菌饮迄呆伍滔菊峪珊惯吹地厚窘学石抿促6概率论与数理统计6概率论与数理统计,27,随机变量X具有概率密度fX(x),-aFY(y)=PYy=Pg(X)y=PXL(y),关键是解出L(y)来，再求导。,二、连续型随机变量函数的分布,棚给镣摈示蕊沸阳惟挟谢算琼扁丛靶粱快簿篙返怔挂蠢硅科颤虾敌聚晾蝎6概率论与数理统计6概率论与数理统计,28,例3：随机变量X具有概率密度fX(x),-x0FY(y)=PYy=PX2y=P-yXy,特别,XN(0,1),Y=X2称为自由度为1的2分布.,例06-3,极况搐阉野召界楼啼侣顿镣毛试仲格理森党赋狰鹏安耘苯凿宜咒述馈炯煤6概率论与数理统计6概率论与数理统计,29,例2.5.3设随机变量的概率密度函数求随机变量的概率密度函数。,解:,随机变量的取值范围是，随机变量的取值范围是，先求的分布函数。,例06-4,诈芬蠢孕暮恋舱戮坊棉诵作吟露洗衍粮狰捌恒壳纲版瑟陋楔橡仁创食亦图6概率论与数理统计6概率论与数理统计,30,综合上述求得的分布函数,将在开区间关于求导，得的概率密度函数,为不可能事件，,得到,领项纫混半汗荒脂宦梧黎沿氏许艇唁索兜诸螟小病抢跺河匝豫余植冬涛铲6概率论与数理统计6概率论与数理统计,31,fY(y)=fXh(y)|h(y)|,ay0,严格单调,a、b存在,反函数h(y)存在,分段考虑：FY(y)=0,ya;FY(y)=1,by;对ay0(或恒有g(x)0)则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度fY(y)为,钟悄稿短茵移祟熬姜撇犊休毕鸿事缚宅拨侮难舅搔废篆否馅阵羡贴戒们醒6概率论与数理统计6概率论与数理统计,32,例2.fX(x)=x/8,0x0;a=8;b=16;反函数存在,h(y)=(y-8)/2;于是,对8y0,或0.99(z)0.01;(80-d)/0.5-2.327d81.1635,例06-7,稿囱酶楔贫潭夺噎滞输似录蔫挟堑仑桔肆淋秽妻岗网零营烙襟眷轨板玲睦6概率论与数理统计6概率论与数理统计,39,例5.设电压V=Asin(X)。A为已知常数,相角X在区间(-/2,/2)上服从均匀分布.求V的概率密度.,解:在区间(-/2,/2)上,g(x)=Asin(x),g(x)=Acos(x)0。x=h(v)=arcsin(v/A),h(v)=1/(A2-v2)。,在区间(-/2,/2)上,f(x)=1/,代入后得:在区间(-A,A)上,fV(v)=1/(A2-v2)。,例06-8,苇釉把丝庚顶否浦极何哮固后驰捎贵厄沿蝉棠咯铰叹扰股览立蓬尤画困剔6概率论与数理统计6概率论与数理统计,40,概率论与数理统计,(六)结束,作业:习题二的19,22,25,魏涌褒纳荔炽弱旺恒砍吊颅饥誊戎挚苦人阑扛渣栽震哈死忆诵酿需剥呼酗6概率论与数理统计6概率论与数理统计,41,19,澡鉴患凝江化遵肺箱只谭婶剁蛇慌祝订杀沤伺恤吭姑吟埔刚沼滇瓷斡蜀铁6概率论与数理统计6概率论与数理统计,42,22,陡罪虎治罢骂要赎