6.1 保形映射概念

1,解析函数所确定的映射是保形变换。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。应用保形映射成功地解决了流体力学、空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论、同轴测量线的设计问题、3D模型变形、脑体映射以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形变换理论到拟保形变换理论的发展。,第六章保形映射,2,6.1.1切线倾角的复数表示,6.1保形映射的概念,设C为一条连续曲线，其参数方程为C:z=z(t)=x(t)+iy(t),(atb),z0=z(t0),且z(t0)0，则C在z0处的切线存在，并且切线正向（指向参数增加的方向）和实轴正向的夹角为,z1,3,结论:,两条相交于一点的曲线正向之间的夹角就是它们在交点处的两条切线正向切向量之间的夹角。,曲线C在z0的切线对实轴的倾角。,4,1）设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数,通过z0任意引一条有向光滑曲线,C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).,因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z),的参数方程应为,它的倾角为,C,w=f(z),C之象曲线,6.1.2解析函数的导数的几何意义,5,图6.1,由于,故在w0=f(z0)也有切线,设其倾角为，则,且,就是切向量,图(6.1)说明:象曲线在点w0=f(z0)的切线正向,可由原曲线C在点z0的切线正向旋转一个角度argf(z0)得出：argf(z0)仅与z0有关,而与经过z0的曲线C的选择无关,称为变换w=f(z)在点z0的旋转角,6,分析：,=,性质1：函数f(z)解析，且f(z)0，则曲线C1和C2的夹角在映射w=f(z)之下保持不变。,7,称为曲线C在z0的伸缩率.,2),上式表明|f(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点z0处沿曲线C的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率不变性.,上式可视为,8,2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f(z0)|而与其形状和方向无关。,结论设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:,1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。,例1求w=f(z)=z3在z=0,z=i处的导数值,并说明几何意义。,解：w=f(z)=z3在全平面解析，f(z)=3z2。,在z=i处具有伸缩率不变和保角性。,伸缩率为3，旋转角为。,处显然不具有保角性。,9,在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.,结论的几何意义.,10,伸缩率,也将很小的圆,11,例,解：,由导数辐角的几何意义,故旋转角,映射将切线变化为：,方向如图。,12,6.1.3保形映射的概念定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形的,或称w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是保形的,就称w=f(z)是区域D内的保形映射.,仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保角映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保角映射。,例如是第二类保角映射。,13,定理6.1如果函数w=f(z)在z0解析,且f(z0)0,则映射w=f(z)在z0是保形的,而且argf(z0)表示这个映射在z0的转动角,|f(z0)|表示伸缩率.,保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一点保角，在每一点具有伸缩率不变性。,例如函数在是第一类保角的