第一章函数与极限电子教案第十节_第1页
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一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,*三、一致连续性,一、有界性与最大值最小值定理,定理1在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一,定取得最大值和最小值.,证明略.,如图所示的函数为,y=xsinx，,它在闭区间,-2,2上连续，,故取得,最大值,最小值,注意,定理1是一个充分性定理.,如果函数不满足“在闭区间上连续”这一条件，则它,可能取得最值，也可能不取得最值.,例如，y=xsinx,它在开区间(-2,2)上,连续，,它仍可取得最大,值,最小值,又如，y=x2sinx它在开区间(-1.5,1.5)上连续,但它不,取得最大值和最小值.,再如，函数,在闭区间0,2上有间断点x=1，,这函数f(x)在闭区,间0,2上虽然有界，,但是既无最大值又无最小值.,二、零点定理与介值定理,定义如果x0使f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的,零点.,定理2(零点定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连,续，,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0)，,那么在开,区间(a,b)内至少存在一点，使,f()=0.,例如，如图所示的函数f(x)=x+2sinx2在闭区,间0,4上连续，,且f(0)=20,故曲线y=x+2sinx2与x轴,至少有一个交点，,也即方程,x+2sinx2=0,在区间(0,4)内至少有一根.,注意,如果函数在闭区间上不连续，则在开区间内可能有,零点，也可能没有零点.,例如，,在闭区间-4,4,上不连续，,但f(-4)=-0.250,可是,在,区间(-4,4)内无零点.,定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连,续，,且在这区间的端点取不同的函数值,f(a)=A及f(b)=B，,那么，对于A与B之间的任意一个数C，在区间(a,b),内至少有一点，使得,f()=C.,几何意义如图所示.,例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与,最小值之间的任何值.,一根.,例2证明方程xn+an-1xn-1+a1x+a0=0(其中n,为奇数)至少有一实根.,例3证明方程,在区间(1,2),和(2,3)内各有一根，且只有一根.,*三一致连续性,设函数f(x)在区间I上连续,即,一般情形下，,就引出了一致连续的概念.,与，x0都有关，,若与x0无关时，,定义设函数f(x)在区间I上有定义.,如果对于任意,给定的正数，总存在着正数，使得对于区间I上的,任意两点x1,x2，,当|x1x2|时，,就有,|f(x1)f(x2)|0(01)，取两点,其中n为正整数，,则x1,x2(0,1.,因,它可以任意小，,但这时有,
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