计算机应用基础-2-计算方法基础

第二章Matlab计算方法基础,矩阵基本分析矩阵的运算矩阵的性质矩阵的分解符号运算,一矩阵的创建(1)直接赋值：在命令窗口以命令行的方式直接输入。以为开始和结束的标志，行与行之间用（；），元素之间用（，）或空格。(2)冒号表达式e1:e2:e3,(3)zeros函数创建全零矩阵，调用格式为：,矩阵的基本分析,(4)eye函数创建单位矩阵，调用格式：,A=zeros(m,n),生成mXn全零矩阵。,B=eye(m,n),生成mXn单位矩阵。,(5)rand函数创建均匀随机矩阵，调用格式：,C=rand(m,n),生成mXn随机矩阵。,矩阵的基本分析,二矩阵及其元素的赋值变量=表达式（数）,a=123;456;789x=-1.3sqrt(3)(1+2+3)/5*4x(5)=abs(x(1)a(4,3)=6.5a=1.00002.00003.00004.00005.00006.00007.00008.00009.0000006.5000,元素之间用逗号、空格分开。不同行以分号隔开。语句结尾用回车或逗号，会显示结果，如果不想显示结果，用分号。元素用（）中的数字（下标）来注明，一维用一个下标，二维用两个下标，逗号分开。,a(5,:)=5,4,3b=a(2,4,1,3)a(2,4,5,:)=a/7,如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大小，矩阵的行列会自动扩展。全行赋值，用冒号。提取交点元素；抽取某行元素用空矩阵。,矩阵的基本分析,f1=ones(3,2)f2=zeros(2,3)f3=magic(3)f4=eye(2)f5=linspace(0,1,5)fb1=f1,f3;f4,f2fb2=fb1;f5,全1矩阵全0矩阵魔方矩阵：元素由1到nn的自然数组成，每行、每列及两对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。单位矩阵是nn阶的方阵。对角线上元素为1。线性分割函数大矩阵可由小矩阵组成，其行列数必须正确，恰好填满全部元素。,三基本赋值矩阵,矩阵的基本分析,f1=111111全1矩阵f3=816魔方矩阵357492线性分割函数f5=00.25000.50000.75001.0000大矩阵可由小矩阵组成fb2=1.00001.00008.00001.00006.00001.00001.00003.00005.00007.00001.00001.00004.00009.00002.00001.0000000001.000000000.25000.50000.75001.0000,f2=000全0矩阵000f4=10单位矩阵01fb1=1181611357114921000001000fb1=f1,f3;f4,f2fb2=fb1;f5,矩阵的基本分析,一矩阵的初等运算（1）矩阵的加减乘法i.加、减法：相加减的两矩阵阶数必须相同，对应元素相加减。,n,m=size(fb2)x=-101;y=x-1y=-2-10,语句size检查矩阵阶数，两矩阵相加，阶数必须相同。两相加减的矩阵中有一个是标量时，MATLAB将标量扩展成同等元素矩阵，与另一矩阵相加减。,2矩阵的运算,pi*x标量与矩阵相乘，不检查阶数，标量乘以矩阵的每一个元素。x=-101;X与y内阶数不同，将y转置y。读作x左乘y。y=-2-10;x*yans=2ans=20-2y*xX右乘y。10-1000,(2)矩阵乘法,矩阵Anp阶与矩阵Bpm阶的乘积C是nm阶矩阵。,P是A阵的列数，B阵的行数，称为两个相乘矩阵的内阶数。两矩阵相乘的必要条件是内阶数相等。,C(i,j)=kA(i,k)B(k,j)值为A阵第i行和B阵第j列对应元素乘积的和。,2矩阵的运算,eye(3)*a左、右乘结果不同，只有单位矩阵例外。a*eye(3)单位矩阵乘以矩阵A，左、右乘结果仍等于该矩阵。a=123ans=123ans=123456456456789789789,2矩阵的运算,二矩阵的除法及线性方程组的解,a=123456789AV=IV=A-1V=inv(a)inv(a)*aV=1.0e+016*-0.45040.9007-0.45040.9007-1.80140.9007-0.45040.9007-0.4504,nn阶方阵A和同阶的方阵V相乘，得出n阶单位矩阵I。I为eye(n)。V是A的逆阵。V存在条件：A的行列式不等于0，det(A)0V=A-1MATLAB内部函数inv，得出A的逆阵V。,D*X=Binv(D)*D*X=inv(D)*Binv(D)*D=II*X=XX=inv(D)*B=DBX*D=BX=B*inv(D)=B/D,D与B行数相等两端同时左乘以inv(D)逆阵单位阵DB为D左除BX=DB，左除时阶数检查条件：两矩阵的行数必须相等。未知矩阵在左.D的逆阵右乘以B，记作/D右除。右除时阶数检查条件：两矩阵的列数必须相等。,2矩阵的运算,a=123;3-54;789x=x1,x2,x3b=2;0;2ax=bx=aba左除b,方程组X1+2X2+3X3=23X1-5X2+4X3=07X1+8X2+9X3=2可以表示为ax=b,2矩阵的运算,a=123;456b=240;135d=147;852;360运算：a*bdaa*b?Errorusing=*Innermatrixdimensionsmustagree.da?Errorusing=Matrixdimensionsmustagree.,a*bans=6162092325123030a*bans=10222849daans=-0.037000.51851.0000-0.14810a/dans=0.40740.07410.00000.74070.40740.0000,2矩阵的运算,解线性方程组Ax=B6x1+3x2+4x3=3-2x1+5x2+7x3=-48x1-4x2-3x3=-7A=634;-257;8-4-3B=3;-4;-7X=AB,A=634-2578-4-3B=3-4-7X=0.60007.0000-5.4000,2矩阵的运算,三矩阵结构形式的提取与变换,A=8160;3571;4922B1=fliplr(A)B2=flipud(A)B3=reshape(A,2,6),提取矩阵中某些特殊结构的元素，组成新的矩阵，改变矩阵结构。fliplr矩阵左右翻转flipud矩阵上下翻转reshape阶数重组（元素总数不变）,B4=rot90(A)B5=diag(A)B6=tril(A)B7=triu(A)B8=A(:),rot90矩阵整体反时针旋转90度diag提取或建立对角阵tril取矩阵的左下三角部分triu取矩阵的右上三角部分将元素按列取出排成一列,2矩阵的运算,3.1矩阵基本概念与性质,一行列式,3.矩阵的性质,【例2-1】,A=162313;511108;97612;414151det(A),162313511108A=97612414151,求行列式,3.矩阵的性质,二矩阵的秩,3.矩阵的性质,rank(A)=rc=rr其中rc为行稚，rr为列秩,r=rank(A)%采用默认的精度求秩r=rank(A,)%给定精度求秩,【例2-2】,A=162313;511108;97612;414151r=rank(A),R=rank(A)=3,162313511108求A=97612的秩414151,3.矩阵的性质,3.2逆矩阵与广义逆矩阵,一矩阵的逆矩阵,AC=CA=I其中A为nXn非奇异方阵，则C=A-1,C=inv(A),3.矩阵的性质,矩阵的伪逆,B=pinv(A),【例2-3】,A=162313;511108;97612;414151formatlong;B=inv(A),162313511108A=97612求逆414151,下列奇异矩阵,3.矩阵的性质,3.3矩阵的特征值问题,一、一般矩阵的特征值与特征向量,Ax=x,d=eig(A)%只求特征值V,D=eig(A)%求特征值和特征向量,3.矩阵的性质,【例2-4】,A=162313;511108;97612;414151eig(A),求下列矩阵的特征值和特征向量,162313511108A=97612414151,同时求出特征值和特征向量,V,D=eig(A),3.矩阵的性质,二矩阵的广义特征向量问题,Ax=Bx,d=eig(A,B)求解广义特征值V,D=eig(A,B)求解广义特征值和特征向量,3.矩阵的性质,【例2-5】,A=5765;71087;68109;57910;B=26-1-3;5-123;-3-4110;5-2-38;V,D=eig(A,B),576571087A=6810957910,26-1-25-123B=-3-41105-2-38,求特征值和特征向量,3.矩阵的性质,V=0.2928-0.2697+0.7303i-0.2697-0.7303i1.00001.0000-0.1637-0.3013i-0.1637+0.3013i-0.60880.69480.9627-0.0175i0.9627+0.0175i-0.23220.8860-0.6795-0.2999i-0.6795+0.2999i0.1323,D=5.277700000.0303+0.1790i00000.0303-0.1790i0000-0.0036,3.矩阵的性质,三矩阵分析det(A)：矩阵的行列式poly(A)：矩阵特征多项式rank(A)：矩阵的秩inv(A)：矩阵的逆cond(A)：矩阵的条件数trace(A)：矩阵的迹pinv(A)：矩阵的伪逆,3.矩阵的性质,正交矩阵,4矩阵的基本变换,X=B-1ABQ*Q=I,且QQ*=IQ=orth(A),A=162313;511108;97612;414151;Q=orth(A),norm(Q*Q-eye(3)ans=1.0140e-015,【例2-6】,162313511108A=97612的正交矩阵414151,4矩阵的基本变换,4矩阵的基本变换,一矩阵的QR分解,A=Q*R,A为非奇异矩阵，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，调用格式：Q,R=qr(A),【例2-6】,A=162313;511108;97612;414151;Q,R=qr(A),162313511108A=97612的QR分解414151,4矩阵的基本变换,二矩阵的三角分解,A=LU,其中,4矩阵的基本变换,【例2-7】,A=162313;511108;97612;414151;V,D=lu(A),V=1.00000000.31250.76851.000000.56250.43521.00001.00000.25001.000000,D=16.00002.00003.000013.0000013.500014.2500-2.250000-1.88895.66670000,162313511108A=97612的LU分解414151,4矩阵的基本变换,三矩阵的奇异值分解,ATA=0,AAT=0其中A为任意的nxm矩阵,理论上有rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A),奇异值定义,其中i为非负特征值,4矩阵的基本变换,奇异值的计算：s=svd(A),【例2-8】,A=162313;511108;97612;414151U,S,V=svd(A),162313511108A=97612的奇异分解414151,4矩阵的基本变换,矩阵分解qr(A)：矩阵的QR分解lu(A)：矩阵的LU分解eig(A)：求特征值和特征向量svd(A)：矩阵的奇异值分解chol(A)：矩阵的Cholesky分解（A=T*T，T为正定上三角矩阵）,4矩阵的基本变换,5符号运算,Matlab提供了一种符号数据类型，相应的运算对象成为符号对象，Matlab符号运算功能集中在符号工具箱(symbolictoolbox)。符号表达式可以代表数字、函数和变量的Matlab字符串或字符串数组，它不要求变量要有预先确定值。,符号对象：sym或syms函数用于建立单个和多个符号变量。,f=sym(expr)%表达式expr转换为符号对象syms(arg1,arg2,)%将arg1,arg2定义为符号变量symsarg1arg2%上面的简化（变量间只能用空格隔开）,符号表达式包括符号符号函数和符号方程，其中符号函数没有等号，符号方程必须带有等号。注意sym可以建立符号方程，而syms不能。例：y=sym(2*sin(x)*cos(y)symsx1x2x3x4z=sin(x1)*cos(x2)+cos(x1)*sin(x2)simple(z)A=x1x2;x3x4DA=det(A)f=sym(sin(x)+cos(y)-1=0)f=syms(sin(x)+cos(y)-1=0)%Notavalidvariablename,5符号运算,基本命令findsym(expr)%确定表达式expr中所有符号为自变量findsym(expr,n)%确定表达式expr中靠x最近的n个自变量例：symsaxyztfindsym(sin(pi*t)findsym(x+i*y-j*z,1)findsym(x+i*y-j*z,2)findsym(x+i*y-j*z,3),5符号运算,基本命令digits(d)%设置有效数字个数为d的近似解精度R=vpa(A)%对表达式A求值R=vpa(A,d)%d为输出数值的有效位数例：digits(25)%设置vpa输出的有效位数q=vpa(sin(sym(pi)/6)p=vpa(pi)w=vpa(1+sqrt(5)/2,5),5符号运算,基本命令R=subs(S)R=subs(S,old,new)例：a=980;C1=3;y=dsolve(Dy=-a*y)subs(y)subs(a+b,a,4)subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)subs(x*y,x,y,01;-10,1-1;-21),5符号运算,求极限命令limit(F,x,a)%x趋向a时F的极限limit(F,a)%利用findsym确定变量limit(F)%默认a=0limit(F,x,a,right)%右极限limit(F,x,a,left)%左极限例：symsxath;limit(sin(x)/x)limit(1/x,x,0,right)limit(1/x,x,0,left)limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0)v=(1+a/x)x,exp(-x);limit(v,x,inf,left),5符号运算,求导命令diff(S,v,n)%S对变量v求n阶导数diff(S,v)%S对v求一阶导数diff(S,n)%自变量由findsym确定diff(S)%自变量由findsym确定例：symsxtdiff(sin(x2)diff(t6,6),5符号运算,积分命令R=int(S,v,a,b)%S对变量v在区间a,b内求定积分R=int(S,a,b)%自变量由findsym确定R=int(S,v)%S对变量v求不定积分R=int(S)%自变量由findsym确定例：int(-2*x/(1+x2)2)int(x/(1+z2),z)int(x*log(1+x),0,1)int(2*x,sin(