电网络第四章

,2014年10月,第四章网络的代数方程,刘欣liuxinhust系、教研室：电力工程系电工教研室电工新技术研究所,电网络分析选论,主要内容,4-1概述4-2支路方程的矩阵形式4-3电路代数方程的矩阵形式4-4混合分析法4-5约束网络法4-6稀疏表格法4-7改进节点法4-8双图法4-9端口分析法,4-1概述,网络方程的分类:,（2）微分代数方程,（1）代数方程,线性或非线性电阻电路的方程,线性动态电路的变换域方程（频域、复频域）,线性或非线性动态电路的时域方程,列写方程的基础：两类约束（KCL、KVL+VAR）,（1）手工计算,方程数目少：,节点电压,独立变量,完备,树支电压,网孔电流,回路电流,状态变量,节点分析法,割集分析法,网孔分析法,回路分析法,状态方程法,压控型支路,流控型支路,4-1概述,网络解变量的选取,（2）计算机辅助计算,节点电压附加电流节点电压支路电压支路电流,通用性强且方程适合计算机建立,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.复合支路,反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。,规定标准支路,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.复合支路,复合支路特点,支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；,支路电压与支路电流的方向关联；,支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。,复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.复合支路,注意：,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.复合支路,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,电路中电感之间无耦合,如有b条支路，则有：,Z=diagZ1Z2Zb,支路电流列向量,支路电压列向量,电压源的电压列向量,电流源的电流列向量,阻抗矩阵,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,整个电路的支路电压、电流关系矩阵：,bb阶对角阵,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,电路中电感之间有耦合,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,如1支路至g支路间均有互感,Z不是对角阵，但是对称阵,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,bb阶对称阵,电路中有受控电压源,Z的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,1.支路阻抗矩阵形式,bb阶非对称阵,例,写出图示电路的支路阻抗矩阵,4-2支路方程的矩阵形式,4-2支路方程的矩阵形式,一、线性电路支路代数方程的矩阵形式,2.支路导纳矩阵形式,与支路阻抗矩阵的关系：,4-2支路方程的矩阵形式,二、非线性电路支路代数方程的矩阵形式,除了独立电压源，所有元件都压控的,除了独立电流源，所有元件都流控的,一般形式,4-3电路代数方程的矩阵形式,一、回路电流法矩阵形式,回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。,回路电压源向量。,回路电流源等效电位升向量。,从已知网络，写出,回路分析法的步骤：,列出回路方程,求出,由KCL解出,根据支路方程解出,小结,二、回路电流法矩阵形式,4-3电路代数方程的矩阵形式,例,用矩阵形式列出电路的回路电流方程。,解：做出有向图，选支路1，2，5为树枝。,4-3电路代数方程的矩阵形式,把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式,4-3电路代数方程的矩阵形式,2、节点电压法矩阵形式,KCL,支路方程：,KVL,4-3电路代数方程的矩阵形式,结点导纳阵,独立电源引起的流入结点的电流列向量,2、节点电压法矩阵形式,4-3电路代数方程的矩阵形式,结点分析法的步骤,第一步：把电路抽象为有向图,小结,4-3电路代数方程的矩阵形式,第二步：形成矩阵A,第三步：形成矩阵Y,第四步：形成US、IS,US=-500000T,IS=000-130T,4-3电路代数方程的矩阵形式,第五步：用矩阵乘法求得结点方程,4-3电路代数方程的矩阵形式,例,用矩阵形式列出电路的结点电压方程。,解：做出有向图,4-3电路代数方程的矩阵形式,注意g的位置和符号,4-3电路代数方程的矩阵形式,代入,4-3电路代数方程的矩阵形式,高架桥结构的综合接地系统原则：接地钢筋原则上可利用结构本身的普通钢筋，预应力钢筋不接入综合接地系统；钢筋截面积至少为200mm2(如直径不小于16mm的钢筋或50mm4mm的扁钢)；每孔简支箱梁桥面设置6根纵向钢筋，在双线轨道底座板之间设置2根钢筋，防撞墙和轨道底板之间各设置2根钢筋；梁端桥面板设置横向钢筋、腹板设竖向钢筋；每个桥墩选取横向最外侧两根钢筋作为接地钢筋，并与承台环形接地钢筋焊接；选取承台4个角桩作为接地极与承台底层环形钢筋焊接，选择的接地桩身钢筋长度伸出承台底下不小于5m；,接地系统钢筋布置图,纵向钢筋,竖向钢筋,横向钢筋,接地桩,承台,高架桥综合接地系统建模问题描述,4-3电路代数方程的矩阵形式,高架桥综合接地系统建模建模思路,高架桥的箱梁、桥墩、承台及桩柱中的钢筋十分密集，整体对其建模导致计算规模非常大！,矩阵降阶,连接关系,PEEC法,节点电压法,开路抑制法,拉氏反变换,分块、分段建模,后向差分法,4-3电路代数方程的矩阵形式,对于介质1中的电场，可以归结为电流源I1和修正镜像电流源I2产生的电场的叠加；,对于介质2中的电场，可以归结为修正镜像电流源I3的电场；,轴向阻抗：,横向阻抗：,修正镜像法（考虑大地的影响）,高架桥综合接地系统建模PEEC法提取接地系统导体参数,4-3电路代数方程的矩阵形式,高架桥综合接地系统建模接地系统节点导纳矩阵建立,节点电压表示导体电位,节点电流表示横向电流,横向电压、电流关系,轴向电压、电流关系,不考虑横向支路的节点导纳矩阵,节点电流方程,节点电压方程,节点导纳矩阵,4-3电路代数方程的矩阵形式,高架桥综合接地系统建模接地系统多口网络建立,节点导纳矩阵,节点分类，改写矩阵,多口网络的短路导纳参数矩阵,由于不可及节点数量繁多，Y相比Yn，阶数降低显著。,消去不可及节点,可及节点：箱梁间的连接点；箱梁与桥墩连接点；桥墩与承台连接点。,4-3电路代数方程的矩阵形式,结合以上方程有：,以树支电压为未知量,3、割集电压法矩阵形式,4-3电路代数方程的矩阵形式,4、非线性电阻电路方程的矩阵形式,4-3电路代数方程的矩阵形式,除了独立电压源，所有元件都压控的,增量导纳：,除了独立电流源，所有元件都流控的,增量电阻：,(a)与无源元件串联,一、常见元件的R-零器等效电路,4-5约束网络法,(b)与无源元件并联,(c)零器与泛器元件串并联,结论：零器(或泛器)与无源元件串联时，等效为一个零器(或泛器),结论：零器(或泛器)与无源元件并联时，等效为一个零器(或泛器),结论：零器与泛器串联时等效为开路，零器与泛器并联时等效为短路,受约束网络,无约束网络,约束元件,含有VCVS和或零器的整个网络,移去全部VCVS和零器后所得的网络,VCVS、零口器和非口器,4-5约束网络法,适用范围：由压控型支路、VCVS和/或零口器与非口器组成的网络：节点电压方程给出了受控源、运算放大器的另一种等效电路；可以给出含有受控源、运算放大器电路的较为简单方便的另一种分析方法。,4-5约束网络法,一、常见元件的R-零器等效电路R-零器等效电路由电阻R和零器构成的等效电路。,4-5约束网络法,一、常见元件的R-零器等效电路R-零器等效电路由电阻R和零器构成的等效电路。,列写步骤：（1）建立无约束网络的节点电压方程；（2）逐一考虑接入约束元件后节点电压方程的变化。,1、接入VCVS的影响,设接入VCVS前的网络(也称无约束网络)的节点电压方程为,无约束网络移去全部VCVS和零器后所得的网络,4-5约束网络法,4-5约束网络法,无约束网络,接入VCVS前的网络(也称无约束网络)的节点电压方程为,接入一个接地VCVS后,接入一个接地VCVS后,只对第j个节点的节点电压方程有影响。,4-5约束网络法,消去第j个方程和第j个电压,且有,接入一个接地VCVS后,4-5约束网络法,简记为,4-5约束网络法,受约束网络的节点电压方程,接入VCVS规则,节点导纳矩阵：第j列乘以加到第i列，删去第j行、第j列,如果VCVS的控制量为两个独立节点之间的电压,每接入一个VCVS,将使节点导纳矩阵降低一阶。,节点导纳矩阵：,节点电流列向量：,例如，VCVS受控支路的方程为,第j列乘以加到第i列；第k列减去乘以第j列，删去第j列、第j行,消去第j个元素,4-5约束网络法,思考：接入如下VCVS后，节点导纳阵应如何变化？,4-5约束网络法,课堂测试,2、接入零口器的影响,4-5约束网络法,节点导纳矩阵变换规则,当第j个节点为参考点时,接入零口器对节点电流列向量没有影响,第k列加到第j列，消去第k列,:接入一个零口器将使变量数比方程数少1,直接消去第k列,节点导纳矩阵变换规则：,3、接入非口器的影响,在网络j和k两节点之间接入一个非口器，,设注入节点j的电流为I,仅对节点j和k的节点电压方程有影响。,4-5约束网络法,则方程变为,4-5约束网络法,消去电流I,则方程变为,节点导纳矩阵,节点电流源列向量,当第k个节点接地时，,直接消去的第j行，,消去的第j个元素,第j行加到第k行上，消去第j行,第j个元素加到第k个元素上，消去第j个元素,变换规则,4-5约束网络法,接入一个非口器将使方程数比变量数少1,例用约束网络法求图示网络的电压比,4-5约束网络法,解：无约束网络的节点导纳矩阵为,无约束网络,4-5约束网络法,接入VCVS,将第5列乘以后加到第4列上，删去第5行和第5列,4-5约束网络法,接入理想运放,在节点3和地之间接入一个零口器在节点4和地之间接入一个非口器,划去第3列和第4行,节点电压方程,4-5约束网络法,4-5约束网络法,4-6稀疏表格法,列写稀疏表格方程的一般步骤：,（变换域）,（时域）,画出电路的有向图，写出关联矩阵A元件的每一个端口作为一条支路,(2)写出KCL方程的矩阵形式:,SpareTableauApproach，STA,(3)写出KVL方程的矩阵形式:,（时域）,（变换域）,(4)写出支路方程(即元件方程)的矩阵形式。,线性电阻电路,线性动态电路,或者,s域形式,或者,相量形式,其中,（高阶元件用一次方程组表示）,4-6稀疏表格法支路方程(即元件方程)的矩阵形式,线性网络（频域）,T称为表格矩阵,简记为,非线性电阻电路,4-6稀疏表格法稀疏表格法矩阵形式,例在图示电阻网络中,双口电阻元件的伏安关系为,（1）,（2）,试分别列写上述两种情况下的表格方程。,4-6稀疏表格法例题,解：将节点和连接在一起，可画出图示的网络有向图。相连点选为参考点,（1）KCL:,（2）KVL:,4-6稀疏表格法例题,(3)支路方程,4-6稀疏表格法例题,（4）合成一个总的矩阵方程即为表格方程,4-6稀疏表格法例题,(2)支路方程为,双口网络方程,负载网络方程,电源网络方程,KCL方程、KVL方程与以上诸式构成稀疏表格方程,4-6稀疏表格法例题,KCL:,KVL:,添加支路法：以电导为例,电导G,KVL:,VAR:,KCL:,节点q流出电流,节点p流出电流,4-6稀疏表格法添加支路法,表中b、n和k分别为网络的支路数、节点数和支路编号,VAR,KCL,KVL,方程变量：节点电压附加电流变量,附加电流变量：电压源电流流控型支路电流输出电流电感电流,4-7改进节点法ModifiedNodalApproach，MNA,问题：网络中某些支路不存在压控型支路方程（如独立电压源）；,解决方法：引入附加电流变量,零状态s域模型：,4-7改进节点法,4-7改进节点法,Node1：,Node2：,Node3：,KCL方程：,元件方程：,电导：,电容：,电压源：,电感：,压控型,流控型,流控型元件方程：,节点电压方程：,电压源,电感,4-7改进节点法,4-7改进节点法,改进节点法方程：,4-7改进节点法,改进节点电压矩阵方程的常用形式为：,是把电流作为附加未知量的支路移去后所得子网络的节点导纳矩阵,B、C、D分别是电流未知量关系矩阵,B为子关联矩阵,式中：,例2用改进节点法列写图示电路的改进节点电压方程。,解:图中两个电压源为流控元件,故应将相应电流作为附加变量。分别对各独立节点列写KCL方程,并考虑到各电导的VAR,得,4-7改进节点法,4-7改进节点法,相应的附加方程为:,写成矩阵形式,改进节点电压方程为:,例建立图示正弦稳态电路相量形式的MNA方程。,4-7改进节点法,解电压源电流、耦合电感电流应选作附加电流，并作出相应的相量模型。,4-7改进节点法,将互感、无伴电压源当做独立电流源，可得：,节点电压方程为,电压源的附加方程,耦合电感的附加方程,相量形式的改进节点电压方程矩阵形式：,4-7改进节点法,4-7改进节点法非线性电阻电路的改进节点方程,方法：将网络中的元件分成三组：(1)压控元件(2)独立电流源(3)非压控元件,支路方程分为三部分：第一组元件（压控型）的方程为,第二组独立电流源的方程为,第三组元件的方程为,支路电压向量和支路电流向量及关联矩阵也作相应的划分,即,KVL划分为:,KCL:,4-7改进节点法非线性电阻电路的改进节点方程,改进节点电压方程为,4-7改进节点法非线性电阻电路的改进节点方程,如图所示的接在节点p和q之间的电导支路,当其电流不作为输出时,它对MNA方程的贡献可用下式表示:,4-7改进节点法添加支路法,送值表：,1、压控型无源二端元件,（1）电导电流不作为输出时：,（1）电导电流作为输出时：,4-7改进节点法添加支路法,1、压控型无源二端元件,如图所示的接在节点p和q之间的电导支路,当其电流不作为输出时,它对MNA方程的贡献可用下式表示:,电导G对MNA方程的贡献为,送值表：,4-7改进节点法添加支路法,2、独立电流源,送值表：,独立电流源对MNA方程的贡献为,3、独立电压源,送值表：,独立电压源对MNA方程的贡献为,4、阻抗支路,5、受控源CCCS,4-7改进节点法添加支路法,6、受控源VCCS,7、受控源VCVS,4-7改进节点法添加支路法,8、受控源CCVS,9、理想变压器,4-7改进节点法添加支路法,10、互感,4-7改进节点法添加支路法,基本思想,（1）先将贮能元件、高阶元件、非线性元件等抽出跨接在端口上，这样就形成了一个电阻性多口网络；,（2）将压控元件用电压源予以替代，流控元件用电流源予以替代。用电压源替代的端口称为电压端口，用电流源替代的端口称为电流端口；,（3）以电压端口的电压和电流端口的电流为自变量，写出多口网络的混合参数方程；,（4）结合端口元件的赋定关系，消去电压端口的电流和电流端口的电压，可得一组以电压端口电压和电流端口电流为变量的网络方程。,4-8端口分析法,一、线性电阻网络,将线性电阻抽出跨接在端口上，n口网络的混合参数矩阵方程为：,外部网络的