泛函3-1,3-2,3-3

应用泛函分析,E-mail:yangli,主讲：杨莉,第三章赋范空间与Banach空间,第一节基本性质和例子,1.1定义设,是数域,上的线性空间，范数,是定义在,上的实值函数，且有以下性质:,（三角形不等式）；,（绝对齐性）；,且,带有给定范数的线性空间,称为赋范空间,（正定性）；,定义：赋范空间,中点列,称为收敛于,，或以,为极限,，如果,，当,记作,或,定义:赋范空间,中点列,如果,当,时，,称为Cauchy列，,命题收敛点列,是Cauchy列。,1.2定义如果赋范空间中每一Cauchy列都收敛，则称此赋范空间是完备的。完备的赋范空间称为Banach空间,Banach空间的闭线性子空间是Banach空间,定义：如果X,Y是两赋范空间，映射,如果对所有收敛于的序列,，有,，则称映射A在点连续，,如果A在X的每一点连续，则称映射A在X上连续。,1.3定理设,是赋范空间，则,加法是连续的，即由,定义,的映射是连续的，即，当,时，,。,数乘是连续的，即由,定义的,的映射是连续的，即，当,时，,。,的,1.4定义如果,和,是线性空间,它们称为等价的，如果它们定义相同的收敛性，即，,上的两个范数，,1.5定理如果,是,范数等价的必要充分条件是存在正常数,使得,上的两个范数，则这两个,，,例2当时，不成为内积空间,例1按不成为内积空间,1.12命题如果,是,上的范数，则,有,1.13定义如果,和,是赋范空间，如果有一个从,到,上的线性的，保范的（等距的）满射,，即是线性的满射，且,，则称,和,（等距同构）的,是保范同构,第二节开集与闭集,2.1定义设,是赋范空间，,，实数,称集合,为以,为心，,为半径的开球，也称为,球形邻域，称,为以,为心，,为半径的闭球。而集合,称为以,为半径的球面。,，,的邻域或,为心，,2.2定义设,为赋范空间，集合,，点,如果存在正数,，使得,，则称,为,的内点，,是点,的邻域，如果,一点是内点，即,，,使得,，则称,是,中的开集,，,的每,例1开球是开集,集A的全体内点的集合称为A的内部或开核，记作或intA,是开集,2.3开集的基本性质,和空集,是开集.,有限多个开集的交集是开集.,任意多个开集的并集是开集.,2.4闭集的等价定义命题:,是,的接触点，即,，当且仅当,命题:,是,中的闭集当且仅当,的补集,是开集,由开集的基本性质用deMorgan律可得到,闭集的基本性质：,1全空间X和空集是闭集；,2,是闭集,是闭集。,3,是闭集,是闭集。,是闭集。,闭包的等价定义：,是包含A的最小闭集。,(2),(1)A的闭包=A的接触点的全体,(3),2.5连续性的等价定义定理,到赋范空间,中的映射f是连续的，,的任何开子集,的原象,是,的,当且仅当,开子集。,赋范空间,是X的,当且仅当Y的任何闭子集F的原象,闭子集。,赋范空间X到赋范空间中的映射f是连续的，,2.6聚点,是赋范空间,中的子集，,，如果,的任一,邻域中都含有,中异于,的点，则称,是,的聚点,即,定义设,注（1）A的聚点一定是A的接触点，但接触点不一定是聚点；,A中的点如果不是聚点，则称为A的孤立点。,（2）A的聚点不一定属于A，A中的点也不一定是A的聚点；,（3）A的接触点不一定属于A，而A中的点必是A的接触点,命题以下三者等价:,是聚点;,是无穷点集；,存在无穷点列,第三节稠密子集与可分性,3.1稠集定义设,与,是赋范空间,中两个集合，,，则称,在,中稠密（简称稠）。,，则称,是,中的稠密子集，,如果,特别如果,简称稠集。,3