万能公式和数列证明答题模板

万能公式答题模板（亦称为Sn法）必备理论：（整体代换）数列an中，Sn3n22n，则S1=32=1，Sn-13（n1）22（n1）=3n28n+5【题头】数列an中，Sn与an（或Sn与n）的关系式形式，求an的表达式（通项公式）【模板】当n=1时，a1=S1= a1= 当n2时，an=SnSn-1an= （代题头，自身变换成Sn-1）= 化简为最简形式（*） （*）部分经常见到的为四种形式【形式一】an=关于n的表达式（#） -譬如an=2n-1 结论答法一：经检验n=1时，满足an，数列an的通项公式为（#） 结论答法二：经检验n=1时，不满足an，数列an的通项公式为【形式二A】an= an-1 +常数 -譬如an= an-1 +1数列an为等差数列，且公差为常数an= a1+（n1）公差【形式二B】an+1=常数an -譬如an= 2an-1 数列an为等比数列，且公比为常数an= a1公比n-1【形式三】an= Aan-1 +B或者 -譬如an= 2an-1+3（an+常数）= A（an-1 +常数） 常数为数列 an+常数为等比数列，且公比为Aan+常数=( a1+常数) A n-1an= 【形式四A】an= an-1 + f（n） 【形式四B】an= f（n）an-1 譬如an= an-1+n（方法：累和法） 譬如an= nan-1 （方法：累积法）a2a1= f（2） = f（2）a3a2= f（3） = f（3）a4a3= f（4） = f（4） anan-1= f（n） = f（n）将以上各式相加，整理得 将以上各式相乘，整理得ana1= f（2）+ f（3）+ f（n） = f（2） f（3） f（n）an= an= 证明等差（比）数列模板必备理论：（整体代换）数列an中，an3n22n，则a1=32=1，an-13（n1）22（n1）=3n28n+5【题头1】数列an中， 条件A, 条件B，条件C ，求证：数列bn是等差（比）数列【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明，bn+1bn=常数 或证明，bnbn-1=常数，通过逆推：条件C,条件B,条件A, 得到常数，即证明等差（比）数列【模板】自身替换是指，将n换成n+1，或n换成n-1（1）等差数列bn+1bn= 自身代换 代入题头 = 不动 代入题头 =常数，结论（抄题） 如果化简困难：代入n=1，求解常数 （2）等差数列bnbn-1= 代入题头 自身代换 = 代入题头 不动 =常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=2，求解常数 （3）等比数列=，结论（抄题）（4）等比数列=，结论（抄题）【样题】数列满足，求证：数列bn是等比数列【分析】由于出现的为n和n-1，所以采用（4）完成模版证明证明：=，数列bn是等比数列温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2，利用a1进行求解常数【练习1】数列满足，求证：数列bn是等比数列【练习2】数列满足，求证：数列是等差数列；【题头2】数列an中，Sn与an（或Sn与n）的关系式形式，求证：数列an是等差数列【模板】万能公式法（也叫作Sn法）当n=1时，a1=S1= a1= 当n2时，an=SnSn-1an= （代题头，自身变换成Sn-1）， 化简 （会出现两种情况）【形式A】an= an-1 +常数 -譬如an= an-1 +1抢分环节数列an为等差数列， 且公差为常数an= a1+（n1）公差【形式二B】an+1=常数an -譬如an= 2an-1 数列an为等比数列， 且公比为常数an= a1公比n-1【样题】数列的前n项和，且 ,证明数列等比数列证明： 当n=1时，a1=S1= a1=-(1分)当n2时，an=SnSn-1 -(1分)an= -(2分) 数列等比数列-(1分) 且公比为an= （）n-1 =（）n -(1分)【练习1】数列的前n项和为， ，正整数对应的成等差数列.证明成等比数列【练习2】数列，是它的前项和，且，（）设，求证：数列是等比数列；（）设，求证：数列是等差数列；【练习3】数列中，前和，