关于四人追及问题的数学实验报告

关于四人追及问题的数学实验报告西安交通大学管理学院ACCA92 爆米花小组2010年2月一、实验问题在一边长为1的正方形跑道的四个顶点上各站有1人，他们同时开始以等速顺时针追逐下一人，在追及过程中，每个人时刻对准目标，试模拟追及路线。并讨论：（1） 四个人能否追到一起？（2） 若能追到一起，则每个人跑过多少路程？（3） 追到一起所需要的时间（设速率为1）？（4） 如果四个人追逐的速度不一样，情况又如何呢？ 图1二、问题分析本题是一个动态追击问题，参考MATLAB软件与基础数学实验一书中65页的问题四，我们可以通过使追及过程离散化的方法来模拟四人的追及过程，即以极短的时间段为间隔，逐步分析四人的运动状况。三、建模假设1.将四个人看成质点a、b、c、d，设他们的初始位置分别为(0,0)(即坐标原点O)、(0,1)、(1,1)、(1,0)，如图1所示。2.假设某人追上其目标的要求是该者与其目标间的距离足够小。我们不妨将该临界距离设为0.005个单位（该值为初始距离的0.5%）。3.假设当中a、b、c、d某人已追到其目标时，该追及活动终止，即运动结束。若此时恰巧其他三人也追到各自目标，则称这种情况为四人追到一起。否则的话，称四人不能追到一起。4.在追及过程中，四人可以在正方形区域内进行运动，并不是只能在正方形的边长上运动。5.在开始运动时和追及过程中，每个人时刻朝着目标运动不受限制。6.根据分析，可以假设连续的时间被分为多个极小且等长的时间段。又因为时间间隔极短，所以四人在时间内的运动均可视为直线运动。四、建模求解本题求解的关键在于运用算法求出若干个时间后a、b、c、d四人的位置坐标，并计算相应追逐者间的距离。记经过k个时间后，a、b、c、d位置点分别为、。故本题转化为求、的坐标，以及、的值。下面，逐步分析四人的运动状况。图2运动开始时，a、b、c、d四人同时分别朝着各自目标沿向量、的方向运动。经过1个时间后，a由运动到,b由运动到，c由运动到，d由运动到。此时a、b、c、d都要转变方向同时分别沿向量、方向追及b、c、d、a。经过2个时间后，a、b、c、d又分别由、运动到、。此时a、b、c、d需再次调整方向同时分别沿向量、方向追及b、c、d、a。照此循环下去，直到某两者之间的距离足够小，即这时两个人追到一起，该程序活动终止。以上过程如图2所示。因此，我们可以用向量递推的方法来求出、的坐标,即向量、的坐标。记a、b、c、d四者的速率分别为、。=- ; =-=- ; =-1个时间后：=- ; =-=- ; =-2个时间后：=- ; =-=- ; =-k个时间后：=- ; =-=- ; =-如上所述，按照这样的交错递推方式，便可逐步求出、的坐标,以及、的值。所以接下来的编程求解中，鉴于该命令集的重复执行，我们考虑用条件循环while-end结构。五、MATLAB程序设计说明：下面就四人的速率v相等时的情况进行程序设计，四人的速率v不等情况将在第七节“进一步拓展与实验”中说明。程序编制：clear;clf; %清除内存变量，清理图形窗口A=0,0;B=0,1;C=1,1;D=1,0; %设置四人初始位置k=0; %设置累计计数变量kdt=0.004;v=1; %设置时间间隔dt，四人运动速率vgrid; %绘制网格hold on; %保持在同一窗口画图axis(0 1 0 1); %重置坐标轴while k10000 %开始循环 k=k+1; %循环次数累加1 plot(A(1),A(2),g.); %描出a者的位置坐标 plot(B(1),B(2),r.); %描出b者的位置坐标 plot(C(1),C(2),y.); %描出c者的位置坐标 plot(D(1),D(2),b.); %描出d者的位置坐标 e1=(B-A)/norm(B-A); %求出a追b的方向向量 A=A+v*dt*e1; %求出经过一个dt时间后a的位置 e2=(C-B)/norm(C-B); %求出b追c的方向向量 B=B+v*dt*e2; %求出经过一个dt时间后b的位置 e3=(D-C)/norm(D-C); %求出c追d的方向向量 C=C+v*dt*e3; %求出经过一个dt时间后c的位置 e4=A-v*dt*e1-D;d4=norm(e4); %计算出d与a间距离 e4=e4/d4; %求出d追a的方向向量 D=D+v*dt*e4; %求出经过一个dt时间后d的位置 d1=norm(B-A); %计算出a与b间距离 d2=norm(C-B); %计算出b与c间距离 d3=norm(D-C); %计算出c与d间距离 d4=norm(A-D); %计算出d与a间距离 fprintf(k=%.0f d1=%.4f d2=%.4f d3=%.4f d4=%.4fn,k,d1,d2,d3,d4); %显示累计数k，以及相应两者间距离 fprintf(A(%.2f,%.2f) B(%.2f,%.2f) C(%.2f,%.2f) D(%.2f,%.2f)n, A(1),A(2),B(1),B(2),C(1),C(2),D (1),D(2); %显示四者坐标 if d1=0.005 %判断a与b的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 if d2=0.005 %判断b与c的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 if d3=0.005 %判断c与d的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 if d4=0.005 %判断d与a的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 pause(0.01) %放慢画图演示过程end %结束循环六、问题求解结果与结论上述程序的运行结果：k=250 d1=0.0102 d2=0.0102 d3=0.0102 d4=0.010 A(0.50,0.49) B(0.49,0.50) C(0.50,0.51) D(0.51,0.50)k=251 d1=0.0073 d2=0.0073 d3=0.0073 d4=0.0073 A(0.50,0.49) B(0.49,0.50) C(0.50,0.51) D(0.51,0.50)k=252 d1=0.0052 d2=0.0052 d3=0.0052 d4=0.0052 A(0.50,0.50) B(0.50,0.50) C(0.50,0.50) D(0.50,0.50)k=253 d1=0.0042 d2=0.0042 d3=0.0042 d4=0.0042 A(0.50,0.50) B(0.50,0.50) C(0.50,0.50) D(0.50,0.50)图3程序的运行结果表明：在四人的速率v相等的情况下：当运动结束时，a与b间距离、b与c间距离、c与d间距离、d与a间距离都已足够小（小于初始距离的0.5%）。即运动结束时，a、b、c、d四人可以追到一起，都到达正方形中心(0.5,0.5)位置附近。整个运动过程经历的时间:t=k=2530.004=1.0121从开始到结束，每个人跑过的路程：s=vt=1四人运动的轨迹如图3所示。其实，不难想像，由于四个人所处的位置关于正方形中心对称，且四人运动的速率相同，所以四人运动的轨迹也是时刻对称的，最后也应该同时停止在正方形的中心。另外，值得一提的是，原程序设计的时间间隔为0.004个时间单位，运动停止的临界距离为0.005单位。当然也可以根据需要更改这两个参数。将和临界距离设置越小，得出的运行轨迹、时间t与路程s的值也会越精确。比如，将和临界距离逐渐改小，其对应的t值如下：dt=0.004 d0.005 t=1.012dt=0.003 d0.004 t=1.008dt=0.002 d0.003 t=1.004dt=0.001 d0.002 t=1.002由上可以看出，整个运动过程所用时间t在逐渐趋近于1个单位，因而我们可以合理地推断，四人完全重合在一起所花的时间应该是1个时间单位整，而每个人跑过的路程也应该是1个距离单位。七、进一步拓展与实验下面就四人追逐速度不一样的情况（即问题（4）进行编程与探究。虽然四人的速率不一样，但是依然可用向量递推的方法求解，编程时只需要将原式中v的分别改成v1、v1、v3、v4即可。程序编写如下：clear;clf; %清除内存变量，清理图形窗口v1=input(v1=) %输入a的运动速率v2=input(v2=) %输入b的运动速率v3=input(v3=) %输入c的运动速率v4=input(v4=) %输入d的运动速率A=0,0;B=0,1;C=1,1;D=1,0; %设置四人初始位置k=0; dt=0.004; %设置累计计数变量k,时间间隔dtgrid; %绘制网格hold on; %保持在同一窗口画图axis(0 1 0 1); %重置坐标轴while k10000 %开始循环 k=k+1; %循环次数累加1 plot(A(1),A(2),g.); %描出a者的位置坐标 plot(B(1),B(2),r.); %描出b者的位置坐标 plot(C(1),C(2),y.); %描出c者的位置坐标 plot(D(1),D(2),b.); %描出d者的位置坐标 e1=(B-A)/norm(B-A); %求出a追b的方向向量 A=A+v1*dt*e1; %求出经过一个dt时间后a的位置 e2=(C-B)/norm(C-B); %求出b追c的方向向量 B=B+v2*dt*e2; %求出经过一个dt时间后b的位置 e3=(D-C)/norm(D-C); %求出c追d的方向向量 C=C+v3*dt*e3; %求出经过一个dt时间后c的位置 e4=A-v1*dt*e1-D;d4=norm(e4); %计算出d与a间距离 e4=e4/d4; %求出d追a的方向向量 D=D+v4*dt*e4; %求出经过一个dt时间后d的位置 d1=norm(B-A); %计算出a与b间距离 d2=norm(C-B); %计算出b与c间距离 d3=norm(D-C); %计算出c与d间距离 d4=norm(A-D); %计算出d与a间距离 fprintf(k=%.0f d1=%.4f d2=%.4f d3=%.4f d4=%.4fn,k,d1,d2,d3,d4); %显示累计数k，以及相应两者间距离 fprintf(A(%.2f,%.2f) B(%.2f,%.2f) C(%.2f,%.2f) D(%.2f,%.2f)n,A,B,C,D); %显示四者坐标 if d10.005 %判断a与b的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 if d20.005 %判断b与c的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 if d30.005 %判断c与d的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断 if d40.005 %判断d与a的位置是否足够小 break %终止循环 end %结束判断pause(0.01) %放慢画图演示过程end %结束循环该程序中可分别改变v1、v1、v3、v4初始值的大小来研究不同速率带来的情况变化。下面我们对以下几种情况进行研究：保持三者速率不变，只改变另一人速率的值。不妨保持v1=v2=v3=1，仅改变v4的值。我们可以取多组v4的值进行探究，运行结果如下：v4=4时k=67 d1=0.7339 d2=0.6344 d3=0.9811 d4=0.0024该组数据表明运动结束时，仅有d(速率为v4)追上av4=2时k=140 d1=0.4373 d2=0.2838 d3=0.5104 d4=0.0039该组数据表明运动结束时，仅有d(速率为v4)追上av4=1.1时k=246 d1=0.0058 d2=0.0038 d3=0.0064 d4=0.0039该组数据表明运动结束时，d(速率为v4)追上a，且b追上cv4=1.01时k=252 d1=0.0045 d2=0.0044 d3=0.0045 d4=0.0044该组数据表明运动结束时，a、b、c、d都追上各自目标，即四人追到一起从上面4组数据中，我们看到了不同的结果，并可以发现，随着v4的值与其他三者的值越来越接近，运动结束时四者的距离也越来越接近。当v4=1.01时，a、b、c、d甚至都追上各自目标，即四人追到一起。但是，我们在v4=1.01的情况下把的值由原来的0.004改为0.0001个单位时，却得到了如下的结果：当v4=1.01时k=9928 d1=0. d2=0.0049 d3=0. d4=0.即此时a、b、d都追上各自目标，但是c并没有追上d，即四人并没有追到一起我们惊奇地发现，在四人速率不变的情况下，仅仅改变的值，却得到了不一样的结果！在其他情况下我们也发现了类似结果：保持两者速率不变，改变另外两者的值。当v1=v2=1,v3=1.08,v4=1.1,dt=0.004时k=242 d1=0.0044 d2=0.0046 d3=0.0047 d4=0.0042该组数据表明运动结束时，a、b、c、d都追上各自目标，即四人追到一起当v1=v2=1,v3=1.08,v4=1.1,dt=0.0001时k=9522 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.即此时a、b都追上各自目标，但是c、d并没有追上各自目标，即四人并没有追到一起四者速度全部不同时。当v1=1,v2=1.01,v3=1.02,v4=1.03,dt=0.004时k=249 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.该组数据表明运动结束时，a、b、c、d都追上各自目标，即四人追到一起当v1=1,v2=1.01,v3=1.02,v4=1.03,dt=0.0001时k=9805 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.该组数据表明运动结束时, a、b都追上各自目标，但是c、d并没有追上各自目标，即四人并没有追到一起针对以上出现的在四人速率不变的情况下，仅仅改变的值，却得到了不一样的结果的现象，我们进行分析讨论，发现这是因为用离散化求解的方法无法避免地忽略了运动的连续性，即它只能粗略地表现质点在时间段之间的变化，却不能细致描绘出质点在时间段之内的情况。也就是说，采用离散化的手法后，四者的运动过程是呈跳跃状的。可能经过n个时间单位时，他们所有的人离自己目标的距离是大于临界值的，经过n+1个时间单位时，他们所有的人离自己目标的距离就小于临界值了。这时，看上去，他们都追上了自己的目标，即四人追到了一起。但是，如果把时间间隔再细分，比如把原来的一个再次100等分，每份记作。那么，由于速率不一样，可能经过k个时间单位，他们彼此的差距大于临界值，但是在经过k+1个时间单位后，有可能只有一个人与自己目标的距离小于临界值，其他三者与目标间距离并未小于临界值，而此时根据假设3运动已停止，但四人并未追到一起。因此，我们猜想，即使四者的速率相差的再小，只要将时间间隔设定的足够小，一定会有存在有人追上自己的目标，而另外的人没有追上自己目标的时刻。换言之，只要四人速率不一样，无论速率多么接近，四人都不会追到一起。速率不一样是四人追不到一起的根本原因！虽然在速率不等时四人不能追到一起，但是我们还发现，有可能同时存在两个人追到各自目标的现象。即为下述情况:令a、c两者速度相等，b、d两者速度也相等。当v1=v3=1,v2=v4=2时，运行结果如下：k=116 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.k=117 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.k=118 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.k=119 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.k=120 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.k=121 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.k=122 d1=0. d2=0. d3=0. d4=0.图4上