成都理工大学 高数下 重修 PPT D11-7.8.9梯度、散度、旋度.ppt

,第七、八、九节,一、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,故,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或Nabla算子.,2.梯度的几何意义,称为函数f的等值线或等高线.,则L*上点P处的法向量为,举例,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点P处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例.设函数,解:(1)点P处切平面的法向量为,在点P(1,1,1)处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2)函数f在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多,梯度的基本运算公式,例题.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,若为方向向外的闭曲面,当0时,说明流入的流体质量少于,当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为,当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.,流出的,表明内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且,为了揭示场内任意点M处的特性,在式两边同除以的体积V,并令以,任意方式缩小至点M,则有,此式反应了流速场在点M的特点:,其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,定义:,设有向量场,其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面的通量(流量).,在场中点M(x,y,z)处,显然,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,散度意义,例.,置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为,解:,四、环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面的法向量为,曲线的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令,引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式:,旋度.,rotation,设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点M的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,注意与的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例