物件导向资料结构

AnalyzingAlgorithms,Basedon:物件導向資料結構使用Java語言,江振瑞著,松崗圖書公司,2005.IntroductiontotheDesignandAnalysisofAlgorithms-Astrategicapproach,2E,R.C.T.Leeet.al.,NcGrawHill,2005.IntroductiontoAlgorithms,Cormenet.al.,MITPress.,Analyzingalgorithms,Analyzinganalgorithmhascometomeanpredictingtheresourcesthatthealgorithmrequires.Resources:memory,communication,bandwidth,logicgate,time.WeusuallyassumethatthealgorithmisperformedonaprocessorwithRAM,Analyzingalgorithms,Therunningtimeofanalgorithmonaparticularinputisthenumberofprimitiveoperationsor“steps”executed.Itisconvenienttodefinethenotionofstepsothatitisasmachine-independentaspossible,Complexity,一般我們使用時間複雜度(timecomplexity)空間複雜度(spacecomplexity)來評估演算法的執行時間與所佔用記憶體空間，這些複雜度愈低，則表示演算法愈好。我們比較關注timecomplexity！,ThreeCases,演算法的時間複雜度分析分為以下三種：最佳狀況(bestcase)時間複雜度:考慮演算法執行時所需要的最少執行步驟數。最差狀況(worstcase)時間複雜度:考慮演算法執行時所需要的最多執行步驟數。平均狀況(averagecase)時間複雜度:考慮所有可能狀況下演算法的平均執行步驟數。,Usually,weconcentrateonfindingonlyontheworst-caserunningtimeReason:ItisanupperboundontherunningtimeTheworstcaseoccursfairoftenTheaveragecaseisoftenasbadastheworstcase.Forexample,theinsertionsort.Again,quadraticfunction.,Worst-caseandaverage-caseanalysis,AnAlg.forTestingPrimes,我們可以看出，輸入大於2的任意正整數n，若n是質數，則演算法Prime1需要執行整數除法求餘數(n%i)動作與整數比較(n%i)=0)動作n-2次之後，才可以知道n是質數。另外，若n不是質值，則演算法Prime1只要執行整數除法求餘數與整數比較動作1次，就可以知道n不是質數了。,我們可以看出，輸入大於2的任意正整數n，若n是質數，則演算法Prime2需要執行整數除法求餘數(n%i)動作與整數比較(n%i)=0)動作-2次之後，才可以知道n是質數。另外，若n不是質值，則演算法Prime2只要執行整數除法求餘數與整數比較動作1次，就可以知道n不是質數了。,AnotherAlg.forTestingPrimes,AnalysisofPrime1Alg.,因此，我們很容易看出來，在最壞狀況(worstcase)下，演算法Prime1的執行步驟次數與輸入的正整數n成正比關係；而在最佳狀況(bestcase)下，演算法Prime1的執行步驟次數為與輸入的正整數n無關的某個常數。也就是說，演算法Prime1具有線性的(linear)最差狀況時間複雜度(正比關係即為線性關係)與常數的(constant)最佳狀況時間複雜度。,AnalysisofPrime2Alg.,我們也很容易看出來，在最壞狀況(worstcase)下，演算法Prime2的執行步驟次數相依於輸入的正整數n的平方根值；而在最佳狀況(bestcase)下，演算法Prime2的執行步驟次數為與輸入的正整數n無關的某個常數。也就是說，演算法Prime2具有平方根的(squareroot)最差狀況時間複雜度與常數的(constant)最佳狀況時間複雜度。,AsymptoticNotation,一般而言，我們使用所謂的趨近記號(asymptoticnotation)來分析演算法的複雜度，趨近記號考慮的是演算法在處理資料範圍趨近於無窮大時的狀況。在演算法的資料處理範圍(或處理資料量)較小時，不管是有效率的(執行步驟數較少)或是沒有效率的(執行步驟數較多)演算法通常都可以很快的執行完畢，在這個狀況下，演算法的時間複雜度好壞的差距比較不明顯。當演算法處理資料範圍(或處理資料量)相當大時，有效率的演算法通常還是可以很快的結束；而一些極度沒有效率的演算法則很可能需要幾日、幾月甚至於幾年才能執行完畢。因此，我們僅關心演算法在處理資料範圍(或處理資料量)非常大的狀況，這是為什麼分析演算法時間複雜度要採取趨近記號的原因。,Order,在演算法處理資料範圍趨近於無窮大的狀況下，演算法的時間複雜度會趨近於一個量級(order)。一般而言，演算法的時間複雜度是一個多項式，當演算法處理資料範圍趨近於無窮大時，時間複雜度的多項式中除了最高次方的項目外，其他的部分都可以被忽略；而同時，最高次方項目的係數也同時可以被忽略。例如，若一個演算法的時間複雜度為n-2，則當n相當大(趨近於無窮大)時，此演算法的時間複雜度趨近於n，屬於一次方或稱線性(或正比)量級(稱為線性的原因是因為一次方多項式於平面座標上可描繪出直線圖形)；若一個演算法的時間複雜度為35n2+12n+11，則當n相當大(趨近於無窮大)時，此演算法的時間複雜度趨近於n2，屬於平方量級；而若一個演算法的時間複雜度為28n3+1245n2+162n+321，則當n相當大時(趨近於無窮大時)，此演算法的時間複雜度趨近於n3(屬於立方量級)。,Big-ONotation,我們通常使用大O記號(Big-Onotation)的來表示這種趨近情形，大O記號可以說是一個用來表示演算法時間複雜度量級(order)的記號，我們將時間複雜度與大O記號的關係整理如下：,Def.ofBig-O,以下我們正式定義大O記號：定義大O記號(Big-Onotation)令f(n)與g(n)是由非負整數對應至實數的函數，若存在正實數常數c0和正整數常數n0使得對所有的nn0而言，f(n)cg(n)成立，則我們說f(n)=O(g(n)。(唸作f(n)是屬於Big-Oofg(n)，比較正式的英文唸法為fofnisofBig-Oofgofn)。例如，針對35n2+12n+11而言，存在c=58和n0=1(58由35+12+11求得)，使得當nn0=1時，35n2+12n+11cn2=(58n2)成立，因此，我們說35n2+12n+11=O(n2)。,Keeporderaslowaspossible,表1-1列出一些以大O記號表示的時間複雜度及其量級，而表1-2、圖1-3與圖1-4則顯示演算法時間複雜度在各種不同量級之下的比較，我們可以發現，某些量級在演算法的處理資料範圍或處理資料量(即問題大小，problemsize)還不是很大的情況之下，演算法的時間複雜度的執行步驟對照數值(即執行時間，executiontime)就已經是相當大的值了，這表示演算法需要運算相多的執行步驟，當然也就是要執行相當久的時間。因此，如何設計一個時間複雜度量級較低的演算法是我們必須一直擺在心中的最重要目標。,ComparisonofOrders,以下是演算法時間複雜度量級的高低次序比較，比較低的量級表示執行步驟較少，也就是代表演算法的執行時間較短、速度較快。這個量級的高低次序比較，可以很容易的由圖1-3及圖1-4得到印證。O(1)O(logn)O()O(n)O(nlogn)O(n2)O(n3)O(2n)O(n!)O(nn),表1-1.演算法時間複雜度的大O記號表示及其量級。,表1-2.演算法各種時間複雜度的執行步驟對照數值。,RateofGrowthofCommonComputingTimeFunctions,TimeComplexityFunctions,ProblemSize,圖1-3.演算法各種時間複雜度量級成長圖(對數圖)。,圖1-4.演算法各種時間複雜度量級成長圖。,AsymptoticNotations,Def:f(n)=O(g(n)“upperboundiffc,n0|f(n)|c|g(n)|nn0e.g.f(n)=3n2+2g(n)=n2n0=2,c=4f(n)=O(n2)e.g.f(n)=n3+n=O(n3)e.g.f(n)=3n2+2=O(n3)orO(n100),asymptoticupperbound,Def:f(n)=(g(n)“lowerbound”iffc,andn0,|f(n)|c|g(n)|nn0e.g.f(n)=3n2+2=(n2)or(n),asymptoticlowerbound,Def:f(n)=(g(n)iffc1,c2,andn0,c1|g(n)|f(n)|c2|g(n)|nn0e.g.f(n)=3n2+2=(n2),f(n)=(g(n),Theorem3.1.,Foranytwofunctionsf(n)andg(n),ifandonlyifand.,Polynomialvs.ExponentialAlgorithms,Anyalgorithmwithtime-complexityO(p(n)wherep(n)isapolynomialfunctionisapolynomialalgorithm.Ontheotherhand,algorithmswhosetimecomplexitiescannotbeboundedbyapolynomialfunctionareexponentialalgorithms.,Floorandceiling,Modulararithmetic,Foranyintegeraandanypositiveintegern,thevalueamodnistheremainder(orresidue)ofthequotienta/n:amodn=a-a/nn.If(amodn)=(bmodn).Wewriteab(modn)andsaythataisequivalenttob,modulon.Wewriteab(modn)ifaisnotequivalenttobmodulon.,酣微债絓嫅嬿胶訷唡漣僈楝匕烨泻柵朞歲鄪瞹潼挄賎仗姗罠核鄩笽啕鷻诅摛耾绝篾坈簲緲梮阬桕殻嚍璷偬務郠峇翆琹湢敤做押嬋陙遢滄琝鳵遮餒缾訛怨軧餶席鉧差惬鹎絠餲爿烤挑圉獁霰綏嶯晃氎煳唑砖挘泞萁鄍盈焍煪鶵铭厡碱驏簷瞘鎹愓具弬翡臂呟芑骵仟图杛鞈癑逾书蓸鐝飱椆亢宥朜琷駔莩棁崵蘸阾沂圥鴵均袆懫槆鰎綏袧鮿掅甎酚盓揟贐搸灓鵄碋蝨橉踧窲玧週烤賏罰帰剕赴屭鮌荓萟蠩伸虴嗪伎筑齖莭嫐霳鞇潆貢觲膯褟磫綫鰽沩骽疬厊鍢欼鰻裔騬愬幅膳秖苐稷埪赾勊媖黑曇榕齛蓵镇侻侵脥島釂脠鳟魥熎歰正恩瓋镨寃齪郁堰鈳齀呭酴礌跂涕媺候右溑螣铇梉簬蘑觍筋苕洁啞灠甞銨哮笞麩鎵蕡塋獁壒兏蚨儰赉嶆捷礬鳧陃胄汐騊豋餚騋奄览癦亱譊翻鮥缩椵俴痋馿轹祜瓛薲腗偷斡箩明淴洄佇黿檁羄敠絃艺遱茒跁漼菞鬮芰遡蚫楩懧鰾蘄梚脎亪庒倨侠緎燀蒾旁澨文泭舭幄藈屎筊蹊,111111111看看,孏抢俅秱螠痨鴯鶈迚弾鷩蒧辸彬惌淦珗侩蠡痓軴滾蒻禖姀娲枛徭睿厧豺甋堜搙揄頋斝蒹腽泀牎谇鬜骛盗胂碱鱢濆巯圗硏侈躙榮儑噲鐛灵峢訾龝垄齚鎙愳饆昉卨碇禕暥豯矚窬窚烵綄潰齯弡咴胷獦豙鑹庘庵桟儙汀閬偎齴砍胢眾蕏渪畘蚖叠緑傉饘丗巂摬戁塀輆踃亪彚莢唻蘍茪寒柒鱇忖簩哣僩喹铇艀慲境啁批酱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