《金融数学》 资产组合管理

第五章资产组合管理,本章主要讨论风险证券的投资组合问题，也即分散投资问题.主要包括：收益率的期望和方差；两证券、多证券及含无风险证券的资产组合线及有效前沿；CAPM模型、贝塔(Beta)因子、资本市场线(CML)、证券市场线(SML)、证券特征线(SCL);系统风险和非系统风险。,5.1两风险证券中的风险度量,方法1设风险资产的收益率K为随机变量，参照值取期望，方差作为风险的度量。有时用收益率的标准差测量风险。单个时间段的投资问题，一般采取此收益率。其中方法2利用对数收益率的方差,或者，对多个时间段相关的投资，采用对数收益率比较方便因为对数收益率满足可加性。,5.1.1期望收益和方差,5.1.2两证券情形用表示组合的收益率，用分别表示投资在证券1和2上的权重,则若表示卖空第i支股票。记作,例1假设两种股票的每股价格分别为美元，美元，美元，购买第一种股票20股，购买第二种股票10股，求两个股票的资金分配权重。,例2考虑如下资产组合：状况概率收益率收益率0.40.20.4分别求下述情形下资产组合的期望收益和风险。(1)(2)(3),解：依题意得，,(1)当时，,(2)当时，,(3)当时，由(1)、(2)和(3)发现，高收益通常伴随着高风险；另外，当不允许卖空时，组合的风险介于单个风险之间(如(1)(2)所示)，当允许卖空时，组合的风险则可能比任何单个风险都大(如(3)所示)。命题5.3如果不允许卖空，则有,问题：在两风险证券中，有没有风险最小的组合权重(即找一个权重组合，使得组合的方差最小)？,命题5.4(1)如果，当，且时，。(必须有一支股票卖空.）(2)如果，当时，。(不必卖空.）,5.2资产组合线及有效前沿资产组合线(白色和红色)、非卖空(红色)及有效前沿(蓝色虚线)，下同。,5.2.1含两个风险证券情形,5.2.2含无风险证券和一个风险证券的情形,5.2.3含n个风险证券情形,下面给出有效前沿的方程。对指定的期望收益率，方差最小的证券组合应在前沿上，从而求前沿上的点转化为解下列规划问题：记,则对指定的，方差最小的证券组合为：此即命题5.10的结论。有效前沿：其中如前所述。,因此对只含多种风险证券而言，有效前沿为双曲线的右支，最小方差的点为(),称为最小方差证券组合，记作MVP.此点权重对应命题5.9的结论。,5.2.4既含多个风险证券又含无风险证券情形设含有种风险证券(股票)和一种无风险证券(债券)，以为种股票上的投资比例，则就是投资在债券上的比例。对指定的期望收益率，求投资比例，使得方差最小，就是解下列规划问题：,解上述规划，得知对指定的期望收益率，方差最小的投资组合为：标准差为：其中如前述。,由此可知，含多种风险证券和无风险证券的有效前沿是过点的一条射线。会是什么样的射线呢？假设含有两支股票和及一种债券，由前面讨论知，把全部资金投入股票和，得到双曲线的一支，而如果投资于股票及债券，得到有效前沿为射线;而如果投资于股票及债券，得到有效前沿为射线;如果把资金投资于和债券中，则连接和曲线上任意一点的射线都是可能的投资组合。因此从出发，与曲线相切的射线，为有效前沿(为什么？)记切点为。,如果投资者选择切点，则表示将资金全部购买股票和；如果选择点，则是把一部分资金用于买债券，余下部分用来买股票和，而资金在和上分配比例与切点一样；如果选择点，则是以借入资金，连同原有资金一起用来买股票和，而资金在和上分配比例仍与切点一样。见下页图示。,有效前沿为蓝色虚线部分，红色部分表示不允许卖空的情形。切点证券组合，它决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。例一投资者拥有资金10000美元。(1)用4000美元购买股票，其余全部购买股票，则在点处的投资组合为；(2)如果该投资者抽取5000美元作无风险投资，其余仍用于购买股票，则此时购买股票的资金分别是2000美元和3000美元。,有效前沿为蓝色虚线部分，切点证券组合，决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。,切点处的投资组合权重为例设风险证券和分别有期望收益率，方差分别为和，它们之间的协方差为。又设无风险利率为.求切点证券组合。,5.3CAPM模型,资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel,CAPM)是在理想的，称之为完善的资本市场中建立的。它的基本假设有：投资者对一个投资组合以一期的期望回报率和方差来评价此组合；投资者具有不满足性(风险相同时，期望越大越好)；投资者都是风险回避者(期望相同时，风险越小越好)；任何一种证券都是无限可分的；存在一个无风险利率，任何投资者都可以依此利率不受限制地存、贷款；,(6)不存在税收和交易费用；(7)所有投资者考虑的投资期都是一样的；(8)无风险利率对任何投资者都相同；(9)所有信息对任何投资者都是免费的，且及时提供；(10)所有投资者对每种股票的看法都相同，即不同投资者对每种股票的期望和方差的看法一样，对个证券之间的协方差看法也一样。同时满足以上十个假设的市场就称为完善资本市场。,在介绍了完善资本市场之后，我们再介绍市场均衡和市场投资组合的概念。市场均衡：在完善的资本市场上，当证券的价格调整时，对证券的需求和供给也相应变动。如果随着证券价格的调整，对证券的需求和供给相应调整为：每一种证券需求量正好等于其供给量，而且对无风险证券，存贷款数目正好相等的状态，就称之为市场均衡。市场投资组合(MarketPortfolio)是指市场处于均衡时，切点的投资组合，为了区别，我们将市场投资组合记为,坐标为,当市场处于均衡时，包含无风险债券和多种风险证券的有效前沿是在平面上，从点出发，过点的一条射线，称它为资本市场线(CapitalMarketLine,CML).其方程为：其中的斜率称为风险报酬，而的截距称为等待报酬。,注意：并不给出单个风险证券的期望回报率和标准差的线性关系。反例ModiglianiPogue(1974):股票年回报率标准差BC公司股票100种普通股票组合此例指出了对BC公司股票，如果以标准差作为风险度量的标准，则成为回报率低，风险却大的股票，这与普通的投资常识矛盾。,定理5.11(CAPM)当完善的资本市场达到均衡时，任何单个风险资产或资产组合的超额回报和市场投资组合的超额回报成比例关系，即有关系式其中反映任意单个资产或资产组合的期望收益与贝塔系数关系的位于平面上的直线称为证券市场线（SecurityMarketLine,SML）。见下页图所示。,为了便于比较，我们将资本市场线(左)和证券市场线(右)放在一起。试分析二者的区别？,关于CAPM应用的例子例已知设证券的Beta系数分别为求解：由CAPM知，两证券的期望回报率分别为：此例告诉我们，确实可用CAPM求单个资产的期望收益率。除此之外，还可以用来发现股票的定价是否合理。,这是因为，由CAPM可知，从而有表明当市场均衡时，所有股票每承担一单位风险，市场给予的期望回报都应该相等。如果不等，则意味着市场处于不均衡状态，存在某些股票定价过高或过低的现象。,例已知S和I公司的Beta()系数及期望回报率如下表所示，无风险利率为.若S公司的股价被认为是合理的，请问I公司的股价是否合理？定价过高还是过低呢?股票期望回报率S公司1.3I公司0.8,解：由CAPM可知，从而有表明此时市场处于不均衡状态，若S公司的股价被认为是合理的，则I公司的股价定价过高。这是因为：I公司承担一单位风险得到的补偿不如S公司承担一单位风险得到的补偿大。究其原因，是对而言，的期望回报率太低了。由或知，若偏低，则初始股价定价偏高。,5.4系统风险和非系统风险,我们先考虑单支股票的风险问题。由于CAPM模型是在市场达到均衡时，证券的期望回报率和的关系,为强调均衡，我们记为.这时CAPM模型可写成：为了描述实际的超额回报模型，引入一个与证券的回报率相独立的随机误差项，将证券的实际回报率表示为我们称上式为证券的特征线。,由回归模型，可得证券i的总方差为从而被分解为两部分：第一部分为，与市场投资组合M有关，称之为系统风险或市场风险，越大，证券i的市场风险就越大，由CAPM知，越大，相应的期望回报率就越高。因此，系统风险是有报酬的，但无法消除或减少。,第二部分为，与市场投资组合M无关，称之为非系统风险或非市场风险。非系统风险是没有报酬的，但可以通过组合消除它。当一个投资组合已消除所有非系统风险时，则称它为有效的。证券的特征线是围绕它的市场线上下波动的，一种证券的特征线斜率等于此证券的系数，而此也给出了该证券对市场投资组合M的敏感度。一般而言，以下结论成立。,（1）进攻型股票()该股票特点：当市场投资组合M的回报率上升或下降时，这种股票的回报率上升或下降得比M要快。（2）防御型股票()该股票特点：当市场投资组合M的回报率上升或下降时，这种股票的回报率上升或下降得比M要慢。（3）中性股票()该股票特点：这种股票的回报率就平均而言，与市场投资组合M的回报率一致。,接下来考虑组合的风险。CAPM模型对单个资产和资产组合都