几何定值问题

几何定值问题知识要点：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法； 2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法。 典型例题：一、 定量问题：1、 定积：例1 如图，已知等边和点P，设点P到三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，的高为h。在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1 +h2+h3 =h。在图（2）（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上，内、外。（1） 请探究：图（2）（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2） 证明图（2）所的结论；（3） 证明图（4）所的结论； 变式练习 如图，若四边形RBCS是等腰梯形，=60，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为 ；上题图（4）与右图中等式有何关系？例2 如图，已知菱形ABCD外切于O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线。求证：AMCN为定值。2、定比：例1 如图，两圆相交于点A、B，过点B引割线分别交两圆于C、D，连结AC、AD。求证：AC：AD为定值。变式练习 如图，O的半径为，Q为O外一点，QA、QB切O于A、B，P为直线上任一点，且P在O的外部，QSOP于S，则OPOS= 。例2 设是等边三角形，P是内任意一点，作三角形三边的垂线PD、PE、PF，点D、E、F是垂足。试证不管P在哪里，总有=。3、定平方和：例 如图，O的半径为R，AB、CD是O的任意两条弦且ABCD于M。求证：+为定值。变式练习 如图，内接于O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设O的半径为R。求证：（1）+是定值。（2）+是定值。4、定倒数和：例 如图，过O内定点P作任意弦AB，又过A、B作两切线，自点P作两切线的垂线PQ、PR，垂足为Q、R。求证：+为定值。变式练习 如图，已知A是定角的平分线上一个定点，过A任作一条直线与OM、ON分别交于P、Q。求证：+为定值。5、定长：例 在给定的梯形ABCD中，ADBC，E是AB边上的动点，点、分别是和的外心。求证：的长为一定值。变式练习 如图，在中，与底边BC为一定值，BDAC，CEAB，D、E为垂足，连结DE。求证：DE为定长。6、定角：例 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足。求证：不管ST滑到什么位置，是一定角。二、定型问题：1、定点：例 如图，在直线d上顺次取定A、B、C三点，AB=4BC，动点M在直线d的过点C的垂线上，以A为圆心，AB为半径作圆，、是该圆的两条切线，、为切点，求证：无论点M在垂线上如何运动，直线必经过一定点。变式练习 如图，已知等边内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于N。证明：线段AK与BN的乘积与M点的选择无关。2、定向：例 如图，A为定圆O上的一定点，在过A的切线上任取一点B，并过线段AB的中点C作任意割线CDE，交O于D、E，又直线BD、BE与O相交于P、Q，求证：弦PQ恒有定向。课外练习：A组：1、2、3、4、5、B组：1、2、3、C组：1、如图，点O是等边内部一点，G是的重心，直线OG与（或其延长线）分别相交于点。求证：2、已知ABCD是圆内接四边形，点E、F分别为AB、CD上的点，且满足，设P是线段EF上满足的点。证明：和的面积之比不依赖于点E、F的选择。参考答案典型例题：一、1、例1 （1）图（2）图（5）中的关系依次是：h1 +h2+h3 =h；h1 -h2+h3 =h；h1 +h2+h3 =h；h1 +h2-h3 =h。（2）图（2）中，h1 +h2+h3 =h。连结AP，则S+S=S，ABh1 +ACh2 =BCh。又h3 =0，AB=AC=BC， h1 +h2+h3 =h。（3）图（4）中，h1 +h2+h3 =h。过点P作RSBC与边AB、AC相交于点R、S。在中，由图（2）中结论知：h1 +h2+0=h-h3。h1 +h2+h3 =h。变式练习h1 +h3+h4 =。让R、S沿BR、CS延长线向上平移，当n=0时，此题图变为上题图（4），上面等式即为上题图（4）中的等式，所以上面结论是上题图（4）中结论的推广。例2 =. +=+及+=+=+,(+)2得=.,=,故AMCN=AOCO=AO2为定值。2、例1 连结AB，作直径AE、AF，连结CE、DF，证明RtRt,得AC：AD=AE：AF=定值。 变式练习 2 连结OQ交AB于M，则OQAB，连结OA，则OAAQ， =,S、P、Q、M四点共圆。 故OSOP=OMOQ，又OMOQ=OA2=2，则OSOP=2。 例2 连结PA、PB、PC，设等边的边长为a，则它的面积为S=。 又S= S+ S+ S， 即=a（PD+PE+PF）。 所以=。3、例 作直径AE，连结BE，易证BECD，故BC=DE。又AMMB=CMM则+=+=+=(+)+(+)=+=+=。变式练习（1）作OPBD于P，OQAC于Q，连AO，则=+，又AKCK=BKDK，得+=为定值。（2）作直径DE，连DE、AE、BE、CE，+=，+=，故+=为定值。4、例 作直径BC，连结CA。证，有=,=。同理=,所以+=+=。但PAPB=-,其中R为圆半径，BC=2R，故+=为定值。变式练习 作ABON交OM于B，则=，又=，故=，即+=为定值。5、例 连结、（不妨设）。注意到=360-=2（180-）=2，于是=，=。从而=，故。另一方面，由正弦定理，可知，。又sinA=sinB，故。结合，可知。所以,即=为定值。变式练习 以BC为直径作圆必过D、E，而圆周角定值，故DE为定长。6、例 连OM、OT，则OMST，由，知S、P、O、M四点在以OS为直径的圆上，从而，为一定角。二、1、例 设交直线d于K，连结。又、是圆A的切线，MC直线d，则、C都在以AM为直径的圆上，。故,即，因此，K为直线d上的一个定点。变式练习,，同理，则，有，故AKBN=（常量），即AKBN的乘积与M点的选择无关。2、例 因,则,。又，故有，从而PQAB。而AB是定圆O上过定点A的切线，其方向一定。故结论成立。课外练习：A组：1、2、3、4、5、B组：1、2、3、C组：1、由点O和点G向的各边分别引垂线和（i=1,2,3）。2、如图（1），若直线AD、BC不平行，设其交点为S，因为ABCD为圆内接四边形，则，从而。又因为，即，所以。故。所以，且。从而，