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第四章大数定律与中心极限定理,4.1随机变量序列的两种收敛性4.2特征函数4.3大数定律4.4中心极限定理,4.1随机变量序列的两种收敛性,则称随机变量序列Xn依概率收敛于X,记为,定义：设Xn是随机变量序列,若存在随机变量X(或常数),对于任意0,有,1依概率收敛,定理4.1设Xk依概率收敛于a,Yk依概率收敛于b,则,(1)XkYk依概率收敛于ab;,(2)XkYk依概率收敛于ab;,(3)当b0时,Xk/Yk依概率收敛于a/b.,注:此定理及推论可以推广到有限个随机变量序列的情形.,在上面所讲的收敛概念中,尚未直接涉及到随机变量序列Xn的分布函数列Fn(x)和随机变量X的分布函数F(x)之间的关系,而分布函数又完整地刻划了随机变量的统计规律,因此有必要讨论Fn(x)与F(x)之间的关系.,2依分布收敛（弱收敛）,定义:设随机变量X,X1,X2,Xn的分布函数分别为F(x),F1(x),F2(x),Fn(x),如果对F(x)的每个连续点x,都有,则称分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数F(x),并记作,也称Xn依分布收敛于X，记作,3两种收敛的关系,依概率收敛依分布收敛而其逆不真.,定理4.2,定理4.3,反例:抛掷一枚均匀的硬币,有两个可能结果1=出现正面,2=出现反面,于是有,P1=P2=1/2,令,则随机变量X的分布函数为,令Xn()=-X(),则Xn()的分布函数Fn(x)=F(x),于是对任意的xR有,但对任意识0=1,即不可能有Xn依概率收敛于X.,证明:必要性已证,下面只证充分性.,由于XC的分布函数为,对任意的0有,P|Xn-C|=PXnC+PXnC-1-Fn(C+/2)+Fn(C-),由于Fn(x)弱收敛于F(x),并注意到F(x)的表达式只在C点不连续,从而,即Xn依概率收敛于常数C.,4弱收敛的判断方法,注：由于此定理表明了分布函数与特征函数的一一对应关系有连续性,因此该定理称为特征函数的连续性定理。,习题4.1：1；4；8；9；11；12；14,作业,4.2特征函数,特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：,可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；它能完全决定分布函数;它具有良好的分析性质,1特征函数的定义,2特征函数的计算,这是p(x)的傅里叶变换,特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：,注意点,(1)欧拉公式：,(2)复数的共轭：,(3)复数的模：,例常用分布的特征函数,3特征函数的性质,例常用分布的特征函数,解,定理1,特
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