Chapt_2复变函数的积分

1,第二章复变函数的积分2.1复变函数的积分复平面上的路积分定义:复平面分段光滑曲线l上的连续函数f(z)，作和,A,x,y,o,B,z0,zn,l,z1,zk-1,zk,k,2,存在且与k的选取无关,则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记为,即,若,3,分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy参数形式：曲线l的参数方程x=x(t),y=y(t),起始点A和结束点BtA,tB,4,几个重要性质1。常数因子可以移到积分号之外2。函数和的积分等于各函数积分的和3。反转积分路径，积分值变号,5,4。全路径上的积分等于各分段上的积分之和即：如果l=l1+l2+ln5。积分不等式1：6。积分不等式2：其中M是|f(z)|在l上的最大值，L是l的全长。,6,例计算积分解,一般言,复变函数的积分不仅与起点和终点有关,同时还与路径有关.,7,2.2柯西（Cauchy）定理研究积分与路径之间的关系（一）单连通域情形单连通域在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点单连通区域的Cauchy定理：如果函数f(z)在闭单连通区域中单值且解析，则沿中任何一个分段光滑的闭合曲线c(也可以是的边界l),函数的积分为零。,8,证明：由路径积分的定义：,因f(z)在上解析，因而在上连续，,9,对实部虚部分别应用格林公式将回路积分化成面积分,又u、v满足C-R条件,故,10,推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线C(也可以是的边界)，有（二）复连通域情形如果区域内存在：（1）奇点；（2）不连续线段；（3）无定义区为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3把它们分隔开来，形成带孔的区域-复连通区域。,11,一般言，在区域内，只要有一个简单的闭合围线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复连通域区域边界线的正向当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。,x,y,l1,l2,l3,l0,B,o,12,复连通区域的Cauchy定理：如果f(z)是闭复连通区域中的单值解析函数，则,l为外边界线，li为内边界线，积分沿边界线正向,证：作割线连接内外边界线,13,14,即,15,柯西定理总结：1。若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线C(也可以是的边界)的积分为零；2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境界线正方向的积分为零；3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；,16,由Cauchy定理可推出：（与开头呼应！）在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。,17,证明：由图可知其中表示C2的反方向。由积分的基本性质可得：,18,最后可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变,19,2.3不定积分（原函数）根据Cauchy定理，若函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线l的积分只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点z0而变化终点z,这个不定积分便定义了一个单值函数F(z):,20,F(z)的性质：(1)F(z)在B上是解析的；(2)即F(z)是f(z)的一个原函数。,原函数不是唯一的，但原函数之间仅仅相差一常数，这一常数决定于起点z0。可以证明：,21,例一：计算积分解：（1）当n-1时，zn的原函数是z(n+1)/(n+1)故（2）当n=-1时，z-1的原函数是ln(z),故,22,注意：此积分与路径有关系！因为z=0是1/z的一个奇点。一般：如果被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。,23,例二：计算积分其中C是正向圆周|z|=a0.解：显然函数ezsinz在复平面上处处解析，由Cauchy定理知故,注意：此题若用复积分的计算公式，则非常复杂，甚至可能得不到结果！,24,例三（非常重要）：计算积分I(n为整数）解：（1）如果l不包含点，被积