北师大版八年级数学下第二章学案

八年级下数学教学案 华侨城中学八年级备课组第一课 分解因式本节知识点：1.理解分解因式的概念和意义.2.理解分解因式与整式乘法是互逆变形.知识点1分解因式的定义讨论99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.小明是这样做的：99399=9999299=99（9921）=999800=9998100其中有一个因数为100，所以99399能被100整除.想一想99399还能被哪些正整数整除？在这里，解决问题的关键是把一个数化成了几个数的积的形式。例题1（1）计算下列各式：（m+4）（m4）=_;（y3）2=_;3x（x1）=_;m（a+b+c）=_;a（a+1）（a1）=_.（2）根据上面的算式填空：3x23x=（ ）（ ）;m216=（ ）（ ）;ma+mb+mc=（ ）（ ）;y26y+9=（ ）2.a3a=（ ）（ ）（ ）在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.笔记：（1）分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。 （2）分解因式的结果必须是整式的乘积的形式，且每个因式的次数必须低于原来的次数。 （3）不是所有的多项式都能分解因式。 （4）分解因式要彻底，直到不能分解为止。针对性训练11 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。Aa（ab）a2abBa22a1a（a2）1Cx2xx（x1）Dx2（x）（x）知识点2 分解因式与整式乘法的关系如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆变形。实质上，整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。ma+mb+mc m（a+b+c） ( a-b）(a+b ) 笔记：（1）整式乘法中，变形对象是整式相乘的形式，所得结果是多项式，即单项式多项式的结果是多项式；多项式多项式的结果是多项式。 （2）分解因式时，变形对象是多项式，即把一个多项式化成单项式多项式或者多项式多项式的形式，所得结果是乘积的形式。 （3）整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。 针对性训练2下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab; ( )（2）6ax3ax2=3ax（2x）; ( )（3）a24=（a+2）（a2）; ( )（4）x23x+2=x（x3）+2. ( )针对性训练3 连一连：9x24y2 a（a1）24a28ab4 b2 3a（a2）3 a26a 4（ab）2a32 a2a （3x2y）（3x2y）思考题：320023200132000能被5整除吗？为什么？第二节 提公因式法（二）教学目的：能提取公因式为单项式的式子引入：计算：（1）（2）多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数； （2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； （3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式例题1 将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nbb练习 将下列多项式进行分解因式：（1）3x+6 （2）7x221x （3）8a3b212ab3c+ab （4）24x312x2+28x归纳：提取公因式的步骤： （1）找公因式； （2）提公因式易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”； （2）第（4）题提出“”时，后面的因式不是每一项都变号矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同； （2）如果多项式的第一项带“”，则先提取“”号，然后提取其它公因式； （3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等反馈练习 1、找出下列各多项式的公因式：（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn24m2n3 （4）a2b2ab2+ab 2、将下列多项式进行分解因式： （1）8x72 （2）a2b5ab （3）4m38m2（4）a2b2ab2+ab（5）48mn24m2n3 （6）2x2y+4xy22xy第三课 提公因式法（二）本节知识点：1、 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式知识点1公因式公因式的定义:多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如（a+b）就是多项式(a+b)d+(a+b)c各项的公因式。笔记：公因式是多项式中每一项都含有的公共因式，可以是数字、也可以是字母，也可以是多项式。例题1 多项式中各项的公因式是什么？针对性训练1 写出下列多项式各项的公因式.（1）a（x5）+2b（x5） （ ）（2） 6（mn）312（nm）2. （ ）（3） 9（p+q）212（q+p） （ ）（4）5（m2）+9（2m） （ ）知识点1提公因式法例题2 把a（x3）+2b（x3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x3）与2b（x3），每项中都含有（x3）,因此可以把（x3）作为公因式提出来. 针对性训练2 把下列各式分解因式:（1）a（xy）+b（yx）; （2）6（mn）312（nm）2.分析：虽然a（xy）与b（yx）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（xy）与（yx）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如yx=（xy）.（mn）3与（nm）2也是如此.针对性训练3 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立:（1）2a=_（a2）; （2）yx=_（xy）;（3）b+a=_（a+b）; （4）（ba）2=_（ab）2;（5）mn=_（m+n） （6）s2+t2=_（s2t2）.针对性训练4把下列各式分解因式（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（xy）（xy）（3）6（p+q）212（q+p） （4）a（m2）+b（2m）（5）2（yx）2+3（xy） （6）mn（mn）m（nm）2针对性训练5把下列各式分解因式（1）5（xy）3+10（yx）2 （2）（ba）2+a（ab）+b（ba）（3）m（ab）n（ba） （4）m（mn）（pq）n（nm）（pq）活动与探究把（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）分解因式.第四课 运用公式法（1）本节知识点：1. 会用平方差公式将多项式分解因式2. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1用平方差公式分解因式形如的多项式分解因式的方法，即，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。 （2）常见的公式变式有：位置变化：；符号变化：系数变化：指数变化：增项变化：例题1 把下列各式分解因式（1） （2） 针对性训练1 把下列各式分解因式（1） （2）例题2 把下列各式分解因式（1） （2）针对性训练2 把下列各式分解因式（1） （2）当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。知识点2 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如的多项式分解因式的方法，即，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。 例题3 将下列各式分解因式。（1） (2)例题4 将下列各式分解因式(1) (2) 针对性训练3 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4） 针对性训练4（1） （2）第五课 运用公式法（2）本节知识点：1. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如的多项式分解因式的方法，即，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。练一练：下列各式是不是完全平方式？（1）a24a4；（2）x24x4y2；（3）4a22abb2；（4）a2abb2；（5）x26x9；（6）a2a0.25 例题1 将下列各式分解因式。（1） （2）x24xy4y2分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式 针对性训练1 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5）4a24abb2； （6）a2b28abc16c2；例题2 将下列各式分解因式(1) (2) 分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“”号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公式分解因式 针对性训练2 把下列各式分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6）针对性训练2 把下列各式分解因式求的值。第六课 分解因式的第三种方法-分组分解法提问如何将多项式分解因式?定义分组分解法: 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 例题1把下列分解因式(1) (2) 原式= 原式=注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式。针对性练习1把下列多项式分解因式: (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例题2把分解因式针对性练习2把分解因式第七课 分解因式的第四种方法-十字相乘法做一做, 找规律1、计算:(1)=_=_;(2)=_=_;(3)=_=_;(4)=_=_;(5)=_=_.2、分解因式:(1)=_;(2)=_;(3)=_;(4)=_;(5)=_.二次三项式 把多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项例如，和都是关于x的二次三项式在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式同样，多项式，把xy看作一个整体，就是关于xy的二次三项式十字相乘法是适用于二次三项式的分解因式的方法十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd)竖式乘法法则它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且ab为一次项系数p，那么它就可以运用公式 分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同【口诀】：系数分解竖直写，符号分解常数析，交叉相乘凑中项，横向写出两因式。例题1 把下列各式分解因式：(1)； (2)分析(1)常数项15可分为3 (5)，且3(5)2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(2y)(3y)，而(2y)(3y)(5y)恰为一次项系数针对性练习1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (2)对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a0)来说，如果存在四个整数，使，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母如：例题2 把下列各式分解因式：(1)； (2)分析：我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而针对性练习2 把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”针对性练习3把下列各式分解因式：(1)