数学史[2010.11]

“国培计划”系列讲座,数学的发展历程,祁传达数学与信息科学学院,1.什么是数学?,简单地说：数学就是借助于定义和证明，用可靠的方法，按照定律推演而得到的一门学问。具体地讲：就是由甲定理推出乙定理，再由乙定理推出丙定理，以至于丁定理、戊定理等如同抽丝一样相继而出。,在数学的定义或证明中，常常包含公理。公理的来源：或来源于先前的知识；或由于经验；或由于约定。总之，与日常所见及其相近，由此而成的数学就可广泛应用于实际。,罗素（Russell）（18721970）关于数学的定义,罗素认为：纯粹数学完全包含这样的论断，若某命题对某事物是真的，那么另外的命题对另外的事物就是真的。它根本不讨论第一个命题是否是真的，也不管所假设的那些事物是真的还是假的。,罗素（Russell）关于数学的定义,如果我们的假设是关于一般事物而不是特殊事物的话，我们的推论就构成了数学。,这样的数学就定义为一种科目，我们决不知道其中说的是什么，也不知道所说的是真的还是假的。,对罗素的挑战,罗素认为：从一个错误的条件出发，可以推出任何或对或错误的结论。在一次数学家大会上，一位学者就此问题向罗素提出挑战：你能从2+3=4，推出罗素与某主教是一个人吗？,罗素应战：因为2+3=4又2+3=5所以5=4两边加上(-3):2=1大家知道，我与某主教是两个人，由于2=1，所以也是一个人。,2、现代数学的三大分支,1、经典数学：几何、代数、函数论、方程等。2、统计数学：概率论、数理统计等3、模糊数学,3、现代数学的特点,可以这样来形容现代数学：内容丰富而深入浅出；分支林立而纵横交错；思维严密而灵活辩证；高度抽象而应用广泛。,正因为这样，古往今来，数学吸引多少英才毕生献身于数学及其应用的研究，从而使数学这门学科日益枝繁叶茂，造福于人类。,世界数学史大致可分为五个阶段,萌芽时期（公元前600年前）初等数学时期（公元前600年17世纪中叶）变量数学时期（17世纪中叶19世纪20年代）近代数学时期（19世纪20年代20世纪40年代）现代数学时期（20世纪40年代以后）,一、萌芽时期（公元前600年前）,数学有了初步数的运算远古时代,人们从一、二到许多,逐渐地认识数，认识一些图形，这些杂乱的知识基本上来自于实践或实验应简单交易、土地面积计算、在陶瓷等器皿上绘制简单几何图案等实际需要的刺激而发展在这一时期，古埃及、古巴比伦、印度、中国这四大文明古国，都在生产实践中积累了大量而不成体系的数学知识,二、初等数学时期(公元前600年17世纪中叶),数学史上的一颗灿烂明珠是古希腊文明时期。这一时期数学、特别是几何学的发展达到了惊人的程度。将数学由实用推向了理论，创建了数学史上的一大丰功伟绩。古希腊文明的时期大致为公元前6世纪到公元641年，数学先后相继地在地中海沿岸的几个地方发展起来。每个地方都由一群学者在一两个伟大的学者领导下开展活动。形成了一些著名的学派这些学派对于Euclid几何学的形成有着重大的影响,欧几里德（Euclid，公元前330275年）将浩如烟海的几何学成果进行精心整理、归纳、升华，写成伟大著作几何原本，创立了欧氏几何学。要使得如此浩瀚的知识系统化，必须以一定的科学原理和哲学认识为依据，遵从任何科学命题都可以由一定的前提通过逻辑推理而得到的原则。几何原本成功地树立了数学演绎体系的最初典范，不仅对几何学，而且对数学科学和所有的科学都产生了深远的影响经历2000余年而不衰，现今任何一个中学生仍然都要学习其一部分内容几何原本一书，共13卷。目前已经有500多种版本。,几何原本的结构,几何原本的基本结构是：定义、公设和公理。原本第一卷里首先列举了23个定义，前8个是：1、点是没有部分的。2、线是有长度而没有宽度的。3、线的界限是点。4、直线是这样的线，它上面的点是一样放置着的。5、面是只有长度和宽度的。6、面的界限是线。7、平面是这样的面，它上面的直线是一样放置着的。8、平面上的角是平面上的两条相交直线的相互倾斜度。,几何原本的五个公设,1、从任一点到另一点可以引直线。2、每条直线都可以无限延长。3、以任一点为中心可以用任意半径作圆周。4、所有直角都相等。5、平面上两直线被第三条直线所截，如果截线一侧的两内角之和小于二直角（180度），则两直线必相交于截线的这一侧。,几何原本的八个公理,1、等于同一量的量彼此相等。2、等量加等量得到等量。3、等量减等量得到等量。4、不等量加等量得到不等量。5、等量的两倍相等。6、等量的一半相等。7、能合同的量相等。8、全体大于部分。,诡辩家芝诺（公元前500年前）,芝诺提出了三个著名的数学难题：三分角问题二倍立方问题方圆问题,在同一时期也出现了专门对数学提出非难的人最有代表性的就是著名诡辩家芝诺,诡辩家芝诺,有人这样来形容芝诺：“芝诺，芝诺，鼓舌如簧，无论你说什么，他都认为荒唐！”芝诺既非数学家，也非物理学家，但他却提出了四个著名的关于运动科学的诡辩难题：1、飞箭问题2、竞走问题3、两分法问题4、阿基里问题,阿基里追兔问题,阿基里是古希腊神话中跑得很快的人芝诺说：阿基里跑得再快也追不上一只兔子。,阿基里追兔问题,阿基里,兔子,100m,阿基里,兔子,50m,阿基里,兔子,25m,假定阿基里的速度是兔子的2倍,阿基里追兔问题,这里隐含着一个假设：阿基里和兔子跑的速度都是匀速的假设阿基里跑完100m所用的时间是t，则阿基里追上兔子所用时间为：t+t+t+=2t,第五公设问题,欧氏几何第五公设：两条直线被第三条直线所截，如果截得的同旁内角小于二直角（180度），则这两条直线在这一侧相交。,第五公设等价命题：过直线外一点，最多只能作一条直线与该直线共面不交。,第五公设的证明,从欧氏几何诞生到非欧几何问世，历时两千多年，所有称得上数学家的人，几乎都尝试过第五公设的证明工作。他们花费了大量的心血，甚至毕生精力，有时似乎成功在望，但后来却由自己或他人在其所作的证明中，又发现了逻辑上的错误，从而前功尽弃。经过年长日久、前赴后继的努力，终于使数学家们确认这样一个事实：第五公设的不可证明性,第五公设等价命题,人们在试证第五公设的历史长河中，导出了许多与第五公设等价的命题。如：1、两条不相交直线与第三条直线相交，所成同位角合同2、一条定直线的垂线和斜线必相交3、通过任何不在一条直线上的三个点可作一圆4、三角形三条高线总相交于一点,5、通过角的任何内点，总可引一条直线与角的两边都相交6、任意三角形内角之和都是二直角7、某个三角形内角之和是二直角8、存在着相似三角形9、勾股定理10、平面上至少有共线的三点到另一直线距离相等11、在一平面上有一锐角，其一边垂线必与另一边相交,三、变量数学时期(17世纪中叶19世纪20年代),变量数学以笛卡尔（Desscartes）的解析几何建立（1637年）为起点，接着就是微积分的兴起这一时期也建立了射影几何、概率论等新的数学部门，但这些学科似乎都被微积分过分强大的光辉掩盖了微积分以汹涌彭拜之势向前发展，在整个18世纪达到了空前灿烂的程度，其内容之丰富、应用之广泛，使人应接不暇。,笛卡尔与解析几何,1637年，笛卡尔发表了长篇哲学论著，其最后一部分以几何学命名，包含着现在的解析几何的相当完美的叙述。不过，他在论著中并没有指出y轴，也无纵、横坐标之名称。这些名称是后来由莱布尼兹（Leibniz）制定的。,笛卡尔（15961650）是法国著名的哲学家、物理学家和数学家。,恩格斯对笛卡尔的评价,恩格斯对笛卡尔几何给出了高度评价：“数学的转折点实笛卡尔变数有了变数，运动进入了数学有了变数，辩证法进入了数学有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了！”,射影几何学,解析几何学诞生后，研究几何的方法也就从综合法转向解析法，而且直到19世纪初，都为解析几何所支配。然而，那些崇尚纯粹几何方法的几何学者却不甘雌伏。他们继续研究综合法，终于创立了射影几何学。,Von.Staudt与位置几何学,德国数学家Von.staudt所著的位置几何学一书，可以说是非常优美的一本纯粹几何书。书中完全不借用代数学的帮助，不计算距离的长短和角度的大小，而只有点线位置的描述，这就是射影几何学。它不仅图形美丽，而且还有点与线、点与面的对偶性。实可谓：图形美丽、偶影双双，富有诗情画意,四、近代数学时期(19世纪20年代20世纪40年代),变量数学时期兴起的许多部门，蓬勃向前发展，内容和方法不断地充实、深入和扩大。18、19世纪之交已经达到丰沛茂密、绿叶成荫的境地。但是，伴随着向数学进军的节节胜利，却带来了一种消极的情绪：似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。然而，这正是暴风雨来临前的宁静，它预示着数学革命巨大浪潮的到来。,数学革命的浪潮,19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了！数学发生了一连串的根本变化：首先是罗巴切夫斯基的非欧几何的出现；其次是阿贝尔和伽利略开创了近世代数的研究；波尔察诺和柯西重新奠定了分析的严格逻辑基础；随后，拓扑学、复变函数、微分几何等簇新的领域也兴起了。从此，数学阔步迈入了一个新时期：近代数学时期！,非欧几何的诞生,有三位数学家是公认的非欧几何的奠基人：德国数学家高斯（Gauss1777-1855）匈牙利鲍利埃（Bolyai1802-1860）俄罗斯罗巴切夫斯基（17921856）,高斯,高斯（Gauss）是德国数学家、天文学家、物理学家。他在数学史上是一个了不起的大人物！当时是世界数学界最高权威，被誉为“数学王子”。,高斯从15岁就致力于第五公设的研究，在他相信第五公设的不可证明性以后就转向建立新几何的尝试。他于1824年给一个朋友的信中写到：“三角形内角和小于180度，这个假设可以引导到特殊的、与我们的几何完全相异的几何。这几何是完全一贯的，并且我发展它本身，其结果完全令人满意。”高斯于1829年给另一位朋友的信中写到：“恐怕我还不能够修改关于这一问题的很广泛的研究，使它可以出版。甚至在我一生里可能不办这件事。因为当我发表我的全部意见时，我害怕会引起标丁人的喊声！”注：标丁是古希腊的一个省份，雅典人把标丁省人看作“没受教育的人”。,鲍利埃,匈牙利青年数学家鲍利埃继高斯之后也发现了这个新几何学。Bolyai的父亲是高斯的大学同学，也是个大数学家，终生从事第五公设的证明工作。当他得知尚在维也纳工学院读大学的儿子也醉心于第五公设的研究时，赶快写信给儿子，力加劝阻。,鲍利埃的父亲在信中这样写到：“我熟知一切方法，我还没有遇到一个思想未曾被我探索过的。我经历了这个夜的无希望的黑暗，我在这里面埋没了人生的一切光亮、一切快乐。老天啊！希望你放弃这个问题，对它害怕应该更多于感情上的迷恋，这是因为它会剥夺你生活中的全部时间、健康、休息和一切幸福的。”鲍利埃并没有听从父亲的劝阻。后来，他在父亲的一本几何论著的后面准备以附录的形式发表他关于新几何的论述。,鲍利埃的父亲把整个附录寄给高斯评阅。高斯阅后回信说：“如果我开头就说我不能称赞你儿子的工作，你肯定会立刻惊怪，但我不能讲任何别的话，因为称赞他，就等于称赞我自己。你儿子所采用的方法和他所达到的结果几乎全部和我自己在30年前已经开始的个人沉思相吻合，我自己的著作虽然写好的只是一部分，我本来永远不愿发表。现在有了老友的儿子能够把它写下来，免得它和我一同埋没，那是我最高兴的了。”高斯的回信大大刺痛了鲍利埃。鲍利埃误认为高斯在借自己已有的权威，剥夺自己的优先权。,苦闷中的鲍利埃,这个打击使鲍利埃从此放弃了一切数学研究，在孤独和苦闷中度过了自己的余生。,罗巴切夫斯基,几乎是在同一时期，俄国伟大的数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）也发现了这个新几何学。罗巴切夫斯基出生贫寒15岁进入喀山大学学习18岁获硕士学位22岁获副教授职位24岁获教授职位,罗巴切夫斯基于1826年2月11日在喀山大学物理数学系会议上宣读关于几何原理的讨论的报告，这一天被公认为非欧几何的诞生日。正如高斯预料的那样，罗氏几何一发表，就动摇了旧世界观的全部基础，引起教廷势力的竭力反对。总教主菲拉列特宣布罗巴切夫斯基是“疯人”，宣布他的学说是“邪说”。嘲笑、侮辱、谩骂接踵而来。慑于这种情势，数学最高权威高斯也只是在个人通信里表白自己对这种理论的钦佩，而不敢公开支援这位被落后思想和反动势力团团围攻的伟大革新者。但是，罗巴切夫斯基并未低头，仍然坚忍不拔，在他双目失明后，还用口授方式写下最后一部著作。,遗憾的是，罗巴切夫斯基没能亲眼看到胜利就与世长辞了。直到他去世后三年，非欧几何才被全世界所公认。,黎曼(riemann)几何（18261866）,1854年，黎曼又创立了一种既非欧氏几何又非罗氏几何，却与它们完全完善瑰丽的新几何黎曼几何。,欧氏几何,罗氏几何,黎曼几何,平行公理,过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行,过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行,过直线外一点的任意直线都与已知直线相交,图形,A,A,A,抛物几何,双曲几何,椭圆几何,应用,天体物理,相对论,几何基础的重建,非欧几何促进了对公理方法的深入探讨，分析公理的相容性、独立性和完备性。1899年，希尔伯特（Hilbert）作出了很大贡献。,希尔伯特与几何基础,1899年，著名数学家希尔伯特（Hilbert，18621943）的著作几何基础正式出版，并于1903年获得以罗巴切夫斯基命名的国际金奖。,希尔伯特在他的著作里提出了欧氏几何的完备的公理系统，从这个系统可以用逻辑推理导出欧氏几何的所有内容。,点直线平面,结合关系,点与直线的结合,点与平面的结合,顺序关系：一点在另外两点之间,合同关系,两线段合同,两角合同,基本元素,基本关系,基本概念,结合公理（8个）顺序公理（4个）合同公理（5个）连续公理（2个）平行公理（1个）,公理,希尔伯特公理系统,康托奠定了集合论基础,人们又用相容性、独立性和完备性这三个条件去衡量代数。代数的基础是实数理论实数理论是建立在有理数理论基础上的有理数理论是建立在整数理论基础上的整数理论又建立在集合论基础上突然有一天，有人宣布：代数的基础集合论是自相矛盾的19世纪70年代，康特的集合论开始发表，集合论基础得以重建,近世代数,古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心。19世纪初，一般代数方程根的求解问题导致群的结构的研究。随后多种代数系统（环、域、格、布尔代数、线性空间等）被建立。这时，代数学已经呈现崭新的面貌，其对象扩大为向量、矩阵等。它渐渐向代数结构本身研究的方向发展。这就是近世代数。,分析基础的重建,17世纪中叶，数学分析建立以后，它的进展是如此地迅速，使人们来不及检查和巩固这一学科的理论基础，因而遭到种种非议。19世纪初，许多迫切需要解决的问题已基本上得到解决，于是人们转向基础的重建。波尔察诺开始将严格的证明引入分析中。柯西对分析的基本概念给出一系列定义。他的极限的定义至今仍然沿用。,波尔察诺,柯西,其它新兴学科,柯西开创了复变函数的研究领域1901年，勒贝格在点集测度论的基础上，给出新的积分定义，奠定了实变函数论的基础此外，微分几何、微分方程、拓扑学、数理逻辑、概率论以及泛函分析等都有很大的发展,勒贝格,克莱因变换群观点,德国数学家克莱因（F.Klein）于1782年在德国埃尔朗根大学所作的题为“近世几何学研究的比较评论”的报告中，首次提出了变换群的观点，历史上称为“埃尔朗根”纲领。一百多年来，数学的发展说明了克莱因变换群的观点在近代几何领域起了很大作用，这种观点支配了从他以来近半个世纪所有几何学的研究。,五、现代数学时期(1945年以后),20世纪40、50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事,原子能的利用,时间：1945年7月16日地点：美国新墨西哥州洛斯阿尔英沙漠事件：第一颗原子弹爆炸试验成功,原子弹,美国投到日本长崎的原子弹.,在长崎投掷的原子弹爆炸后,在长崎投掷的原子弹爆炸后,中国第一颗原子弹爆炸蘑菇云