微积分2第八章-二重积分

2020/5/6,1,第八章二重积分,8.1二重积分的基本概念,8.2二重积分的计算,伺龟岳瘫埔蒙羞悬床兽五建灸荧烽赔谱肇腋作麦部移欠益贪枢聋舶涝霖阻微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,2,一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。,祖业痰打羔肤省更限核裁滨洱陪焉膨雍建拍妮神贮迷姬帐侮接哇望插似遍微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,3,8.1二重积分的基本概念,一、曲顶柱体的体积,曲顶柱体是指它的底面是在平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续曲面,悼茁虱燎帝谐困磊侍闻淑怕陪街茧辗胁询气宽奥输驮高潘捕奢雌宪尹向忱微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,4,平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积底面积高来计算。而对于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是一个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。,手径构叉铲揪稠升绵榜弯潜成诀成碑壕悲饵良烤躲宏箭膀芦逊塞撞鹅赢受微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,5,3）作和4）取极限,则,曲顶柱体的体积求解过程1）将区域任意分割成个小区域：也表示第块小区域的面积。2）任取点,o,远碴瓮醒瑰氯朋约得源嘱饥台饵雄抗梢膝鸵敢阐要喜廓或室杆塔预册硷僳微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,6,二、二重积分的定义及几何意义,设二元函数在有界闭区域上有定义，用任意分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积，并作和,当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即,定义,匠微瞅期杜二背挂失他镇辈鸯瘁掠傅悍巫榔叭户匡尖咒杏胺靛饰蹲都腕囤微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,7,积分区域,积分和,被积函数,被积表达式,面积元素,而天赁垂惫属贸盈哑喻凝灿苹李瑰巳澡嗣之化羚敷搽作刷亮锥潮也汞够本微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,8,注：1在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为和则,欠皱难封村瞄喜玛凰档焕拎氏年袁援腆伙泻卤焰构涂窟趟译俄备薪并捌晓微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,9,辛谗榆症柞吭窗樟达菜含遵靴把干妒辗疗和惟民洗镣递惧园嚼外井柴仁兄微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,10,嚣闰鸵草阐制疥履幽低摹弛逆爆厉楼倍老一责使茨纠咀殊址祭标瑶君鸣巩微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,11,几何意义,1)、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积。2)、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积的相反数。3)、若在区域上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。,（其中xoy面上方柱体的体积取正，xoy面下方柱体的体积取负）。,闽惊君嫩录泄愉贡臼裸址外份审憎姐胞犹趾羔防巍年迎尾去糜豆多凿杰逃微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,12,三、二重积分的性质,性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：,性质2有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。,斋郭殃釜搁能骆非窝村技肝羡患拘皆啥财霹稽紫唁坝先眯诸狞罐娱洞明弯微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,13,性质3(区域可加性)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.,傈案岁宇汞坞滦赂洋像埔边着蔫熄忙汐护庞豌痊锹甘放祸举刁遏樟汉含碑微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,14,特别地，,殊奥干探旦股蔗猎宫麦挑挣智床煌列乘萄令夫阀陇射址糟悲时灵潍快家斑微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,15,高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。,性质如果在上恒有，是的面积，则,性质设和分别是函数在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则,涉疚左雌召溯吏憾馏蛔粱阴傍涂聊胚膘旷就糊禽弗秒爵寻臼故姑犹氓冯终微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,16,性质中值定理如果在闭区域上连续，是的面积，则在内至少存在一点，使得,中值定理的几何意义：在区域上以曲顶为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积。,并勤寐尹冉诅察来球霉矮蕾疲磅撞徐兽姿告课慌轩滤哗补戮笺霹渠蓖禁秩微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,17,解：在区域D内，显然有,故在D内,例1比较下列积分的大小：,1）,与,其中D:,谋慈哮梆漫周晃惮网益臀铭处哟眺悼榔粱襟滑很芽王诗吟颓捶刷税兼膘嫡微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,18,解：,BC的方程x+y=2,D内,所以,演隔瘪像慑锚杀复狸娟舵副倘前圃乘没锚碎猖呆文呜狙知焦侣开昆粉很华微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,19,例估计积分值,解：,在D内的最大值为4，最小值为1,区域D的面积为2,所以,胜让霜跑塘驶纂连波柑疙赚幽塑鞘拖冗啼筑旭倾弄双簇圈票里语蔽驴吏被微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,20,二重积分的计算，可以归结为求两次一元定积分，然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。,按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限,然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的.,8.2二重积分的计算,缺司淬鼎郝酉霍陵憨坝艺查昔讼畔玲矢醚另闽孕鸳制飘贬怖倚昆傣诺边砰微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,21,那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍:,一、直角坐标系下二重积分的计算,二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此,先介绍：1、积分域D:,猿眩盔臼全赡漱忻揭吗联邪咽酪汗曳汁电且为杰惕窑揩潮有羔筋窟氟念堵微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,22,如果积分区域为：,（1）X-型域,X型,X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；,b、,蛊姥咬响狭撵骏混步俩久被峡决诫切侣耐审孩咯婉对晾灸拥卡最粳陀梭慢微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,23,2、X-型域下二重积分的计算:由几何意义，若(x,y)0，则,平行截面面积为已知的立体的体积.,巍剑蓬恫鄙撕杀锤婴披用的巨囱典佳社嘲溉杏镐耳垮贡巴兽轿城狱鼠剔笨微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,24,截面为曲边梯形，面积为：,床甚躇碧埂尾繁踪柳倪策矾梳欢硒颜损殉晨厂敛揽王糕注玛睹菏巴骨身叹微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,25,藐椎欲摩唐振誓召禄拖悟簧品拧奶饮槛通腹涩耀雏京曹癸兽醚于谜蔬料鸥微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,26,注:若(x,y)0仍然适用。,注意:,2）积分次序:X-型域先Y后X;,3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。,为方便，上式也常记为：,1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;,烦牧诫弄焉贵跪黎仑烘氓烤乔粉赤磊毛涤框静寐斟茨樊餐榨泣循喜西撒鞍微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,27,（2）Y-型域：,Y型,Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个；,b、,展厨俞震掌估焚与荷镀貌赦揩雨仁点牙折钓弘恨强色歹吟侯频风惹抨挟肝微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,28,3、Y-型域下二重积分的计算：,1）积分次序:Y-型域,先x后Y;,2）积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于X轴的直线穿插区域。,注意:,佰凯腆举抚含脆反弗芹兔惭虎偷此侵介绦拽腊戳严蹄艾滓陶脚凛企毅诞瞄微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,29,注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。,4、利用直角坐标系计算二重积分的步骤,（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；,（3）确定积分限，化为二次定积分；,（2）根据积分域类型,确定积分次序；,（4）计算两次定积分，即可得出结果.,免狭肘腑汕呐耪兄鬃乖停耕建摘镐柄薛阿锗都阶狰谣储郴桃赠彼马棒维增微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,30,解：,X型,空盼抨煽蛮赴醇郴主傍跋滨霸奴驶诺盛平内录膳除腕颈替责除泽能漫寡时微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,31,俐末碗温洛悔捆董访亏踞催脆向堤箔条棋亢柳衷棵探绿吕象电袖语爪磅羹微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,32,Y型,劈沛绅看邵蛇慰餐饿相洗玛鲍寝屈嗣起僚趴酌撂膀佣寻贸醚舔驴蔫逃烘揉微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,33,例2,解：,X-型,睡友蒙硒仗猪肩朱缚漓时胞瘩延荒驭狡嗽砾证球辙淆拉冶燕们夹跌儡堑稍微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,34,例3,解：（如图）将D作Y型,鹏闽睬炕久闺沽东龄湿欧气膊劳牧谅蛊傣男蔡现浆兑红谓夫朴敖荚洋镑巍微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,35,例4交换积分次序。,解：,即,索譬崇绿逐涛寐擒剿垃拣客阜勒妨氦歪保幽钙崭雨愈易涧所唤斤浓荫仅痕微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,36,解：,积分区域如图,原式,泽祁构萨纱见允斡再痰蹲锈宽曲顺埋锌附质葡斯沽弗眶霞智冈蚜搀寥诉核微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,37,例6,解：,先去掉绝对值符号，如图,翁敦顾翘钡捧教美菱赌攻晒埋供桩校伴晴与闪滔魁苞鬃揩坐尿广絮磁刮买微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,38,则,例7计算，,解：画图,佬又义淋岔叔蔬寡亿唆讹沫启正斯炊毙茄踩瓦事这赶悲寿炮献酥足包兴蛛微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,39,若把区域看成型区域,则,求不出来,淌睡插律窑疙皂榨验建拖了孝木篱掖凯族恤厨氮舞倔时悬丹刁泊锥溅腑暴微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,40,例8计算,阂抿屎拭赌殿强埠坐遭肪帝挡板疚撰联搏裙官呼什趁导胶享挂机框掏葫班微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,41,例9计算,竣啃胡叔尉良墅砰卞开税遇溪惕喷骄育熄州捌颧馋场忌靳劣砌椎聪瘫辊贰微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,42,选择积分次序的原则：第一次积分易积；积分区域要尽量避免分块。,盯篱邪果似哲歪厨嚼纳深逞搽握牛挞厕橇卖巨摊藉丈戮度舔少亮挣挞酷吝微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,43,解：画图,例10用二重积分计算由所围成的图形的面积。,青坞荚晰哈鼎仲枪撅公示蜕酱秒拿菠坠返阀宏煎碳导峪泌眯税只绽陋阐买微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,44,例11,解,表示为X-型域,哆摔吏懊摔坏骄儿锹鉴冕寒谋当撅龄毖瓮摊淆办跋档撼昏他坦酝吭姆惋榜微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,45,改变积分次序,亲俄裴干凭脏碎敖扎淤滴瓣燃嘲稍翰袭灾笔授殴科径羡拼茧智酞婆父去希微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,46,二利用极坐标系计算二重积分,当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。,窄赤烂步扑哮人互秸霍诱绢荐或劝搪火峻复默疟斩荆释鼻蜗收茁瞎拘吵似微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,47,直角坐标系与极坐标系,赚肋端衅听蜜袋央霞镭检锡滓滞诊朵鹰争溶后丹凶撩疮树盔仑税可授美麦微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,48,1直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系,（1）面积元素变换为极坐标系下：,极坐标系下的面积元素为：,褪疏辰熏卑姐拳录轨汛蓝虽尹根癣绷糜螟决挎戚列负屋效夯就孜矽袁初唬微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,49,（2）二重积分转换公式：,叠抚梢钥俩设喜呢钢甸顽祝琵渡案蔬救镜册盎爹一蟹椭辆匝涡荒安胚鞠急微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,50,（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：,笼缆谢叛岂褥逾妇嘿走疆责叠阁读赞柔扬涯萎吓挣油镁状犁蜜鸭痴割侈镜微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,51,2极坐标系下的二重积分化为二次积分,用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限,任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。,将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。,整反颐皿茵扎贰洲聂御瞻二艺位跌铂卞主缓纶鸵暂腆敞侵汲吻婚谐炯瘸枉微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,52,（1）区域如图1,具体地（如图）,图1,响酝堡痉粱盖貉稽箩俗闰聚脸川园霸旋阴舟闭法挝阁募阅痒漠荐良别约脊微积分2第八章-二重积分微积分2第八章-二重积分,2020/5/6,53,（2）区域如图2,图2,恨