复变函数ppt第一章

1,复变函数论,授课人田超联系电2,第一章复数,复平面,复数的球面表示扩充复平面,第一章总结与习题,复数的几何意义,复数的定义及其代数运算,序言,引言,3,复变函数论产生于十八世纪.1774年,Euler(欧拉)在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中,就已经得到了它们.因此,后来人们提到这两个方程,把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪,上述两个方程在Cauchy(柯西)和Riemann(黎曼)研究流体力学时,作了更详细的研究,所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件(C-R条件)”.,序言,4,复变函数论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支,并且称为这个世纪的数学享受,也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.,复变函数论在应用方面,涉及的面很广,有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场,对它们的研究是用复变函数来解决的.,5,比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.,复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用,而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,对它们的发展很有影响.,6,复数的概念起源于求方程的根,在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里,人们对这类数不能理解.但随着数学的发展,这类数的重要性就日益显现出来.复数的一般形式是:a+bi,其中i是虚数单位.,以复数作为自变量的函数就叫做复变函数,而与之相关的理论就是复变函数论.,7,解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数,复变函数论主要就研究复数域上的解析函数,因此通常也称复变函数论为解析函数论.,复变函数是以研究复变量之间的相互依赖关系为主要任务的一门数学课程.它与高等数学中的许多概念、理论和方法有相似之处.但又有其固有的特性.因此充分运用已学过的高等数学知识,紧紧抓住复变函数的固有特性,是把本门课程学好的关键.,8,第一节复数的定义及其代数运算,复数的运算及复数域,例2,复数的模与共轭复数,复数的概念及表示,教学要求,例1,例3,例4,9,引言,本章的内容对以后学习将起到重要的作用.从这章开始,我们将学习一个更大的数域复数域!大部分理论是微积分内容的延伸,因此学习本课程,要求我们回顾微积分的内容,比较相同和不同的地方.,10,教学要求,教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述;对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.,11,复数出现的必要性:我们熟悉的实数已经不能满足需要了，如方程,就没有实数解,甚至我们知道,在实数范围内,这个方程没有意义！要使(1)有意义,需要把数的范围扩大,下面我们学习复数.,(1),复数的概念及表示,12,形如,在复数中,引进记号“i”(虚数单位),定义“i2=-1”.,的数,称为复数.其中实数x和y分别,称为复数的实部和虚部,常记为,复数,13,(1)加(减)法,复数的运算及复数域,(2)乘法,(3)除法,14,求的和,差,积,商.,15,引进四则运算后的全体复数称为复数域.,注:实数域复数域,复数域也有自己的特点.,在复数域上,复数的运算类似于实数运算，可以合并同类项、作多项式乘法、分母有理化等.,复数域,16,由于复数z与从原点到z的向量的对应,称向量的长度为复数z的模(或绝对值),记作|z|(或用r表示).,复数的模与共轭复数,复数的模,计算式为,17,z1,z2,z1+z2,x1+x2,y1+y2,z1-z2,模的性质,18,复数与共轭复数、模之间有下面的关系:,共轭复数,19,求,设,证明若,20,第二节复数的几何意义,辐角,例3,复平面与复数加法的几何意义,例1,复数乘(除)法的几何意义,复数的幂与方根,例6,例8,复数的三种表示形式,例2,exe,思考,exe,例4,例5,例7,教学要求(见第一节),21,复平面与复数加法的几何意义,如图,1.一个复数z和一对有序实数(x,y)对应,因此平面上的点与全体复数之间可以建立一一对应关系.,2.一个复数z与从原点到z的向量也对应.,r,22,P,Q,复数z可以从几何上来刻画:,(1)|z|=|oM|=r,(2)Rez=x,Imz=y(投影),z1,z2,z1+z2,x1+x2,y1+y2,z1-z2,23,求下复数的模.,参考解答,24,辐角,辐角,记作,任何非零复数都有无穷多个的辐角.,25,称满足条件的一个值为Argz的主值，也称为z的主辐角.,辐角主值,26,argz,27,求,解答参考,解答参考,28,复数的三种表示形式,(1)解析形式,z=x+iy,(2)三角形式,(3)指数形式,29,将下复数化为指数形式,参考解答,参考解答,参考解答,30,将下复数化为指数形式,31,复数乘(除)法的几何意义,用复数的指数形式表示复数的乘法和除法很方便,如,复数的乘/除法的几何意义从图上看更直观.,32,应理解为集合相等的关系.,33,求复数的模和辐角主值.,参考解答,参考解答,34,已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另一对顶点.,(1,1),x,y,Ref：(0,1),(1,0),35,复数的幂与方根,利用两个复数的乘法,很快可以得到n个复数的乘积的模和辐角的计算.,模:,辐角:,36,利用指数形式,有DeMoivre(德摩弗)公式,37,由于n次幂与n次方根是互逆运算,因此定义复数的开n方的运算如下,这些根记作,n次方根,38,由于复根的成对性，以及习惯用0和正数表示下标，事实上只要取k=0,1,n-1即可以了.即,39,由上面的结果知道,这n个根均匀分布以为半径的圆周上.,40,计算.,1,1,参考解答,41,第三节复平面点集,复解析几何,exe1,例2,例3,常见的复平面点集,例1,42,邻域,常用的复平面点集,43,内点、开集、边界点、边界,E,（1）内点,如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.,44,（3）如果在z0的任意一个邻域内,既有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为E,（2）平面上不属于E的店的全体称为E的余集，记作。开集的余集称为闭集。,45,(4)若在的某一领域内除外不含E的点，则称是E的一个孤立点。E的孤立点一定是E的边界点。,46,有界,z,x,y,E有界！,o,E,47,例1是一开集。因为对于任意的，的邻域在G中。,例2是闭集。因为它的余集是开集。,例3，圆周的每一点均为G的边界点，且G没有别的边界点。因此是G的边界,48,区域,如果平面点集E满足以下两个条件,则称它为一个区域：,(1)E是一个开集；,(2)E是连通的(即E中任何两点都可以用完全属于E的一条折线连结起来.),E加上E的边界一起构成闭区域或闭域.,z1,z2,E,记为EE+E，闭区域并非区域。,49,Jordan曲线,光滑曲线,表示复数平面上的一条曲线C.,起点z(),终点z(),z,x,y,C,C的正向:从起点终点,o,50,没有重点的曲线C称为简单曲线(Jordan曲线).,简单曲线自身不相交.,重点,重点,重点,51,判断下列曲线是否为简单曲线?,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,52,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,光滑曲线,特点,53,若尔当曲线定理：任一简单闭曲线将平面分成两个区域。它们都以该曲线为边界。其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个为无界区域，称为外部。,54,复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称D为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,单连通域,多连通域,单连通域与多连通域,55,复解析几何,在初等解析几何中,一个图形的方程可以表示为x与y的关系(解析式),同时也可以用图形表示(图示),通过几个例子来说明这个问题.,在复平面上,这种关系用复数表示起来有时也是很方便的.这就是复解析几何.,56,求下列方程表示的曲线,57,第四节无穷大与复球面,扩充复平面,复数的球面表示,教学要求(见第一节),58,单位球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点p都有唯一的复数z与之对应,(0,0,1)对应z平面上的.,复数的球面表示,这样的球面称为复球面.,59,扩充复平面,在复平面上,不存在无穷远点,引入一个理想点,用“”表示这个点.,称复平面加上“理想点-”的集合为扩充复平面,用“”来记这个平面.,复球面上的点与扩充复平面上的点建立了一一对应的关系,复球面可以看成看成复平面的几何模型.,60,第五节复变函数,复变函数的极限与连续性,复变函数的相关概念,61,1、复变函数的定义,设G是一个复数的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数，都有一个或几个复数与之对应，那末称复变数是复变数的函数（简称复变函数），记作,如果对每一个，有唯一的同它对应，则称为单值函数，不是单值函数的函数称为多值函数。一般情况下，我们说的“函数”都是单值函数,62,复变函数和自变量之间的关系相当于两个关系式：,为实值函数。,设，则可以表示为：,的性质就取决于和的性质。,63,例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数。,64,2、映射的概念,设的定义域为G,的值域为D。则将点集G的点映射为点集合D的点。设将G中的点映射为D中的点，集合G映射为集合D,则称点为点的像，点为点的原像。,65,已知映射，求点,在平面上的象。,66,3、复变函数的极限与连续性,定义：设函数定义在的去心邻域内。若有确定的复数存在，对于任意给定的，总存在一个正数