电子科大量子力学与统计物理第一章

量子力学QuantumMechanics微电子与固体电子学院,（教材：第14章）,课程简介,量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。主要目的：使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后续课程的学习打下必要的基础。,深入理解微观粒子的运动特性。掌握描述微观粒子运动的方法，即量子力学的数学框架。初步掌握应用量子力学处理简单体系的方法。,目的要求,参考教材,曾谨言，量子力学，科学出版社。,量子力学研究微观粒子的统计理论,1899年，英国的开尔文在新年贺词中说：19世纪已经将物理大厦全部建成，今后物理学家的任务就是修饰、完美这所大厦。但是物理学的天空上还漂浮着两朵小小的令人不安的乌云。,恰恰是这几朵乌云带来了一场震撼物理学的革命风暴，导致了量子力学的产生。,1.1经典物理学的困难,第1章波函数及薛定谔方程,经典力学遇到五大灾难性问题黑体辐射光电效应原子的线状光谱原子稳定性固体比热问题,上世纪20年代，诞生一种认识微观世界的新理论量子力学,量子力学的发展史：1900年普朗克解释黑体辐射能量量子,普朗克MAXPLANCK(1858-1947),1905年爱因斯坦解释光电效应光量子论,阿尔伯特爱因斯坦AlbertEinstein18791955,1913年波尔氢原子轨道模型,波尔NielsHenrikDavidBohr18851962,年德布罗意提出德布罗意假设实物粒子具有波粒二象性,德布罗意LOUISDEBROGLIE(1892-1987),1925年海森堡提出用矩阵描述量子理论（矩阵力学）,海森堡WERNERHEISENBERG(1901-1976),1926年薛定谔建立薛定谔方程（波动力学）薛定谔证明矩阵力学和波动力学是等价的,薛定谔ERWINSCHRODINGER(1887-1961),1.2量子力学的建立一、光的波动性由衍射、干涉实验证实，具有频率、波长二、光的粒子性黑体辐射、光电效应证实(Planck-Einstein)提出1、光量子论：电磁波由光量子组成，每个光子(photon)的能量,由质能关系,光子静止质量为0,为波矢，大小为,方向为波传播方向,2、由光量子论解释黑体辐射和光电效应黑体辐射黑体：在任何温度下，能100%地能完全吸收外界投射到它上面的辐射。,经典理论无法解释黑体辐射,普朗克应用光量子论，得出高频、低频时与实验曲线完全符合，成功解释黑体辐射现象。,光电效应：金属受光照后，有电子从表面逸出的现象。特点：入射光频率高于临界频率0；光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关经典理论：无法解释频率0时，长时间、高光强照射无电子逸出。,光量子论：光子（0）与电子碰撞，电子获得能量，当能量大于脱出功W0时，有电子逸出。,脱出功,W0称为逸出功。只与金属材料性质有关，与光的频率无关。,固体比热问题经典理论，无法解释低温比热德拜模型（量子理论）高温低温,Cv,T,3R,实验,经典,德拜,德拜（P.J.W.Debye，1884年3月24日一1966年11月2日）1936年获诺贝尔化学奖,原子的线状光谱与稳定性问题,电子在原子核外做加运动，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而丧失能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定的存在着。,稳定性问题：,原子的线状光谱及其规律,研究表明，每一种原子都有它特有的一系列光谱,氢原子线状光谱（频率是分离的，不是连续）,n=1,n=2,n=3,n=4,波尔原子模型,玻尔原子理论的原子图像：电子在一些特定的可能轨道上绕核作圆周运动，离核愈远能量愈高；电子在这些可能的轨道上运动时原子不发射也不吸收能量，只有当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时原子才发射或吸收能量，辐射的频率和能量之间关系E=h。,玻尔理论成功地解释了原子的稳定性和氢原子光谱线规律。,1.1.4光的波粒二象性光具有波动性与粒子性，并且有以下关系存在,作为“波”具有波长和频率作为“粒子”具有能量E和动量p,1.2量子力学的建立1.2.1微观粒子的波粒二象性,1、德布罗意假设：实物粒子也有波粒二象性，并存在关系2、德布罗意波（物质波）：实物粒子联系着的波。,1.2.2德布罗意波的实验证实电子衍射实验,电子束,Ni,1、实验结果Ni单晶格间距d=2.15测出=50最强衍射公式取n=1=1.652、德布罗意假设计算（理论）结论：电子具有波动性，德布罗意假设正确。,例：计算一个乒乓球和一个电子的德布罗意波长。电子加速电压10V，乒乓球m=10克，v=5m/s。解：电子,乒乓球德布罗意波长很短，波动性不明显；而原子中的电子德布罗意波长与运动范围（原子大小1）同数量级，波动性明显。,3、实物粒子的波动性与光有相似之处。一般在宏观条件下实物粒子波长很短波动性是不会表现出来经典力学处理实物粒子的波长与粒子运动范围数量级相近波动性十分明显（量子效应显著）不遵从经典规律必须用量子力学处理,1.3波函数及其统计解释,1.3.1量子力学的状态,1、波函数（r,t):描述量子力学的状态。,利用德布罗意关系，得,电子科大微固学院李竞春,例：沿x方向传播的平面波（设初相为0）,把自由粒子的波函数改写成复函数形式,2、波函数的形式标量复函数,例如：电子的衍射实验底版上x点衍射花样强度x点感光点数x点ds内出现的电子数电子出现在x点ds内的几率,1.3.2波函数的统计解释,波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。,电子在x处出现几率P,1.3.3波函数的性质1、波函数（r,t)描述量子力学中微观粒子体系的状态；体系在空间某一点处内出现的几率与成正比。,2、在非相对论下，波函数在全空间几率和为1考虑波函数常数不确定性，如果,归一化后的波函数,3、相对几率分布（常数不确定性）波的强度代表粒子出现的几率，由于几率是相对量，粒子出现几率由各点相对强度决定。所以（r,t)与c（r,t)描述同一状态。,4、相角不确定性：,5、波函数及绝对值的平方单值、连续、有限、平方可积。,电子科大微固学院李竞春,例：若某一维运动的粒子状态波函数为,式中E(能量）和a为常数，A为归一化常数。求：（1）归一化波函数；（2）几率分布函数；（3）在什么地方找到粒子的几率最大。,解：（1）根据归一化条件可得,归一化波函数为,电子科大微固学院李竞春,（2）几率分布函数为,（3）根据数学中利用微分求极值的法则,1.3.4叠加原理,波函数1和2是体系的可能状态，则其线性叠加=c11+c22在同一条件也是体系可能状态。,1,2,=c11+c22（量子）,电子束,（经典）,S1,S2,电子的状态电子出现的几率通过S11通过S22通过双缝后c11+c22,电子有一定几率处于1、2和c11+c22三个状态。,几率波的叠加是波函数的叠加，不是几率的叠加！,光子的偏振态的叠加,偏振方向/晶轴光束全部通过,偏振方向|晶轴光束全部被吸收,偏振方向与晶轴夹角部分通过，部分被吸收,1.4薛定谔方程定态薛定谔方程,1.4.1薛定谔方程的建立自由粒子的波函数,对求t的偏导对x、y、z求偏导,存在对应关系,由把对应关系代入上式，两边同乘整理得薛定谔方程哈米顿算符（Hamiltonian)量子力学假设之三：系统状态随时间的变化由薛定谔方程描述，即,1.4.3定态薛定谔方程,波函数改写为代入薛定谔方程：,如果哈米顿算符中V不含时间,得到两个方程：关于时间关于空间解（1）式得改写（2）式,薛定谔方程的解,定态：粒子处于该状态时，能量E是常数与r、t无关。定态由波函数描述。,定态薛定谔方程,1.4.2几率密度与几率流密度1、几率密度：某时刻，处内粒子出现的几率。2、几率流密度：单位时间内通过封闭曲面S流入的几率,电子科大微固学院李竞春,例1.4.1自由电子的波函数为求：（1）几率流密度；（2）电荷密度与电流密度。解：（1）几率流密度为,j0,表示流向x正方向。,电子科大微固学院李竞春,（2）电荷密度=粒子密度(粒子数/体积）*电子电量电流密度=几率流密度*电子电量,电子科大微固学院李竞春,束缚态：当粒子被局限在一个有限的区域运动时，无限远处的波函数必然为零。这种状态称为束缚态。束缚态一般特征是能量取分立值。,简并：粒子具有相同的能量，但波函数不同，即状态不同。处于同一能级上粒子波函数数目，叫简并度。,1.5势阱中的粒子,一、一维无限深势阱,0,a,x,势函数势阱外：粒子出现几率为0，势阱内：粒子的一维定态薛定谔方程,通解为边界条件,可得,讨论：1、能量的讨论：能量不连续能量间隔能量间隔不等，能量越高，间隔越大当，n很大时，能级近似连续。(趋于经典极限）基态能量不为零,E1,E2,E3,E4,2、波函数的讨论：,0,a,0,a,波函数有驻波形式.n越大，德布罗意波长越短。在阱内各点上，粒子出现的几率不同，节点处，几率为0。,E1,E2,E3,能量为E1的粒子，在x=a/2处出现几率最大；能量为E2的粒子，在x=a/4、x=3a/4处出现几率最大；,1.5.3、三维无限深势阱,x,y,z,阱内粒子的三维定态薛定谔方程：,可解得：,总波函数：,总能量：,如果a=b=c,立方势阱,(1,1,1)(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1),简并：粒子具有相同的能量，但波函数不同，即状态不同。处于同一能级上粒子波函数数目，叫简并度。,(n1,n2,n3),能量,波函数,(n1,n2,n3),能量,简并度,3E1,6E1,9E1,11E1,12E1,14E1,(111),(211)(121)(122),(221)(212)(122),(311)(131)(113),(222),(321)(231)(132)(213)(312),1,3,3,3,1,6,1.5.2一维有限深势阱能量为E（0EV0）的粒子在势阱中运动,V0,-a,a,定态薛定谔方程：在、区在区,通解：,考虑波函数有限性：x-时，有限，要求x时，有限，要求A=0得：,V0,x,通解：,V（x）对称势阱，方程解必为奇函数或偶函数得：奇函数解,V0,x,偶函数解,-a,a,有限深势阱中的粒子（EV0)有几率出现在势阱外，在经典理论中是完全不可能的,是波粒二象性决定。,求能量允许值,波函数及其一阶导数在处的连续性条件,奇函数解和偶函数解分别代入上式，得,代入k1值可得到:,可通过超越方程求k2。k2只能取分立值，有限深势阱中束缚态粒子能量分立值。,（奇函数解）,（偶函数解）,能量满足的条件,例：粒子(0EV0时、区：区：,V0,X,V（x),EV0,V0,X,V（x),三个薛定谔方程的解：,0,a,把时的R、T关系式中的k2换为,令：,即,讨论：,V0=0（无势垒），k1=k2T=1完全透射V00，k1k2T1R0粒子有几率被反射透射系数T与势垒宽度a等的关系经典力学看EV0情况下，粒子不可能穿越势垒，会被完全反弹回去。而通过量子力学计算，透射系数不为0，部分粒子有几率穿过势垒，这一现象是由于粒子的波动性引起。,对EV0时透射系数