十二、平面向量 (2)

第十二课平面向量,学考复习必修4,湖南省长沙县实验中学高二数学备课组,考点点击,向量可以用有向线段表示。向量的，也就是向量的长度（或称模），记作。,从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，明确向量与数量的区别：和是向量的两个要素，它带有方向，具有几何意义，向量不能比较大小。,1平面向量的实际背景及基本概念,大小,方向,大小,要点扫描,理解向量的基本概念：向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量)、相等向量等。结合图形区分平行向量、相等向量、共线向量等概念：平行向量即共线向量，两向量共线不一定相等，而两向量相等则一定共线，另外，还要注意向量“共线”与线段“共线”的区别：共线向量不考虑起点。,给出下列命题：,案例剖析,向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；若a=b，b=c，则a=c；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若|a|=|b|，则a=b。若a与b共线,b与c共线,则a与c共线其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个,B,（3）实数与向量积：a表示与a的向量，且a的方向由决定。向量b与非零向量a共线等价于有且仅有一个实数，使。,（2）相反向量的概念；向量的减法：会用法则作两个向量的减向量；向量的减法运算可以转化成向量的加法运算。,2平面向量的线性运算,（1）平面向量的加法：会用法则作两个向量的和向量；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的和，并会用它们进行向量计算。,三角形法则或平行四边形,交换律,结合律,三角形,共线,的符号,b=a,要点扫描,3平面向量的基本定理及坐标表示,（1）平面向量的基本定理：,如果，是同一平面内的，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使。,a=1+2,.,两个不共线向量,要点扫描,（2）平面向量的坐标运算：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标：若A（x1，y1），B（x2，y2)，则=-=。,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：则,(x2，y2)(x1，y)=(x2x1，y2y1),实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：,要点扫描,3平面向量的基本定理及坐标表示,C,（3）向量共线的两种判定方法：,ab(设a=（x1，y1）,b=（x2，y2),且),要点扫描,3平面向量的基本定理及坐标表示,4平面向量的数量积,（1）平面向量数量积的定义：,已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量叫a与的数量积，记作ab，即有ab=，（）。并规定0与任何向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定。,|a|b|cos,cos,|a|b|cos,要点扫描,（2）向量的数量积的几何意义：,数量积ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。,|b|cos,3当a与b同向时，ab=；当a与b反向时，ab=。特别地aa=或。,（3）两个向量的数量积的性质：,设a、b为两个非零向量，e是单位向量；,4cos=,5|ab|a|b|。,1ea=ae=；,2ab；,|a|b|cos,ab=0,|a|2,|a|b|,|a|b|,要点扫描,4平面向量的数量积,5.平面向量的应用,（1）能用平面向量知识处理平面几何或物理中的一些简单问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。（2）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。,要点扫描,典例精析,典例精析,典例精析,例5.已知向量a=3e1-2e2，b=4e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)，求：（1）ab，|a+b|；（2）a与b的夹角的余弦值。,典例精析,例4已知ABC的顶点为A（