第2章 模煳集合

2020/5/6,1,第2章模糊集合,2.1经典集合2.2模糊集合2.3模糊集合的运算2.4隶属函数2.5分解定理与扩张定理2.6模糊数,2020/5/6,2,2.1经典集合,集合、元素与论域集合理论是现代数学的基础。通常把具有一定范围的并有同一属性的确定对象所组成的全体称为集合。任何一个概念总有它的内涵和外延。概念的内涵是这一概念的本质属性，概念的外延是指符合这一概念的对象的范围。把组成集合的每个对象叫做该集合的元素，用小写字母a,b,表示，而用大写字母A,B,表示集合。讨论的对象的全体叫做论域，常用U,V,X,表示。,2020/5/6,3,2.1经典集合,例从论域U中任意指定一个元素u及U上的集合A。如果u是集合A的一个元素，则说“元素u属于集合A”，记为uA。如果u不是集合A的一个元素，则说“元素u不属于集合，记为uA。在普通集合中，元素u与集合A的关系是:要么u属于A，要么u不属于A，二者必居其一。,2020/5/6,4,2.1经典集合,集合的表示方法,2020/5/6,5,子集与幂集,2.1经典集合,2020/5/6,6,2.1经典集合,集合的运算,2020/5/6,7,2.1经典集合,2020/5/6,8,2.2模糊集合,定义：给定论域为X的一个模糊集合，是指对于任意的，都确定了一个数它表示x对的隶属程度。映射：叫做的隶属函数，简称隶属度。,2020/5/6,9,2.2模糊集合,1,13,精确集合,模糊集合,1,13,6,模糊集合中的隶属函数，是经典集合中的特征函数的扩展和一般化。,2020/5/6,10,2.2模糊集合,经典集合：具有某种特性的所有元素的总和。模糊集合：在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。,2020/5/6,11,2.2模糊集合,模糊集合举例-离散mA=0.1/x1+0.4/x2+0.8/x3+1.0/x4+0.8/x5+0.4/x6+0.1/x7,2020/5/6,12,2.2模糊集合,模糊集合举例-连续,2020/5/6,13,2.2模糊集合,模糊集合的表示方法模糊集合是完全由它的隶属函数刻画的。基本概念：台：在论域U中，的元素叫做的台。用台表示模糊集合时，可以不考虑那些不属于模糊集合的元素。表示方法可以大为简化。单点集：在论域U中，模糊集合的台只有一个元素，则称是一个单点集。,2020/5/6,14,2.2模糊集合,模糊集合的表示方法向量表示法论域U中只含有有限个元素当论域U中的元素是有序时，可以用元素的隶属度的排列来表示模糊集合。序偶表示法把隶属度和对应元素组成一个序偶隶属度在前，元素在后,2020/5/6,15,2.2模糊集合,模糊集合的表示方法Zadeh法（单点表示法）,并非求和和积分符号。,2020/5/6,16,2.2模糊集合,举例：X=上海北京天津西安为城市的集合。模糊集合C=“对城市的爱好”可以表示为：C=(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6)又：X=0123456为一个家庭可拥有自行车数目的集合模糊集合C=“合适的可拥有的自行车数目”C=(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)或C=0.1,0.3,0.7,1.0,0.7,0.3,0.1,C=0.8/上海+0.9/北京+0.7/天津+0.6/西安,C=0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6,2020/5/6,17,2.3模糊集合的运算,设，均是X上的模糊集，定义，(或)，分别具有隶属函数：分别成为模糊集合与的并集、交集和补集。,2020/5/6,18,2.3模糊集合的运算,2020/5/6,19,2.3模糊集合的运算,模糊集合的并、交与补,2020/5/6,20,2.3模糊集合的运算,取大运算max可用（析取）符号表示，即：取小运算min可用（合取）符号表示，即：,2020/5/6,21,2.3模糊集合的运算,扎德(Zadeh)表示法：,2020/5/6,22,2.3模糊集合的运算,例则,2020/5/6,23,2.3模糊集合的运算,模糊集合的并、交运算可以推广到多个模糊集的情形。具有指标集T的模糊集合族的并集的隶属函数为具有指标集T的模糊集合族的并集的隶属函数为,2020/5/6,24,2.3模糊集合的运算,模糊集合运算的性质幂等律交换率结合律,2020/5/6,25,2.3模糊集合的运算,模糊集合运算的性质分配律吸收律,2020/5/6,26,2.3模糊集合的运算,模糊集合运算的性质两极律复原律摩根律,2020/5/6,27,2.3模糊集合的运算,设分配律的一般形式,2020/5/6,28,2.3模糊集合的运算,设摩根律的一般形式,2020/5/6,29,2.3模糊集合的运算,模糊集合的相等，记作模糊集合的包含，记作或显然,2020/5/6,30,2.3模糊集合的运算,模糊集合的包含,2020/5/6,31,2.4隶属函数,隶属函数用于描述模糊集合，并在0，1闭区间可以连续取值的特征函数。用表示，x是的元素。模糊数学中最重要、也是最基本的概念。表示元素对模糊集合的归属程度。构造模糊集的关键：确定合适的论域和指定适当的隶属函数。,2020/5/6,32,2.4隶属函数,隶属函数的确定方法直觉：人类用自己的智慧和知识来建立模糊函数。模糊统计(重点)其它方法：推理排序角模糊集神经网络遗传算子,2020/5/6,33,2.4隶属函数,例：直接法,2020/5/6,34,2.4隶属函数,随机统计(复习)对肯定性事件的发生频率进行统计统计结果称为概率对于随机统计实验，给出一个确定的事件A，考虑事件在n次实验中发生的次数。事件A发生的概率：当n取值足够大时，概率则收敛于一个稳定的值。,2020/5/6,35,2.4隶属函数,模糊统计对模糊性事物的可能性程度进行统计统计的结果为隶属度对于模糊统计实验，在论域U中给出一个元素x，考虑n个有模糊集合属性的普通集合，以及元素x对的归属次数。元素x对的隶属函数：当n取值足够大时，概率则收敛于一个稳定的值。,2020/5/6,36,2.4隶属函数,例：模糊统计求隶属函数给出20个人的高度。以cm表示时，这些人的高度分别是：1.501.551.561.601.611.641.651.691.701.711.731.751.771.781.801.841.901.911.941.98考虑“中等身材”的集合以及1.64属于的隶属度。,2020/5/6,37,2.4隶属函数,例：模糊统计求隶属函数为求“中等身材”的集合，必须求其隶属函数。把“中等身材”看作一个普通集合。由20个人自动确定的元素分别是：1.601.691.631.701.651.751.561.701.631.731.651.721.641.731.601.691.691.751.691.781.601.711.631.731.651.781.611.721.641.721.671.781.601.701.681.781.611.731.621.72很明显，最大元素是1.78，最小元素是1.56。,2020/5/6,38,2.4隶属函数,在20个人的高度中，对应于的最大元素与最小元素之间的高度有12个，它们的隶属度分别可以求出如下：,2020/5/6,39,2.4隶属函数,例：模糊统计求隶属函数对于“中等身材”集合，用单点集表示时则可得如下：从的单点表示中，可知：即：1.64cm身高的人隶属于“中等身材”这个模糊集合的程度是0.65。,2020/5/6,40,2.4隶属函数,常见的隶属函数三角形隶属函数,参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。,2020/5/6,41,2.4隶属函数,常见的隶属函数梯形隶属函数,参数a,b,c,d确定了梯形四个角的x坐标。当b=c时，梯形就退化为三角形。,2020/5/6,42,2.4隶属函数,常见的隶属函数高斯形隶属函数,高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。,2020/5/6,43,2.4隶属函数,常见的隶属函数一般钟形隶属函数,参数完全由a，b，c决定。b通常为正；如果b0,钟形将倒置。,2020/5/6,44,2.4隶属函数,2020/5/6,45,2.5分解定理与扩张定理,分解定理模糊数学中重要的基本定理。把模糊集合的问题转化成普通集合问题。扩张定理模糊数学中重要的基本定理把普通集合问题扩展到模糊集合中。几个重要概念模糊集合的截集模糊集合的核模糊集合的边界,2020/5/6,46,2.5分解定理与扩张定理,模糊集合的截集-定义：对于给定的模糊集合，在0，1区间取任意实数，即0，1，则称普通集合：为的截集，亦称水平截集，叫置信水平。记：为的强截集，亦称开截集,2020/5/6,47,2.5分解定理与扩张定理,模糊集合的核-定义：对于给定的模糊集合，在=1时所得的截集称为模糊集的核，用表示：模糊集合的支集-定义：对于给定的模糊集合，隶属函数的所有元素x的集合称为的支集，用表示：,2020/5/6,48,2.5分解定理与扩张定理,模糊集合的截集从本质上讲，对模糊集合取截集就是把隶属函数以下式转化成特征函数：显然，、都是X上的普通集合。正规模糊集：非正规模糊集：,2020/5/6,49,2.5分解定理与扩张定理,交叉点：,2020/5/6,50,2.5分解定理与扩张定理,例,2020/5/6,51,2.5分解定理与扩张定理,模糊集合的数乘设0，1，由构造一个新的模糊集，记为，称为与的数乘，其隶属函数为：数乘的性质,2020/5/6,52,2.5分解定理与扩张定理,例,2020/5/6,53,2.5分解定理与扩张定理,分解定理设，则证明,注意,2020/5/6,54,2.5分解定理与扩张定理,分解定理的直观意义,2020/5/6,55,2.5分解定理与扩张定理,例,2020/5/6,56,2.5分解定理与扩张定理,例,2020/5/6,57,2.5分解定理与扩张定理,经典的扩张定理设X，Y是经典集合，给定X到Y的映射那么f可以诱导出两个映射：一个是S(X)到S(Y)的映射，记为f一个是S(Y)到S(X)的映射，即为f-1,两个约定：给定论域X，S(X)表示X上所用经典集合；F(X)表示X上所有模糊集合。,2020/5/6,58,2.5分解定理与扩张定理,经典的扩张定理经典扩张定理把两个论域中元素间的对应关系扩张到经典集合之间的对应关系。f(A)实际上就是在映射下像的集合。f-1(B)则是映射下所有属于B的像的原像的集合。,2020/5/6,59,2.5分解定理与扩张定理,扩张定理设X，Y是经典集合，给定X到Y的映射可以诱导一个F(X)到F(Y)的映射：一个F(Y)到F(X)的映射：,2020/5/6,60,2.5分解定理与扩张定理,扩张定理隶属函数定义为,2020/5/6,61,2.5分解定理与扩张定理,例,2020/5/6,62,2.5分解定理与扩张定理,解：,2020/5/6,63,2.5分解定理与扩张定理,2020/5/6,64,2.5分解定理与扩张定理,多元扩张定理(Zadeh扩张原理)若输入论域X由许多论域的笛卡尔积(或直积)构成，那么定义在其幂集上的映射f变为：设分别为定义在论域上的模糊集，则映射后所产生的像：的隶属函数为：,2020/5/6,65,2.6模糊数,基本概念：模糊集合的凸性模糊集合的凸性：一个模糊集合是凸的，当且仅当满足：普通函数凸的定义：普通凸的定义比模糊凸严格。,2020/5/6,66,2.6模糊数,基本概念：模糊集合的凸性,不符合凸函数条件,凸模糊集的描述：随着论域中元素值的增加，隶属函数的隶属值也随之严格单调增加，或严格单调减少，或先严格单调增加后严格单调减少。,2020/5/6,67,2.6模糊数,模糊数的定义实数集R上的模糊集合称为R上的模糊数，表示为：且是正规的凸模糊集。模糊数是一类特殊的模糊集，它是凸的，它的核不为空。,2020/5/6,68,2.6模糊数,闭模糊数引：闭模糊集若是X上的闭子集。定义：若是正规的闭凸模糊集，则称是闭模糊数。正模糊数若，则称为正模糊数。负模糊数若，则称为负模糊数。有界模糊数若是模糊数，有界。,2020/5/6,69,2.6模糊数,模糊数的运算设和分别为实论域X和Y中实轴上的两个模糊数。用符号表示普通的算术运算，即：两个模糊数的算术运算，记为，定义在Z域上，利用扩张定理，其隶属函数为：性质：设和为两个连续的模糊数，是连续递增的二元运算，则也是连续的模糊数。例如：加法和乘法。,2020/5/6,70,2.6模糊数,例设用公式可求得：,其中：,2020/5/6,71,2.6模糊数,例,2020/5/6,72,作业,2-1模糊集合是怎样定义的？模糊集合与经典集合的区别是什么？2-2以年龄为论域，并取U=0，150，有约35岁的人的模糊集合：当年龄分别取15，20，25，30，35，40，45，50，55时，试用模糊集合的三种表示方法表示此模