02导数概念 吴宗其 高等数学教学课件

一、导数的定义,3.2导数概念,二、导数的几何意义,三、左右导数,四、可导与连续的关系,上面两个实际例题的具体含义很不相同.但从抽象的数量关系来看,实质是一样的,都归结为计算函数改变量与自变量改变量的比当自变量改变量趋于0时的极限.这种特殊的极限叫作函数的导数.,瞬时速度:,切线斜率:,一、导数的定义,一、导数的定义,定义31(导数),设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义如果极限,存在则称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数可记为,导数定义式的其他形式,可导性如果函数f(x)在点x0处有导数则称函数f(x)在点x0处可导否则称函数f(x)在点x0处不可导如果函数f(x)在某区间(a,b)内每一点处都可导则称f(x)在区间(a,b)内可导,导函数设f(x)在区间(a,b)内可导此时对于区间(a,b)内每一点x都有一个导数值与它对应这就定义了一个新的函数称为函数yf(x)在区间(a,b)内对x的导函数简称为导数记作,导函数的定义式,解,例1求函数yx2在点x2处的导数和它的导函数,当x由2改变到2x时函数改变量为,y(2x)222,4x(x)2,当x由x改变到xx时函数改变量为,y(xx)2x2,2xx(x)2,2x+x,x,(2x+x),=2x.,由导数定义可将求导数方法概括为以下几个步骤:求对应与自变量的改变量x的函数改变量y=f(x+x)f(x)作比值求极限,解,解,(1)ya(xx)b(axb),例2求线性函数yaxb的导数,ax,解,解,解,例5给定函数f(x)x3求f(x)f(0)f(1)f(x0),(1)y(xx)3x3,3x2x3x(x)2(x)3,解,连续性与可导性,因为,所以f(x)在点x0处连续,因为极限,不存在,所以f(x)在点x0处不可导,二、导数的几何意义,函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率由导数的几何意义及直线的点斜式方程可知曲线yf(x)上点(x0,y0)处的切线方程为yy0f(x0)(xx0),解,所求切线方程为,即xy20,y1(x1),二、导数的几何意义,函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率由导数的几何意义及直线的点斜式方程可知曲线yf(x)上点(x0,y0)处的切线方程为yy0f(x0)(xx0),法线方程为,法线方程为,即yx,y1x1,和法线方程.,三、左右导数,定义32(左右导数),设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义,三、左右导数,定义32(左右导数),当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时函数在该点才是可导的,可导与左右导数的关系,函数在闭区间上的可导性,函数f(x)在a,b上可导指f(x)在开区间(a,b)内处处可导且存在f(b)及f(a),四、可导与连续的关系,定理31(可导与连续的关系)如果函数yf(x)在点x0处可导则它在点x0处一定连续,这是因为如果函数f(x)在x0可导则,这个定理的逆定理不成立即函数yf(x)在点x0处连续但在点x0处不一定可导请记住可导一定连续但连续不一定可导,应注意的问题,解,因为,从而函数y|x|在x0处连续,因为,所以函数y|x|在x0处不可导,解,的连续性与可导性,(1)连续性,所以f(x)在点x0处不连续,从而在点x0处也不可导,因为,因为f(0)1而,解,的连续性与可导性,因为,所以在