南京邮电大学《信号与系统》信号与系统

南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心2006.1,SIGNALSANDSYSTEMS,信号与系统,第三章连续信号与系统的频域分析,第三章连续信号与系统的频域分析,连续信号与系统的频域分析概述3.1周期信号分解为傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的频谱3.5一些常见信号的频域分析3.6傅里叶变换的性质及其应用3.7相关函数与谱密度3.8连续系统的频域分析3.9信号的无失真传输和理想滤波器3.11取样定理本章要点作业,返回,连续信号与系统的频域分析概述,实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号之和这一认识来源于对波形的观察，物理意义明确。正弦信号是最常见、最基本的信号。正弦信号便于产生、传输和处理。线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应仍是同一频率的正弦信号。三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。傅里叶变换揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解傅里叶变换的性质。频谱分析直观、方便地从另一个角度来认识信号。频域分析法求解系统在任意信号激励下的零状态响应。其它频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等,3.1周期信号分解为傅里叶级数,周期信号的表达式T为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。，为该信号的角频率。,周期分别为T1,T2的两个周期信号相加，当T1,T2之间存在最小公倍数T时，所得到的信号仍然为周期信号，其周期为T。即T=n1T1=n2T2，其中n1和n2为整数，或者说n2/n1为有理数。,例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号，试计算其周期。,3.1.1三角型傅里叶级数,以为周期的周期信号，若满足狄里赫勒条件：,(1)在一个周期内只有有限个不连续点；,(2)在一个周期内只有有限个极大值、极小值；,(3)在一个周期内绝对可积，即,则可以展开为三角型傅里叶级数,其中,所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式,其中,信号波形的对称性与傅氏系数的关系,1.偶函数：，则只含有常数项和余弦项。,奇函数在对称区间内积分为零。,偶函数在对称区间内积分为半区间积分的两倍。,2.奇函数：，则只含正弦项。,3.偶谐函数：，则只含偶次谐波。,周期本来就是T/2。,4.奇谐函数：，则只含奇次谐波。,3.1.2指数型傅里叶级数,由欧拉公式,代入三角形傅氏级数，有,式中,而是实数。,是一对关于变量的共轭复数，,这就是指数型傅里叶级数，其系数,一般情况下，是关于变量的复函数，称为指数型傅里叶级数的复系数，可写成,注意：,1.为直流分量，一般情况下要单独计算。,2.负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。,3.当是实周期信号时，和互为共轭复数，有,即傅里叶复系数的模和实部是的偶函数；的相角和虚部是的奇函数。,4.当是实偶函数时，则是实偶函数；当是实奇函数时，则是虚奇函数。（利用的计算公式可以证明）,指数型和三角型傅里叶级数系数之间的关系,物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐波分量之和。,注意：指数型和三角型傅里叶级数中，n的取值范围不同。,例：试将图示周期矩形脉冲信号展开为(1)三角型和(2)指数型傅里叶级数。,(2)指数型傅立叶级数,称为抽样函数或取样函数,抽样函数,1.偶函数,3.3周期信号的频谱,返回,说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数或反映了不同谐波分量的幅度，或反映了不同谐波分量的相位。,频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。,3.3.1周期信号的单边频谱和双边频谱,2.各（非零）分量的数目不同。,3.幅度（）不同，相位（）不同。,不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于：1.由于不同，所以基波频率不同，谐波频率也不同。,例如某周期信号的傅里叶级数为,单边频谱：,双边幅度频谱,双边相位频谱,单边幅度频谱,单边相位频谱,双边频谱：,画频谱图时注意：,2.三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；,5.谱线只在基波的整数倍处出现。（思考：为什么？）,例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。,解:(1)单边频谱,单边幅度频谱：,单边相位频谱：,双边幅度频谱：,双边相位频谱：,(2)双边频谱,例：已知某周期信号的单边频谱如图所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。,解:,双边幅度频谱,双边相位频谱,双边频谱:,周期信号频谱的特点,下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。,1.频谱特点:(1)离散性(2)谐波性(3)幅度收敛性,和与频谱的关系:,3.3.2周期信号的功率谱,周期信号的平均功率,称为帕什瓦尔定理或功率等式表明周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。,例：图示周期矩形脉冲，试画出其频谱和功率谱，并求出其在有效频带宽度内的分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。,解:,频谱,功率谱,在时域中求得信号的功率为,在有效频带宽度内的分量所具有的平均功率为,3.4非周期信号的频谱,周期信号,非周期信号,3.4.1从傅里叶级数到傅里叶变换,3.4.2频谱函数的物理意义及其自身特性,3.4.3傅里叶变换的存在性,狄里赫勒条件修改为,(1)在只有有限个不连续点；,(2)在只有有限个极大值、极小值；,(3)在绝对可积，即,这只是充分条件而非必要条件，如果引入广义函数后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也可能存在傅氏变换。,3.5一些常见信号的频域分析,1.矩形脉冲,2.三角形脉冲,3.单边实指数脉冲,（图形见P95图3-5-3）,4.双边实指数脉冲,（图形见P95图3-5-4）,5.符号函数,（图形见P96图3-5-5）,6.单位冲激函数,7.直流信号,（白噪声）,8.虚指数信号,周期信号的傅里叶变换,9.单位阶跃信号,（图形见P100图3-5-12）,10.高斯脉冲(钟形脉冲),（图形见P101图3-5-13）,可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，若,3.6傅里叶变换的性质及其应用,对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到另一个域中进行。另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号的傅里叶正、反变换。,1.线性,例,2.对称性,利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换或傅里叶反变换。,傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中的重要概念。,例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。,例3-6-2试求取样函数的频谱函数。,解：,3.比例性（尺度变换）,4.时移性,既有时移又有尺度变换,5.频移性（调制定理）,调制定理,频分多路复用,P108例3-6-2,6.卷积定理,(1)时域卷积定理,例,(2)频域卷积定理,7.时域微分和积分,(1)时域微分性质,(2)时域积分性质,(3)利用时域微、积分性质计算傅里叶变换,例如，求符号函数的频谱：,例3-6-6求图示信号的频谱。,例3-6-7求图示信号的频谱。,8.频域微分和积分,(1)频域微分性质,(2)频域积分性质,例3-6-8试证明下列傅里叶变换对成立：,例3-6-9试证明下列傅里叶变换对成立：,傅里叶变换性质的应用,例求图示信号的频谱。,例求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。,同理可得,例已知信号的频谱如图所示，试写出其时域表达式。,解：(1)利用对称性求解,(2)利用调制定理求解,(3)利用频域卷积定理求解,例,例,3.7相关函数与谱密度,3.7.1能量谱密度,由,当为实函数时，有，得,称为帕什瓦尔等式，或能量等式,显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。,如,例如单边指数信号,利用帕什瓦尔等式可以帮助我们计算一些积分：,在时域中计算其能量：,在频域中计算其能量：,作为能量谱密度的一个应用，下面介绍信号的脉冲宽度和频带宽度的一般概念。,但是对于一般的信号来说，例如高斯脉冲，它在时域和频域中都没有零交点，这时其有效脉冲宽度和有效频带宽度可以从能量的角度来定义。,有效脉冲宽度定义为：在时域中绝大部分能量所集中的那段时间，可以表示为,（一般取）,有效频带宽度定义为：在频域中绝大部分能量所集中的那段频带，即,无论采用什么定义，有效脉冲宽度（脉宽）和有效频带宽度（带宽）的乘积都是一个常数，即两者成反比。因此，要同时具有较窄的脉宽和带宽，就必须选用两者乘积较小的脉冲信号。,3.8连续系统的频域分析,3.8.1傅里叶变换分析法,频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零状态响应随频率变化的规律（频率响应特性）。频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换在频域中求解系统的零状态响应的方法。,由线性时不变系统的数学模型,两边取傅氏变换，并利用时域微分性质，得,傅里叶变换分析法的步骤：,(1)求取激励的傅里叶变换变换；,(2)确定系统的系统函数；,(3)计算响应的傅里叶变换；,(4)取的反变换，得。,3.8.2系统特性的频域表征,系统函数描述了系统在零状态条件下，响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之间的关系，表征了系统自身的特性，与激励无关。,1.系统函数的物理意义,(1)系统函数是冲激响应的傅里叶变换,(2)当激励为无时限的虚指数信号时，,说明无时限的虚指数信号作用于系统时，其零状态响应（此时也是全响应）仍为同频率的虚指数信号，是激励乘以一个与时间t无关的复函数，结果是将激励信号在幅度上放大倍，相位上附加一个的相位移后输出。,(3)当激励为一般信号时，,时域分析与频域分析的关系,2.系统函数的求解方法,(1)从微分方程直接求解(方程两边取傅里叶变换),(2)对系统的冲激响应取傅里叶变换,(3)设激励为,求系统的零状态响应,(4)由零状态电路的频域模型模型求解,解：(1)对微分方程观察，可直接求得,(2)由第二章的方法，先求得冲激响应为,对冲激响应取傅里叶变换，得,实际上，很多情况下是反向运作，用来求的。,例3-8-2：求图示电路的系统函数。,解：零状态频域电路模型如图，类似于相量分析法，可得,当