地球椭球与椭球计算理论

第七章地球椭球与椭球计算理论,本章提要7.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系7.3几种主要的椭球公式7.4椭球面上的弧长计算7.5大地线7.6将地面观测值归算至椭球面7.7将地面观测的长度归算到椭球面7.8椭球面上三角形的解算7.9大地主题解算的高斯平均引数公式习题,本章提要,本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地学习大地测量的内业数据处理等相关知识。,1地球椭球的定义及其几何意义；2常用测量坐标系统的建立及其在大地测量中的应用；3各种测量坐标系统之间的相互转换；4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。,知识点及学习要求,难点在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算。,7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系,1.地球椭球的基本几何参数,椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：,(椭圆的第一偏心率：,椭圆的第二偏心率：,五个基本几何参数,a、b称为长度元素,扁率反映了椭球体的扁平程度,e和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁,我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。,由前面式子得：,并得：,推得：,同理可得：,2.地球椭球参数间的相互关系,7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系,1.常用的几种坐标系,天文坐标系大地坐标系空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）子午平面直角坐标系大地极坐标系,(1)天文坐标系在图中，O为地球质心，OP为地球自转轴，P点假定为北极点，K点为大地水准面上任意一点，KK为K点的垂线方向。包含K点垂线方向并与地球自转轴OP平行的平面称为K点的天文子午面。G点为英国格林尼治平均天文台(某一特殊定义的点)。过G点包含OP的平面称为起始天文子午面。过地球质心并与OP正交的平面称为地球赤道面。子午面、赤道面与大地水准面的交线分别称为子午线和赤道。,K点的垂线方向与赤道面交角称为K点的天文纬度，K点的天文子午面与起始子午面的夹角称为K点的天文经度，、定义为K点的天文坐标，这样建立的坐标系称为天文坐标系，它是可以通过天文观测直接测定点位坐标的一种“自然”坐标系。天文坐标给定一点的垂线方向，因此它不仅包含点位信息，而且包含重力场信息。天文坐标系在研究大地水准面形状中起着重要的作用。,(2)大地坐标系,P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示,(3)地心纬度坐标系在图中，椭球面上任意一点K，其与椭球中心O以一直线连结,该直线与椭球赤道面的夹角叫做地心纬度。该点的大地经度L与地心纬度构成地心纬度坐标系。,(4)地心空间直角坐标系地心空间直角坐标系是在大地体内建立的坐标系O-XYZ，它的原点与地球质心重合，坐标轴系的配置方法如图所示。Z轴与地球自转轴重合，X轴与地球赤道面和起始子午面的交线重合，Y轴与XZ平面正交，指向东方，X、Y、Z构成右手坐标系，一点K的地心空间直角坐标用(z、y、z)表示。地心坐标系是唯一的，因此这一坐标系确定地面点的“绝对坐标”，它在卫星大地测量中获得广泛应用。,(5)参心空间直角坐标系,以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示。,(6)子午面直角坐标系,设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示,(7)大地极坐标系,M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,1、相对于参考椭球的大地坐标系定义,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,1、相对于参考椭球的大地坐标系定义,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,地面点大地经度：L，0o360o或0o180o地面点大地维度：B，0o90o地面点大地高：H，可正可负。,大地坐标（B，L，H）,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,2、相对于参考椭球的大地空间直角坐标系定义,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,原点：OZ轴：与椭球短轴重合，指向北极方向X轴：指向起始大地子午面与椭球赤道的交点方向Y轴：与Z、X轴构成右手坐标系,基本概念,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,2、相对于参考椭球的大地空间直角坐标系定义,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,一个参考椭球（大小+定位）可以确定一套大地坐标系和一套大地空间直角坐标系，这些坐标系之间必有一定的关系，坐标系的关系也即同一点的两套坐标之间的关系。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地测量学中，所说的地面点的大地坐标和大地空间直角坐标都隐含着一个椭球，没有椭球也就没有这些坐标。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,实用中，经常说的某个点的某一坐标系下的坐标，也意味着有一个椭球，坐标是相对该椭球的。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,地面上每点沿法线在参考椭球面上都相应有一个投影点，这两点的B、L相同，因此，如果知道了投影点的B、L，也就知道了地面点的水平坐标，这就是在椭球面上推算坐标的思想。,参考椭球,一、相对于参考椭球的大地坐标系与大地空间直角坐标系,3、几点说明,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,相对参考椭球的坐标系也称为参心坐标系、相对坐标系，相对总地球椭球的坐标系也称为地心坐标系、绝对坐标系。,参考椭球,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地子午面,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地子午面,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,大地子午面,二、子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,三、空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,1、（B，L，H）（X，Y，Z）,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,2、（X，Y，Z）（B，L，H）,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,2、（X，Y，Z）（B，L，H）,说明：1）为一小正数，如=510-10；2）J为迭代收敛时的迭代次数。,四、同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换,7.2.2大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系,参考椭球,2、（X，Y，Z）（B，L，H）,7.3椭球面上的几种曲率半径,子午圈曲率半径,卯酉圈曲率半径,任意法截弧的曲率半径,平均曲率半径,M、N、R的关系,NRM只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：,7.4椭球面上的弧长计算,1.子午线弧长计算公式,将积分因子按二项式定理展开为级数形式,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数,2.平行圈弧长公式,旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：,如果平行圈上有两点，其经差，可写出平行圈弧长公式：,3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1约为110KM，1约为1.8KM，1约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。,7.5大地线,1.相对法截线,三角测量观测所形成的法截线，如图所示，A、B为椭球面上两点，设B点的纬度高于A点的纬度，并设它们的法线Ana与Bnb与短轴交于na、nb，当由A点向B点观测时，椭球面上所得方向就是由包含A点法线，并通过B点的法截面AnaB与椭球面截出的法截弧AaB的方向。,同样，自B点向A点观测时，所得方向就是由包含B点的法线，并通过A点的法截面BnbA与椭球面截出的法截弧BbA的方向，这两个法截面的交线AB位于A、B两点间椭球面的曲面以下。我们称AaB为A点的正法截弧，或B点的反法截弧(又称逆法截弧)；称BaA为B点的正法截弧,或A点的反法截弧(逆法截弧)，我们统称这两条法截弧为A、B两点的相对法截弧。,在通常情况下，两点间相对法截弧是不重合的(除两点位于同一子午圈或同一平行圈上)，要证明相对法截弧不重合，只要证明过两点的法线和短轴的交点na、nb不重合就行了。可以证明：OnbOna。这就证明了在椭球面上不同纬度的两点法线和短轴的交点不重合，这两条法线是在空间交错的直线，不可能位于同一平面，所以其相对法截弧也就不重合。对于我们北半球而言，纬度愈高，法线与短轴交点愈靠下，即愈远离椭球中心。所以纬度高的点的正法截弧在纬度低的点的正法截弧之上。,正、反法截线彼此不重合，实质上说明两点间的对向观测不是沿着同一方向进行，这样就给三角测量结果带来问题。如图所示，我们所量测的三个水平角实际上并不是一个闭合的三角形顶角，所以就无法确定三角形，也无法进行解算。要解决这个问题，必须设法找出椭球面上两点之间唯一的一条边，这条唯一的边就是大地线。当然，由于地球椭球体的扁率很小，相对法截弧不重合，其夹角并不大，一般情况下是觉察不出来的，也不必要顾及它，但对于要求顾及千分之几秒的一等三角测量就必须考虑此项影响。,正反法截线之间的夹角，可以用下式表示：sl00km0.042600.015300.004,可见，数值很小。在有限范围的控制测量中，完全可以忽略其影响。然而在长距离的大地测量中，就给测量计算带来不便。图所示，在椭球面上的ABC中，观测角为A、B、C，由于相对法截线的不重合性，由对向观测所得的3个内角就不能组成闭合三角形。要解决这个问题，就需要在两点间另外选出一条单一的曲线，这就是大地线。,2大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微分几何中，定义为“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。,大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：,大地线和法截线的方向差异如图所示。椭球面上B、A两点既不在同一子午圈也不在同一平行圈上，2点之间的大地线居于相对法截线之间，呈为一条双曲率的曲线。大地线BLA和正法截线BEA之间的角度，等于正反法截线之间角度的三分之一。可以看出，当大地线2端点位于同一子午圈上时，方位角A等于00或1800，大地线与法截线重合，角度等于零；,当2端点位于同一平行圈上时，方位角近于900或2700，正反法截线合二为一，大地线位置比法截线稍微偏北，这时大地线和法截线在端点处相切，等于零。大地线和法截线的长度差异甚微，当长度达600km时，二者差异仅0.007mm，所以在各种测量计算中，二者的长度均可不加区分。,3大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程,大地线微分方程:,利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性,7.6将地面观测的方向值归算到椭球面,我们已经知道。大地测量的野外观测值是在不同高度的地面上(即各点的水准面上)，以垂线为基准获得的。在地球重力场的作用下。各点的垂线方向是不一致的(见图)。过各点的水准面形状很不规则。它们不是数学曲面，不能作为大地测量外业成果计算的基准面。,所以，为了处理测量成果，传统的办法是将地面上大地测量观测值，归算至选定的并经定位后的某一参考椭球的椭球面上(关于椭球定位原理后面要讲)。换句话说，就是要把地面观测值(主要包括水平方向值，地面距离和天文方位角)加上改正数，将其转化为椭球面上的观测值。而后在随球面上再进行测量解算，求出各大地点的大地坐标。,可见，观测值的归算是一项非常重要的计算工作，它不仅为在椭球面上进行计算提供数据，且归算的正确与否，归算的精密程度，都将直接影响点位的精度。换句话说，假如归算不正确或归算精度差，那末最精密的大地测量外业成果也会失去应有的价值和意义。,严密的归算方法，就是把地面上以垂线为准的观测值沿椭球面的法线方向归算到椭球面上，归算应顾及因地面点垂线与椭球面法线不重合而产生的垂线偏差改正和因地面点离开椭球面有一定高度的大地高影响改正，这就可把地面上建立的大地控制网转换成椭球面上的大地控制网。如图所示，椭球面上的大地控制网是由大地线构成的，所以归算工作就包括把地面方向值归算成大地线方向值(先把地面上的方向值归算成椭球面上法截线的方向，再归算成大地线方向)；把地面上两点之间的距离(水平距离或倾斜距离)归算成大地线长度；把地面上实测的天文方位角归算成大地方位角。这种归算方法称为投影法。,归算时如不顾及垂线偏差和大地高的影响，而把地面观测值沿垂线归算到大地水准面上，作为是椭球面上的结果进行测量计算的话，这样的归算就称为近似法，又称平展法。通常应用投影法归算。但当不知道大地网点的垂线偏差和大地水准面差距(即求不出正确的大地高)，或是低等级、小范围的测量工作，可采用平展法。如图所示，椭球面上的大地控制网是由椭球面三角形组成的，而解算椭球面三角形无现成的公式，为此应研究椭球面三角形的解算问题。,垂线偏差改正的计算公式,1）垂线偏差改正,把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。,2）标高差改正,标高差改正：由照准点高度引起的改正前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正，以表示。,标高差改正主要与照准点的高程有关。,令：,3）截面差改正,将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正,截面差改正主要与测站点至照准点间的距离S有关。,令：,4）三差改正的计算,各等三角测量在归算时对取位的要求：一等需算至0.001；二等为0.01；三等和四等为0.1。,在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在或H2000m时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。,2、将天文方位角归化为大地方位角-起始方位角（了解）,背景：在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测的方法测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角(包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角)。在特种工程测量控制网中，有时也有这样的要求。天文方位角是以测站的垂线为依据的，因此必须将它归算至椭球面以测站点相应的法线为依据的大地方位角A，这种归算又称起始方位角的归算。,当照准点目标高度不大时，天顶距Z接近于90时，垂线偏差改正数可勿略不计，因此上式可写为：,上式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点。,3、观测天顶距受垂线偏差影响的改正（了解）,垂线偏差在测线上的分量：,A为测站点至照准点的大地方位角。,利用上式公式计算出的大地天顶距Z可用于计算高差，此高差称为大地高差。三角高程测量的精度是有限的，若提高其计算精度，必须设法克服大气折光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏差改正数。,7.7将地面观测的长度归算到椭球面,地面电磁波测距的结果，是2端点之间的直线长。空间直线长与端点的铅垂线没有关系，可以直接沿端点的法线归算到椭球面上。,图中用球面弧长代替了椭球面上的法截线弧长。因为当法截线弧长达600km时，用适宜半径的球面弧长代替法截线弧长，其相对误差只有1:2500000，此时球面半径按式,若A、B两点的大地高分别为H1和H2，则由三角形AOB按余弦公式可以写出d2=(RA+H1)2+(RA+H2)2-2(RA+H1)(RA+H2)COS,由此得ab间弦长：,再将弦长S0换算为弧长S上式右端第一项实际是测距仪与反射镜平均高程面上的水平距离；第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数；第三项是弦长换算成椭球面上弧长的改正数。因为椭球面上的法截弧与大地线长度相差甚微，二者可不加区别，所以经过上列换算后的长度，可以视为椭球面上的大地线长度。,7.8椭球面上三角形的解算,按照上面所讲的方法，我们可以把地面上三角网的方向值、起始边长、起始方位角归化至椭球面上。从而在椭球面上得到由大地线组成的三角网。该网中少数的起始边长值是知道的，其余各边的长度还需通过计算才能得出。对一个三角形而言，若已知一条边的长度，并观测了三角形的三个内角，求定其它两条边的长度称作三角形的解算。三角网是由一系列三角形组成，每个三角形都一一解算之后，则三角网的所有边长值就都知道了。,椭球面上的三角形是由大地线组成，大地线是一条空间曲线，该曲线上各点的曲率半径不相等，因而解算三角形就十分复杂。大地测量计算工作有两个要求，其一是要有足够的计算精度，其二是计算工作相对来说越简单越好。由于参考椭球的扁率很小(l300)。大地网中三角形边长一般在30km左右，特殊情况下，也很少超过4050km。因此可用球面代替椭球面。,据研究表明，椭球面上半径约140km范围内，都可当作球面，即如果在半径为140km的圆内绘出一个内接等边三角形，则每边的长度为240km。这就是说，只要三角形的边长小于240km，都可以把它当作球面三角形来解算(此时圆球的曲率半径可取与三个顶点平均纬度相对应的平均曲率半径)，此时两者对应边长相等，相应角值差别小于0.001。实际上一等三角形的平均边长仅为25km，所以把它当作球面三角形来解算，精度完全可以保证。,解算球面三角形采用勒让德尔定理是比较方便的，该定理是：一个球面三角形可以作为平面三角形来解算，只要对应边相等，把球面三角形的各角减去球面角超的l3，化为相应的平面三角形的内角，此时由平面三角形算出的边长就是球面边长。,假定在图中，ABC为一球面三角形，其边长分别为a、b、c，三个顶角为、，该三角形的球面角超为。设想有一个平面三角形ABC，其边长与球面三角形边长对应相等。也为a、b、c，平面三角形三个内角为、，它们与球面三角形的内角关系为,可以看出，计算平面角需要球面角超，而球面角超的计算又需要平面角，因此直接用球面角计算球面角超时将会产生误差。据研究，如果要使这种误差小于0.0005，则球面角超本身的数值应小于17，这约相当于边长为90km的情况。对于一般大地控制网的计算，这是可以满足的。,按式求出平面角(也称平面归化角)、之后，若还已知三角形一条边的长度a，便可按平面三角形正弦定理求出其余两条边的长度b、c，由此求得的平面边长6、c即球面边长，或即椭球面边长，这就达到解算椭球面三角形的目的。,7.9大地主题解算的高斯平均引数公式,将地面上的观测值(水平方向，距离，方位角)归算至参考椭球面并进行椭球面三角形的解算之后，就可以根据起算点(例如大地基准点)的大地坐标和已知的大地方位角以及大地线的长度逐点推算各三角点的大地坐标。如图所示，已知P1点的大地坐标（），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角，计算P2点的大地坐标（）和大地线S在P2点的反方位角，这类问题叫做大地主题正解。如果已知P1和P2点的大地坐标（）和（），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角和，这类问题叫做大地主题反解。,大地主题的正反算合称大地测量主题解算或称大地主题。根据大地线的长短，主题解算可分为短距离(400km以内)，中距离(4001000km)，长距离(1000km以上)三种。根据计算方法可分直接解法和间接解法两种。所谓直接解法，是将椭球面上极三角形转换为球面三角形，在球面上直接解算出所求的纬度、大地方位角和对于起算点的经度差，再将上述结果转化到椭球面上。所谓间接解法，是先在椭球面上求出两点的坐标差和方位角差B12、L12、A12。再根据已知的B1、Ll、A12求出P2点的B2、L2、A21，即：,B2=Bl十B12L2=L1+L12A21=A12+A12椭球面上的大地问题解算，远比平面坐标计算复杂得多，因此百余年来，许多数学家与测绘工作者都致力于大地主题的解算的研究，得出几十种解算方法。有的适合于短距离，有的适合于中距离，有的适合于长距离。,本章主要介绍短距离主题解算公式-高斯平均引数公式。大地坐标的精度取决于起始数据的精度、观测值的精度和计算的精度。假定不考虑起始数据误差影响，仅考虑观测值误差影响，那么计算误差应在观测值误差影响的110以内。从该要求出发，国家一、二等三角测量大地坐标的取位要求如表所示。,按平均引数展开的台劳级数,高斯平均引数正解公式,推证高斯平均引数公式的基本思路是：按照平均引数展开的台劳级数把大地线2端点的经度差、纬度差和方位角差各表示为大地线长S的幂级数。再利用大地线在大地坐标系中的微分方程式推求出幂级数中的各阶导数，最终得到大地问题解算公式。,高斯平均引数公式，结构比较简单、精度较高。从公式可知,欲求B12、L12、A12，必先有Am和Bm。但由于B2、A21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。一般主项趋近3次，改正项趋近12次就可满足要求。,高斯平均引数反解公式,习题,1试写出椭球的基本元素及其基本关系式。,2在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号：、，,3我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么?4绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。5在报纸上经常看到XX号轮船在东经XXX度，北纬XX度遇险一6写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。7什么叫子午圈？什么叫平行圈？,8参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？9简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面差距的几何意义。10什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？11用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。,试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？,类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么?,12简要叙述M、N、R三种曲率半径之间的关系。13大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？14试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。15B00的平行圈是否有可能是法截线？为什么？16卯酉圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有最大值？何时有最小值？17什么是法截面？什么是法截线？18当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？19已知欧拉公式：,试由椭球基本元素及公式出发，导出计算任意方向法截线平均曲率半径R的公式。,20在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度B1和B2间的子午线弧长(0)，如何计算？21何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简