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高三数学答案 第 1 页 共 10 页 2020 届高三第一学期期末考试 数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准 20201 一、一、 单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 14：BCDA 58：CDBC 二、二、 多项选择题：本大题共多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9AB 10ABD 11BCD 12AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 1 2 ， 1 3 ， 1 6 14 6 152 1645，6 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17在横线上填写在横线上填写“3( cos)sinbCacB=” 解：解：由正弦定理，得3(sincossin)sinsinBCACB= 2 分 由sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，得3cossinsinsinBCCB= 由0C，得sin0C 所以3cossinBB= 4 分 又cos0B （若cos0B =，则sin0B =， 22 sincos0BB+=这与 22 sincos1BB+= 矛盾） ， 所以tan3B = 又0B，得 2 3 B = 6 分 由余弦定理及2 3b =，得 222 2 (2 3)2cos 3 acac=+， 8 分 即 2 12()acac=+将4ac+ =代入，解得4ac = 9 分 所以 113 sin43 222 ABC SacB= = 10 分 在横线上填写在横线上填写“22 cosacbC+=” 解：解：由22 cosacbC+=及正弦定理，得 2sinsin2sincosACBC+= 2 分 又sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+， 所以有2cossinsin0BCC+= 4 分 因为(0,)C，所以sin0C 从而有 1 cos 2 B = 又(0,)B，所以 2 3 B = 6 分 由余弦定理及2 3b =，得 222 2 (2 3)2cos 3 acac=+， 8 分 即 2 12()acac=+将4ac+ =代入，解得4ac = 9 分 高三数学答案 第 2 页 共 10 页 所以 113 sin43 222 ABC SacB= = 10 分 在横线上填写在横线上填写“sin3 sin 2 AC bAa + =” 解：解：由正弦定理，得 sinsin3sinsin 2 B BAA = 2 分 由0A，得sin0A ，所以sin3cos 2 B B = 4 分 由二倍角公式，得2sincos3cos 222 BBB = 由 0 22 B ，解得 3 0 4 p 高三数学答案 第 6 页 共 10 页 此时选择项目一 11 分 当 12 (0.08)()EXE X 由题设知 22 31 1 4ab += 2 分 因为F的标准方程为 22 1 (3) 4 xy+=， 所以F的坐标为( 3,0)，半径 1 2 r = 设左焦点为 1 F，则 1 F的坐标为(3,0) 由椭圆定义，可得 1 2|aAFAF=+ 2222 11 3(3)(0)( 33)(0) 22 = +4= 由解得2a =，1b = 所以C的方程为 2 2 1 4 x y+= 4 分 （2）由题设可知，M在C外，N在C内，P在F内，Q在F外，在直线l上的四 点满足| |MPMNNP=，| |NQPQNP= 由 2 2 1 4 (3) x y yk x += = 消去y得 2222 (14)8 31240kxk xk+= 5 分 因为直线l过椭圆C内的右焦点F，所以该方程的判别式0 恒成立 设 11 (,)P x y， 22 (,)Q xy 由韦达定理，得 x y O 1 FF M N P Q 高三数学答案 第 7 页 共 10 页 2 12 2 8 3 14 k xx k += + ， 2 1 2 2 124 14 k x x k = + 22 121 2 |(1)()4PQkxxx x=+ 2 2 44 41 k k + = + 7 分 又因为F的直径| 1MN =， 所以| | (| |)| | 1NQMPPQNPMNNPPQMNPQ= 2 3 41k = + 9 分 (3)yk x=可化为30kxyk= 因为l与O相切，所以O的半径 2 3 1 k R k = + ，所以 2 2 2 3 ( ) 1 k S kR k = + 10 分 所以(|)( )NQMPS k 2 22 9 (41)(1) k kk = + 2 42 9 451 k kk = + 2 2 9 1 45k k = + ? 2 2 9 1 2 45k k + =， 当且仅当 2 2 1 4k k =，即 2 2 k =时等号成立 因此，直线l的方程为 2 (3) 2 yx= 12 分 22解： （解： （1）对( )ln(2)f xxa=+求导，得 2 ( ) 2 fx xa = + 因此 2 (1) 2 f a = + 又因为(1)ln(2)fa=+， 所以曲线( )yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为 2 ln(2)(1) 2 yax a += + ，即 x y O 1 FF M N P Q 高三数学答案 第 8 页 共 10 页 22 ln(2) 22 yxa aa =+ + 2 分 由题意， 22 ln(2)ln3 23 a a += + 显然1a =适合上式 3 分 令 2 ( )ln(2) 2 aa a =+ + (0)a ，求导得 2 12 ( )0 2(2) a aa =+ + ， 因此( )a为增函数故1a =是唯一解 4 分 （2）由（1）可知，( )ln(21)2g xxx=+(0)x ， 2 ( )ln(21) 21 x h xx x =+ + (0)x 因为 24 ( )20 2121 x g x xx = 为减函数 5 分 因为 22 224 ( )0 21(21)(21) x h x xxx = + ， 所以 2 ( )( ) 12 x h xf x x = + (0)x 为增函数 6 分 （3）证明：由 1 2 5 a =， 1 ()ln(21) nnn af aa + =+，易得0. n a 1 521 2 2 n n n a + 2 5 n n a 时，( )(0)0g xg=，即( )2f xx 令 1( 2) n xan =?，得 11 ()2 nn f aa ，即 1 2 nn aa 因此，当n ?2时， 21 121 2 222 5 n n nnn aaaa = 所以 1 521 2 2 n n n a + =，即 2 ( )0 21 x f x x + 因此 11 1 ( )2f xx +，即 11 1 2(2) ( )2f xx 9 分 令 1( 2) n xan =?，得 11 111 2(2) ()2 nn f aa =，所以 1 20 ln1.8 ，所以 2 1 20 a 10 分 所以，当n ? 3时， 1 111 2(2) 2 nn aa 2 2 11 (2) 2 n a 2 2 11 (2)0 2na 所以，当n? 2时， 1 20 n a 成立 综上所述，当n? 2时， 1 521 20 2 n n n a + ，所以 111 202 2 n nn a aa 当2n =时， 211 2 ()ln(21)ln(21)ln1.8 5 af aa=+=+= 而 2 2 1 ln1.8ln1.8ln21.821.823.242 2 a =， 因为3.242，所以 2 1 2 a 可见2n =时，不等式成立 10 分 假设当(2)nk k=?时不等式成立，即 1 2 k a 当1nk=+时， 1 ()ln(21) nkkk aaf aa + =+ 高三数学答案 第 10 页 共 10 页 因为 1 2 k a ，( )ln(21)f x