2019年安徽省皖江名校联盟摸底大联考数学文科试卷及解析.pdf

皖江名校联盟皖江名校联盟 2019 届高三开年摸底大联考届高三开年摸底大联考 数学（文）数学（文） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第 I 卷第 1 至第 2 页，第卷第 2 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1若集合725Axx， 2 30Bxxx，则AB （） A0,3 B1,3 C0, : D1, 2设z是复数 z 的共轭复数，且 1 2i5iz，则z （） A3 B5 C 3 D 5 3已知两个非零单位向量 1 e， 2 e的夹角为，则下列结论不正确的是（） A 1 e在 2 e方向上的投影为sin B 22 12 ee C R， 1212 eeee D不存在，使 12 2e e 4安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山， 则他等待时间不多于 5 分钟的概率为（） A 1 3 B 1 6 C 1 9 D 1 12 5若e e abba ，则有（） A0ab B0ab C0ab D0ab 6过抛物线 C： 2 4xy的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A，B，点 A 处的切线与 x，y，轴分别交于点 M， N，若MON 的面积为 1 2 ，则AF （） A1 B2 C3 D4 7孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚， 问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚 减一，即得”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 n 是 8 的整数倍时，均可采用 此方法求解如图是解决这类问题的程序框图，若输入 n= 24，则输出的结果为（） A47 B48 C39 D40 8某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 l，则该几何体的体积为 （） A8 B 32 3 C 28 3 D12 9已知双曲线 C： 22 1 124 xy ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线 的交点分别为 P，Q若POQ 为直角三角形，则PQ （） A2 B4 C6 D8 10若关于 x 的方程sin10 x 在区间 0, 2 上有且只有一解，则正数的最大值是（） A8 B7 C6 D5 11已知奇函数 2 1 axb fx x 的图象经过点(1，1)，若矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，顶点 C， D 在函数 f（x）的图象上，则矩形 ABCD 绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（） A 2 B C 3 2 D2 12正三棱锥 P-ABC 中，已知点 E 在 PA 上，PA，PB，PC 两两垂直，PA=4，PE=3EA，正三棱锥 P-ABC 的外接球为球 O，过 E 点作球 O 的截面，则截球 O 所得截面面积的最小值为（） A B2 C3 D4 第卷 注意事项：第卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无 效 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 23 题为选考题考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上 13若tan 2 ，则cos2_ 14若实数 x，y 满足条件 10 10 330 xy xy xy ，则 z= 3x-y 的最大值为_ 15已知边长为 3 的正ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上，且 OA 与平面 ABC 所成的角为 30， 则球 O 的表面积为_ 16在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 A= 45，2bsinB-csinC= 2asinA，且 ABC 的面积等于 3，则 c=_ 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在 答题卡上的指定区域内 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 21 nn aa （I）证明1 n a 是等比数列，并求 n a的通项公式； （II）证明： 12 12231 111 1 n nn aaa a aaaaa 18.（本小题满分 12 分） 销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量 x（公斤）属于0，100)，100，200)，200，300)， 300，400)，400，500进行分组，得到如图所示的频率分布直方图这种海鲜经销商进价成本为每 公斤20元， 当天进货当天以每公斤30元进行销售， 当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库 某 海鲜产品经销商某天购进了 300 公斤这种海鲜，设当天利润为 Y 元 （I）求 Y 关于 x 的函数关系式； （II）结合直方图估计利润Y不小于 800 元的概率 19.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为梯形， ABCD， BCAB， 2 3AB ， 6BC ， 3CDPC （I）点 E 在线段 PB 上，满足 CE/平面 PAD，求 BP BE 的值； ()已知 AC 与 BD 的交点为 M，若 PM=1，且平面 PAC平面 ABCD，求四棱锥 P-ABCD 的体积 20.（本小题满分 12 分） 已知点 11 ,A x y， 22 ,B xy是椭圆 C： 22 1 259 xy 上两个不同的点，A， 9 4, 5 M ，B 到直线 l： 25 4 x 的距离顺次成等差数列 （I）求 12 xx的值； （II）线段 AB 的中垂线 m 交 x 轴于 N 点，求直线 MN 的方程 21.（本小题满分 12 分） 设函数 2 2 ln0 ax f xxaxa x （I）求函数 f（x）的单调区间； （II）记函数 f（x）的最小值为 g a，证明： 1g a 请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑， 按所涂题号进行评分：多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 cos 1 sin x y （为参数）P 是曲线 C1上的动点， 将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （I）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （II）在（I）的条件下，若射线 0 3 与曲线 C1，C2分别交于 A，B 两点（除极点外），且 有定点4,0M，求MAB面积 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 1 lnf xxax a （I）当 a=l 时，求不等式 ln10f x 的解集； （II）求证： 1 ee4 f f x x 文数参考答案文数参考答案 题题 号号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 1010 1111 1212 答答 案案 C CD DA AB BD D ZxxkComZxxkCom B BA AB BC CB BB BC C 1.【解析】 |1,03Ax xBxx，0ABx x 2.【解析】由题， 5 12525 2 1212125 iiii zi iii ，则2zi, 2 2 215z . 3. 【 解 析 】 因 为 12 ,e e为 单 位 向 量 ， 所 以 22 121212 ,，eeeeee成 立 ， 1212 11 cos,e ee e，所以不存在，使 12 2e e，B，C，D 都正确； 1 e在 2 e方向上的 投影为 12 2 e e e cos，故选 A 4.【解析】此人在 25 分到 30 分或 55 分到 60 分之间的 5 分钟内到达，等待时间不多于 15 分钟， 概率 51 306 P . 5.【解析】法一：取特殊值排除；法二：构造函数利用单调性：令 aa f xe ，则 f x是增函 数 aabb ee ， f afb，即0ab. 6.【解析】由题意，焦点0,1F，设直线1ykx，不妨设A为左交点， 00 ,A xy，则过A的切 线为 00 22x xyy，则 0 0 ,0 ,0, 2 x MNy ，所以 0 0 11 222 x Sy ，解得 0 2x ，则 2,1A ，所以2AF . 7.【解析】输入初始值 n=24,则 S=24，第一次循环：n=16,S=40，第二次循环：n=8,S=48 第三次循环：n=0,S=48,即出循环 s=47,输出 47. 8.【解析】该几何体是一个半圆柱上面放一个半圆锥，体积和为 22 11132 2424 2323 V . x y O 9.【解析】由对称性，不妨假设P点在第一象限、Q点在第二象限，90OPQ .则由已知 30MOF ，4OF ， 2 3OP ， 在POQ中，60POQ ， 90OPQ ， 2 3OP 36PQOP.故选 C . 10.【解析】sin10 x 可变为sin1x ， 方程sin10 x 在区间0, 2 上有且只有一解，即sin,1yx y 在区间0, 2 上有且只有 一个交点,如图，由已知可得：设函数sinyx的最小正周期为T，则 3 24 7 24 T T ， 32 24 72 24 ， 37. 11.【解析】由 00f，及 11f得，2,0ab， 2 2 1 x fx x ， 如图，不妨设点,C D在x轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径RBC，令 2 2 1 x R x ，整理 得 2 20RxxR ，则, CD xx为这个一元二次方程的两不等实根，于是圆柱的体积 22 2222 24 21 CD R VRxxRRR R 22 1RR ， 当且仅当 2 1 2 R 时，等号成立. 12.【解析】三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线， 32R , 过O作,OHPA H为垂足， 22OH ,在RtOHE中， 2 2,1,3OHHEOE ，当OE垂直截面时， 截面圆半径最小. 22222 (2 3)33rROE， 2 3Sr . 13.【答案】 1 3 【解析】 2 2 1tan1 cos2 1tan3 . 14.【答案】7【解析】画出 10 10 330 xy xy xy 表示的可行域， 3zxy 的几何意义是直线 3yxz 的纵截距的相反数，平移直线 3yxz ，根据图形可得结论.画 出实数x y， 满足条件 10 10 330 xy xy xy 表示的平面区域，如图， 3yxz 的几何意义是直线 3zxy 的 纵截距的相反数，由 10 330 xy xy ，可得交点坐标为 3,2，平移直线3yxz 根据图形可知，当直 线 3yxz 在经过 3,2时，3yxz 取得最大值，最大值为7，故答案为7. 15.【答案】16【解析】 设正ABC的外接圆圆心为 1 O，易知 1 3AO ，在 1 Rt OO A中， 1 2 cos30 O A OA ，故球O的表面积为 2 4216 . 16.【答案】2 2【解析】由 45A ，2 sinsin2 sinbBcCaA，且ABC的面积等于ABC，分别 利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得结果. 由2 sinsin2 sinbBcCaA，根据正弦定理可得， 222 22bca 由余弦定理可得， 222 2abcbc 由三角形面积公式得 12 =3 22 bc 由得，5,3,2 2abc，故答案为2 2. 17.【解析】（I）由 1 21 nn aa 得 1 12(1) nn aa 。 又 1 12a ，所以1 n a 是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ，因此 n a的通项公式为21 n n a .6 分 （）由（I）知 1 1 1 1211 21212121 n n nn nn nn a aa 于是 12 12231 12231 111 111111 212121212121 n nn nn aaa a aaaaa 1 1 1 21 n : 12 12231 111 1 n nn aaa a aaaaa 12 分 18.【解析】（）当日需求量不低于300公斤时，利润30203003000Y 元； 当日需求量不足300公斤时，利润302030010203000Yxxx（元）； 故 203000,0300 3000,300500 xx Y x 6 分 （）由800Y 得，190500 x， 300190200200500P xPxPx 1 0.00200.00300.00250.00151000.72 10 12 分 19.【解析】（）延长,BC AD交于点F，2 分 则PF是平面BCP与平面PAD的交线， 由CE平面PAD，则CEPF4 分 E为PB中点，2 BP BE 6 分 （）在梯形ABCD中，BCAB，BCCD， 且2 3,6,3ABBCCD， 3 2,3ACBD ABCD， CDCMDM ABMAMB ， 故 11 2,1 33 CMCADMDB8 分 222 3CMDMDC ，ACBD 且2 2,2,1,2AMMCDMBM， 又1,3,2PMPCCM， 可得PMCM，DMBCPA 平面10 分 1113 2 132 36 3322 P ABCDABCD VPMS 四棱锥四边形 .12 分 20. 【解析】（）设,A M B到直线l的距离顺次是 123 ,d dd， 则 11232 2525925 ,4, 4444 dx ddx 123 ,d dd顺次成等差数列， 213 2ddd，即 12 92525 2 444 xx 12 8xx.4 分 （）设线段AB的中点为D，由（） 12 4, 2 yy D ，设 0,0 N x， 则AB的中垂线DN的方程为： 1212 12 4 2 yyxx yx yy ，6 分 0,0 N x在直线DN上，故有 1212 0 12 04 2 yyxx x yy ， 即 22 12 0 12 4 2 yy x xx 8 分 ,A B在椭圆上，得 2222 1122 99 25,25 2525 yxyx， 22 121212 9 25 yyxxxx 10 分 联立可得： 012 964 4 5025 xxx ，即点N坐标为 64 ,0 25 N ， 直线MN的方程为2520640 xy.12 分 21.【解析】（）显然)(xf的定义域为),0(1 分 2 222 4233 22222(2)() ( )1 xx axaxxxxa fxa xxxxx 3 分 2 20 x ，0 x ， 若( 0,)xa，0 xa，此时( )0fx ，)(xf在( 0,)a上单调递减； 若(,)xa，0 x a ，此时( )0fx ，)(xf在(,)a 上单调递增； 综上所述：( )f x在( 0,)a上单调递减，在(,)a 上单调递增 5 分 （）由（）知： a aaa a aa a aafxf 1 ln) 1 (ln 2 )()( 2 min ， 即： 1 ( )lng aaaa a 6 分 要证( )1g a ，即证明 1 ln1aaa a ，即证明 2 11 1 lna aa ， 令 2 11 ( )ln1h aa aa ，则只需证明 2 11 ( )ln10h aa