2019年华中师大附中高三期中检测数学解析.pdf

华中师大一附中 2018201820192019 学年度上学期高三期中检测 数学（理）试题答案解析 【题号】1 【答案】D 【解题思路】 13 313 3 13 1 24 | 24 x x x x Axx 1 12 24 22 12 1 |1 x x x x Bx x 2,AB 【知识点、能力点】考查解绝对值不等式；指数不等式的运算；集合的运算. 【题号】2 【答案】A 【解题思路】 2 1 1 2 2 111 1,1 11 i iziiii zii zii 虚部为1，故选A. 【知识点、能力点】考查虚数的共轭及虚数的除法运算法则. 【题号】3 【答案】B 【解题思路】 1 tan 42 13 tantan 1 44 22 tantan3 11 44 11tantan 2244 sincostan13 1 2 sincostan13 1 【知识点、能力点】考查正切两角和的运算，齐次式化简求值. 【题号】4 【答案】B 【解题思路】由题意知 22 5,52 55 ACANAPmABACmABANmABAN BPN、 、三点共线21,1mm . 【知识点、能力点】考查向量的线性运算，三点共线定理 【题号】5 【答案】C 【解题思路】平移之后的解析式为 sin 2sin 2 63 f xxx 2 sin 2cos 2sin 2sin 2 3633 xxxx 3 【知识点、能力点】三角函数的平移变换、诱导公式的运用 【题号】6 【答案】C 【解题思路】 1111 =+.+ 3 14 25 32nn 原式 11111111 1. 2324352nn 1111 1 2212nn 3111 4212nn 【知识点、能力点】裂项相消法 【题号】7 【答案】A 【解题思路】错，p 或 q 中有一个为假命题时，p 且 q 则为假命题 【知识点、能力点】命题及其相关知识，难度低 【题号】8 【答案】D 【解题思路】 01 2 0 =sinx1dxx 原式 02 1 cos |1 4 x 1 12 44 【知识点、能力点】积分 【题号】9 【答案】C 【解题思路】 原式可化为 2 222 log 3log 32log 3 xy ，即 22 2log 32log 3xy ， 22xy 111 111 213 232 232 2222 yx xy xyxyxy ， 当且仅当 2 22 yx xy xy ，即 2 22 22 x y 时等号成立，故 11 xy 最小值为 3 2 2 。 【知识点、能力】对数运算，均值不等式中“换一法” 【题号】10 【答案】B 【解题思路】 原式可化为 0 xf x x ，令 g xxfx ，0 x时， 0gx ， g x 单调递减 fx是奇函数， 222 333 afg ， 22222bffg ， 11 lnlnln3ln3ln3 33 cffg 2 0ln32 3 ， 2 ln32 3 ggg ，即acb 【知识点、能力】导数-构造新函数，导数与单调性的关系，奇函数的性质 【题号】11 【答案】D 【解题思路】 B，cosB 3sinB 2sinB30 2603090A，因为锐角三角形， 由正弦定理得 sin3sin cosBcosC4Rsin AsinB BsinCC ，即 2 4 sinsin sin 3 RAB BC=1R，得。 ac 2sin A2sinC 2sin A2sinA603sin A 3cosA 2 3sinA30 60 A30120 3,2 3 ac 【知识点、能力】正弦定理，三角恒等变换，辅助角公式，值域 【题号】12 【答案】A 【解题思路】 原式整理得 ln y x y e x 2 1 a， 由导数判断出， 1,xe时， ln x b a 1 a,a xe 1,02,4 和时， g y 2 1y y e0,2 单调递减； 在区间时， 2 1y g yy e 由导数判断出， 在区间 单调递增； 2 1 ge， 00g， 4 2g e ， 3 16 4g e ， 由题意知函数 1 z b e a,a zg这条水平线与图像恒有 3 个交点 y 有图像知 3 16 14 a e a ee ，即 3 16 3 ,a e e 【知识点、能力】利用导数判断函数单调性及图像，零点与方程， 【题号】13 aab 0aab 【答案】，即 2 cos0aa b，由1a ， 2b 可得 2 cos 2 ，故a在b上的投影为 2 cos 2 a. 【解题思路】 从题干中条件 aab入手，根据向量数量积的运算公式求解出a与b夹角的余弦值，再由 投影的定义计算即可。 【知识点、能力点】本题主要考察向量数量积的定义及投影的概念，属基础题。 【题号】14 【答案】 n a和 n b为等差数列， 3111911 71511 3 2 aaaa bbb ，又 21 21 nn nn aS bT ， 1121 1121 2 21 143 3 21265 aS bT ，故原式= 3 43129 2 65130 . 【解题思路】 先由等差数列的性质2 ,2 mnp mnpaaa“若则”化简所求，进而根据等差数列的结论 21 21 nn nn aS bT 及已知条件计算求解即可。 【知识点、能力点】本题主要考察等差数列的性质及相关结论，属中档题。 【题号】15 【答案】由余弦定理知 2 22 3 323 3 cos303xx ，解得x 3 或 6 【解题思路】 根据题干画出几何图形，找到三角形中的边角关系，利用余弦定理列方程求解即可。 【知识点、能力点】本题主要考察余弦定理及方位角，属基础题。 【题号】16 【答案】因为数列 n a是递减数列，故函数 2 1 4,3 4 tx f xx 与函数 2 41518,4f xtxt xtx 都是减函数，且 234fff。所以， 22 0 4 4 2 1 493 41518 4 93 41518164 41518 t t t t ttt tttttt ，解得 1 1 2 t 。 【解题思路】 根据题干数列 n a是递减数列，找出对应函数的单调性，及连接点处的值的大小关系，得关 于t的限制条件，解出即可。 【知识点、能力点】本题主要考察函数单调性及数列性质，属较难题。 【题号】17 【答案】（1）因为 n a为等差数列，所以 1423 13aaaa 又 23 40,a a 所以 23 ,a a是方程 2 13400 xx的两实数根. 又公差0,d 所以 23 aa所以 23 5,8aa 所以解得,所以31 n an； 又公比的等比数列中， 所以，当且仅当时成立，此时公比 2 3 1 11 , 42 b qq b 所以 1 n ( ) 2 n b （2）由 11 ( ) ,cn(3n1)( ) 22 nn an3n1,bn ，由 12 + nn cT c c ， 12 111 T2 ( )5( ) (31)( ) 222 n n n 1 1111 2( )5( )(3 n 1) ( ) 2222 n T 2 3 n n c由-得， 的前n项和 1 5(3Tn5)( ) . 2 n n 【解题思路】（1）由 23 40,a a 1423 13,a aaad 0,解出 23 5,aa8, 再利用等差数列得通项公式得 1 1 5, 2d8,a ad 得 1 2,ad3,进而得出3an1; n 又公比(0qq1)b n 的等比数列中 23 1111 1 ,b , , 60 32 20 8 2 b1b 可得 35 111 , 2832 b1b b ，得公比 3 1 11 2 qq , 42 b b 所以 1 n ( ) . 2 n b （2）c n 利用等差数列与等比数列通项公式之积得到新数列，再利用裂项相消法解出新数列 n的前项和 1 5(3Tn5)( ) . 2 n n 【知识点、能力点】（1）考查等差数列、等比数列通项公式求法； （2）n求数列前项和方法中的裂项相消法。 【题号】18 【答案】（1） sin23 cos213sin23cos22sin 2 3 f xxxxxx 由 3 2+22 232 kxk 解得 7 1212 kxk ，故 f x的单调递减区间为 7 , 1212 kkkZ ； （2）由2sin3 26 A fA 可得 3 sin 2 A，A为锐角， 3 A ， 又7a ，由正弦定理可知 714 2 sin3 sin 3 a R A ，又 sinsinsin abc ABC ，且 13 sinsin3 14 BC，13bc ，由余弦定理知： 222 2cosabcbcA 2 22 3bcbcbcbc， 2 222 3137120bcbca，40bc. 【解题思路】 （1）借助倍角公式及辅助角公式将 f x的解析式化简为sinAx的形式，进而求解出 单调减区间； （2）由题干3 26 A f 可求出 3 A ，进而根据正弦定理求解出bc的值，最后通过余 弦定理求出bc的值. 【知识点、能力点】本题综合考察三角变换、三角函数及解三角的知识，属中档题. 【题号】20 【答案】 （1）ADOOPOCAC OC AD 取中点，连接，依据题意可知PAD，ACD 都是正三角形，所以 ， OP AD，又OCOOPOC 平面POC，OP平面POC，所以AD 平面POC， PC POCAD PCBCADBC PC又平面，所以，因为/，所以，即PCB90，从而 PBC 为直角三角形； OP ADPAD ABCDPAD（2）（向量法）由（1）知，又平面平面，平面平面 ABCD ADPO PADPO ABCDO，平面，所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系 O xyz如图所示， 则 0,0, 3P，0, 1,0A，0,1,0D， 3,0,0C， 3,0,3PC ，由 3,0,3PMPC可得点 3 ,0, 33M，设平面MAD的法向量, ,nx y z， 则 3330 3330 n AMxyz n DMxyz 解得 1 0 xz y ，令z，得1,0,n，显然平面PAD的一个法向量 3,0,0OC ， 依题意 2 2 31 2 5 cos, 5 13 n OC n OC n OC ，解得 1 3 或1 （舍去），所以当 1 3 时，二面角PADM的余弦值为 2 5 5 ， （传统法）由（1）可知AD 平面POC，所以AD OM，AD OP，所以POM为二面 角PADM的平面角，即 2 5 cos 5 POM，在POM 中， 5 sin 5 POM，3PO ， 4 OPM ，所以 3 10 sinsinsincoscossin 44410 PMOPOMPOMPOM ， 由正弦定理可得 sinsin PMPO POMPMO ，即 3 53 10 510 PM ，解得 6 3 PM ，又 22 6PCPOOC，所以 1 3 PM PC ，所以当 1 3 时，二面角PADM的余弦值为 2 5 5 。 【解题思路】（1）欲证PBC 为直角三角形，由题干中的点线面关系可知，可通过证明 AD 平面POC，再证明BC PC即可。 （2）（向量法）根据题意建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面MAD的法向量 1,0,n，面PAD的一个法向量3,0,0OC ，再根据 2 2 31 2 5 cos, 5 13 n OC n OC n OC ，解得 1 3 或1 （舍去），所以当 1 3 时，二面角PADM的余弦值为 2 5 5 ， （传统法）由（1）可知AD 平面POC，可知POM为二面角PADM的平面角，则 2 5 cos 5 POM，再通过 2 5 cos 5 POM，即可计算出 1 3 PM PC 【知识点、能力点】点线面的位置关系，正弦定理及有关二面角平面角的问题 【题号】21 【答案】 方法一：（1）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意， 所以设直线AB的方程为ykxb，带入方程 2 4yx得： 222 240k xkbxb， 12 2 42 2 kb xx k ，得： 2 bk k ，直线AB的方程为 2 1yk x k ，AB中点得横坐 标为1，AB中点得坐标为 2 1, k ， AB的中垂线方程为 1213 1yxx kkkk ，AB的中垂线经过点0,2，故 3 2 k ， 得 3 2 k ，直线AB的方程为 31 26 yx （2）由（1）可知AB的中垂线方程为 13 yx kk ，3,0M， 直线AB的方程为 222 20k xkyk，M到直线AB的距离 22 2 42 32 21 kk k d k kk ，由 222 2 20 4 k xkyk yx 得， 2 22 20 4 k ykyk， 12 4 yy k ， 2 12 2 82k yy k ， 22 12 22 14+11 1 kk AByy kk ， 22 11 4 11 AMB S kk ，设 2 1 1t k ，则 01t ， 23 4248Stttt ， 2 128St ，由0S ，得 6 3 t ， 3 48Stt 在 6 0, 3 上递增，在 6 ,1 3 上递减，当 6 3 t 时，S有最大值，得3t 时， max 16 6 9 S，直线AB的方程为3310 xy 方法二：（1）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，当AB不垂直于x轴时，根据题意设 AB的中点为1,Qt，则 2121 21 21 2 44 AB yyyy k yy xxt ，有P，Q两点得AB的中垂线斜率为 2kt ，由 2 21t t ，得 4 3 t ， 直线AB的方程为 31 26 yx （2）由（1）知直线AB的方程为 2 1ytx t ，AB的中垂线方程为1 2 t ytx ，中垂 线交x轴于点3,0M，点M到直线AB得距离为 2 2 2 4 4 4 t dt t ，由 2 2 1 4 ytx t yx 得： 2 22 4820 xxt， 12 2xx， 2 2 12 2 4 t x x ， 22 12 2 4 144ABxxtt t ， 3 2 22222 11221616 6 44444 224439 SAB dttttt 当 2 4 3 t 时， max 16 6 9 S，直线AB的方程为3310 xy 【解题思路】方法一：（1）设直线AB的方程为ykxb，与 2 4yx联立，利用韦达定理结 合 12 2xx求出直线AB得方程为 2 1yk x k ，AB中点得坐标为 2 1, k ，AB的中垂 线经过点0,2，可求出AB的斜率，从而求出直线AB的方程； （2）依题意，直线AB的方程为 222 20k xkyk，利用点到直线的距离公式可求出M到 直线AB的距离，联立直线AB的方程与抛物线的方程，结合韦达定理求出AB，于是可得到 面积表达式，通过导数法，可求出AMB的面积的最大值及直线AB的方程。 方法二：（1）设AB的中点为1,Qt，可求得 2 AB k t ，由 2 21t t 可求得t，继而可求 得直线AB的方程为 31 26 yx （2）依题意可得直线AB的方程，继而点M到直线AB得距离为 2 2 2 4 4 4 t dt t ，从而 可得面积表达式，利用基本不等式即可求出AMB 的面积的最大值及直线AB的方程。 【知识点、能力点】韦达定理，点到直线得距离公式，根据导数求最值，基本不等式 x f 【题号】22 【答案】 解：（1）xeaxa x fxea 当a 0时， 0fx恒成立fx为增函数，无极小值 0a 当时，令 0 x fxea，解得lnxa fx在,lna单调递减，在lna,单调递增 fx有极小值为 ln ln a fa ealn