2019年深圳市高三年级第一次调研考试 理科数学答案.pdf

理科数学试题答案及评分参考第 1页（共 14页） 深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试 理科数学试题参考答案及评分标准 第卷 一选择题 1.D2.B3.A4.C5.B6.C 7.B8.A9.C10.D11.B12.A 11. 解析:设ABC的外接圆圆心为 O ，其半径为r，球O的半径为R，且|OOd ， 依题意可知 1 max 2 ()3 VRd Vd ，即2Rd，显然 222 Rdr，故 2 3 Rr， 又 4 2 sin3 AC r ABC ，故 2 3 r ，球O的表面积为 22 1664 4 39 Rr，故选 B. 12. 解析： 11 ( ) 9 x x ，9 x x ， ln 2ln3 x x ， * xN，0， （法一）（法一） ln2ln3x x ，令 ln ( ) x f x x ，则 2 1 ln ( ) x fx x ， 易知( )f x在(0,e)上递增，在(e,)上递减， 注意到2e3，只需考虑(2)f和(3)f的大小关系， 又 ln2ln8 (2) 26 f， ln3ln9 (3) 36 f，(2)(3)ff， 只需 ln32ln3 (3) 3 f ，即6，即实数的最小值为6，故选 A. （法二）（法二） ln 2ln3 x x ， 2ln3 ln xx ，令 2ln3 k ，则ln xkx（*） ， 不等式（*）有正整数解，即lnyx在ykx的图象上方（或者图象的交点）存在横坐 标为正整数的点，易知直线 e x y 与曲线lnyx 相切，如右图所示，ln22k，或ln33k， 解得 4ln3 ln2 ，或6，不难判断 4ln3 6 ln2 ，即实数的最小值为6，故选 A. 理科数学试题答案及评分参考第 2页（共 14页） 二填空题： 13.314.1515.816.103 16. 解析： ,1 1 1 1 2 n n a ， 1,1 2 1 1,(2) 2 n n an 下面求数列 ,2n a的通项， 由题意可知 ,21,11,2,( 3) nnn aaan ， ,21,21,1 2 1 1,(3) 2 nnn n aaan ，即 ,21,2 2 1 1,(3) 2 nn n aan ， ,2,21,21,22,23,22,22,2 2 15 ()()() 22 nnnnn n aaaaaaaan ， 数列 ,2n a显然递增，又易知 102,2103,2 100aa， m的最小值为103，故应填103 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线， 已知1BC ，且 3 cos 5 BCD （1）若AC平分BCD，且2AB ，求AC的长； （2）若45CBD，求CD的长 解： （1）若对角线AC平分BCD，即22BCDACBACD ， 2 3 cos2cos1 5 BCDACB ， cos0ACB， 5 cos 5 ACB，3 分 在ABC中，1BC ，2AB ， 5 cos 5 ACB 由余弦定理 222 2cosABBCACBC ACACB可得： 2 2 5 30 5 ACAC，解得5AC ，或 3 5 5 AC （舍去） ， AC的长为5. 6 分 A B C D （第17 题图） 理科数学试题答案及评分参考第 3页（共 14页） （2） 3 cos 5 BCD ， 2 4 sin1 cos 5 BCDBCD，7 分 又45CBD， sinsin(18045 )=sin(+45CDBBCDBCD） 22 (sincos) 210 BCDBCD，9 分 在BCD中，由正弦定理= sinsin BCCD CDBCBD ，可得 sin =5 sin BCCBD CD CDB ，即CD的长为5.12 分 【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形 结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长 为1的菱形，45BAD，2PD ，M为PD的中点， E为AM的中点，点F在线段PB上，且3PFFB. （1）求证：/ /EF平面ABCD； （2）若平面PDC 底面ABCD，且PDDC， 求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值 解： （1） 证明： （法一法一） 如图， 设DM中点为N， 连接EN，NF，BD， 则有/ /NEAD， NE 平面ABCD，AD 平面ABCD， / /NE平面ABCD，2 分 又 3 4 PNPF PDPB ， / /NFDB，4 分 NF 平面ABCD，BD 平面ABCD， / /NF平面ABCD，5 分 又NFNEN，平面/ /NEF平面ABCD， / /EF平面ABCD6 分 （第 18 题图） P A B C D F M E 理科数学试题答案及评分参考第 4页（共 14页） （法二）（法二）如图，设AD中点为R，Q为线段BD上一点，且3DQQB. 连接ER、RQ、QF，则有/ /ERPD，1 分 1 4 BFBQ BPBD ，/ /QFPD，3 分 / /QFER，且 1 4 QFPDER，4 分 即QFER为平行四边形，/ /EFQR，5 分 EF 平面ABCD，RQ平面ABCD， / /EF平面ABCD6 分 （2） （法一）（法一）解：平面PDC 底面ABCD, 且PDDC， PD 底面ABCD，7 分 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz， 则(0,0,0)D ， (0,0,2)P，(1,0,0)A， 22 (,0) 22 C ， ( 1,0,0)BCAD ， 22 (, 2) 22 PC ，8 分 设平面PBC的一个法向量为 1 ( , , )nx y z ， 则 1 1 0 0 n BC n PC ， 0 22 20 22 x xyz ， 取2 2y ，可得 1 (0,2 2,1)n ，10 分 又易知平面PAD的一个法向量 2 (0,1,0)n ，11 分 设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为q，则 12 12 | cos | | n n nn q 2 2 3 ， 平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 2 2 3 12 分 （法二（法二）如图，过A、P分别做PD、AD的平行线，交于点S，则/ / /SPADBC， x z y 理科数学试题答案及评分参考第 5页（共 14页） 直线SP为平面PAD与平面PBC的交线， 过D做DGBC，交BC于G，连接PG，则BC 平面PDG， GPD即为平面PAD与平面PBC所成锐二面角，设为q，9 分 底面ABCD是边长为 1 的菱形，45BAD， DGC为等腰直角三角形， 2 2 DG ，又2PD ， cosq 2 2 3 12 分 【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所 成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力 19.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C的中心在坐标原点O， 其右焦点为(1,0)F， 且点 3 (1, ) 2 P 在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2） 设椭圆的左、 右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点， 直线MF 交椭圆C于另一点N，直线MB交直线4x于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直 线上 解： （1）(法一)设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 一个焦点坐标为(1,0)F，另一个焦点坐标为( 1,0)，1 分 由椭圆定义可知2a 2222 33 (1 1)(0)(1 1)(0)4 22 2a ，3 分 Ax y M N Q F 4x OB （第 19 题图） 理科数学试题答案及评分参考第 6页（共 14页） 222 3bac，椭圆C的方程为 22 1 43 xy . 4 分 (法二)不妨设椭圆C的方程为 22 1 xy mn (0mn)， 一个焦点坐标为(1,0)F，1m n， 1 分 又点 3 (1, ) 2 P在椭圆C上， 13 1 2mn ， 2 分 联立方程，解得4m，3n， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy .4 分 （2）设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，直线MN的方程为1xmy， 由方程组 22 1 1 43 xmy xy ， ， 消去x，并整理得： 22 (34)690mymy， 22 (6 )36(34)0mm ， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ，7 分 直线BM的方程可表示为 1 1 (2) 2 y yx x ， 将此方程与直线4x 联立，可求得点Q的坐标为 1 1 2 (4,) 2 y x ，9 分 22 (2,)ANxy ， 1 1 2 (6,) 2 y AQ x 1 22 1 2 6(2) 2 y yx x 2112 1 6(2)2(2) 2 y xy x x 2112 1 6(1)22(1)2 12 ymyymy my （） 理科数学试题答案及评分参考第 7页（共 14页） 1212 1 46() 1 my yyy my 22 1 96 4 ()6() 3434 0 1 m m mm my ， / /ANAQ ，11 分 又向量AN 和AQ 有公共点A，故A，N，Q三点在同一条直线上12 分 【说明】 本题以直线与椭圆为载体， 及其几何关系为背景， 利用方程思想解决几何问题， 考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20.（本小题满分 12 分） 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如下图所示： （1） 将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为 “健身达人” ， 现从所有 “健身达人” 中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表： 会员等级消费金额 普通会员2000 银卡会员2700 金卡会员3200 预计去年消费金额在(0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在 (1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员， 消费金额在(3200,4800内的消费者都 将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额. 该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星” 给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖 励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元. 方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球 （球只有颜色不同）的箱子中，有放回 地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数 消费金额消费金额/元元 理科数学试题答案及评分参考第 8页（共 14页） 为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况 不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏； 每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游 戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）. 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由. 解： （1）设随机抽取的 2 人中，去年的消费金额超过 4000 元的消费者有X人， 则X的可能值为“0,1,2” ，1 分 112 844 22 1212 16319 (1)(1)(2) 333333 C CC P XP XP X CC . 3 分 （或者 2 8 2 12 19 (1)1(0)1 33 C P XP X C . 3 分） （2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之 星” ，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为： 28 257 100 ， 60 2515 100 ， 12 253 100 ，4 分 按照方案 1 奖励的总金额为： 1 7 500 15 6003 80014900 元，5 分 方案 2： 设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金， 则的可能值为“0,200,300” ，6 分 Q摸到红球的概率： 1 2 1 5 2 5 C P C ， 0312 01 33 232381 (0) 5555125 PCC ， 21 2 3 2336 (200) 55125 PC ， 3 3 3 28 (300) 5125 PC ，8 分 的分布列为 0200300 P 81 125 36 125 8 125 理科数学试题答案及评分参考第 9页（共 14页） 81368 020030076.8 125125125 E 元，10 分 按照方案 2 奖励的总金额为： 2 (282 603 12) 76.814131.2 元，11 分 Q方案 1 奖励的总金额 1 多于方案 1 奖励的总金额 2 ， 预计方案 2 投资较少.12 分 【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分布列模型及分层 抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力， 综合考查了考 生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识. 21.（本小题满分 12 分） 已知定义域为(0,)的函数( )e (2) x a f xx x .（其中常数e=2.718 28，是自然对 数的底数） （1）求函数( )f x的递增区间； （2）若函数( )f x为定义域上的增函数，且 12 ( )()4ef xf x，证明: 12 2xx. 解： （1）易知 2 2 e (1)() ( ) x xxa fx x ，1 分 若0a ，由( )0fx解得1x， 函数( )f x的递增区间为(1,)；2 分 若01a，则 x(0,)a a(,1)a1 (1,) ( )f x 00 ( )f x 极大值 极小值 函数( )f x的递增区间为(0,)a和(1,)；3 分 若1a ，则 2 2 e (1) (1) ( )0 x xx fx x ， 函数( )f x的递增区间为(0,)；4 分 若1a ，则 x(0,1)1(1,)a a(,)a 理科数学试题答案及评分参考第 10页（共 14页） ( )f x 00 ( )f x 极大值 极小值 函数( )f x的递增区间为(0,1)和(,)a ； 5 分 综上，若0a ，( )f x的递增区间为(1,)； 若01a，( )f x的递增区间为(0,)a和(1,)； 若1a ，函数( )f x的递增区间为(0,)； 若1a ，函数( )f x的递增区间为(0,1)和(,)a . （2）函数( )f x为(0,)上的增函数， 1a ，即 1 ( )e (2) x f xx x ， 6 分 注意到(1)2ef，故 12 ( )()4e2 (1)f xf xf， 不妨设 12 01xx ，7 分 (法一)欲证 12 2xx，只需证 21 2xx，只需证 21 ()(2)f xfx， 即证 11 4e( )(2)f xfx，即证 11 ( )(2)4ef xfx， 令( )( )(2)xf xfx，01x，只需证( )(1)x，8 分 22 22 22 e(1)(3) ( )( )(2)e(1) (2) x x xx xf xfxx xx ， 下证( )0 x，即证 22 22 e(1)(3) 0 (2) x xx xx ， 由熟知的不等式e1 x x 可知 221 222 e(e)(11) xx xx ， 当01x时，即 22 2 e 1 x x ， 2232 2222 e(1)(3)(3)31 1 (2)(2)(2) x xxxxxx x xxxx ，10 分 易知当01x时， 2 210 xx ， 322 31(1)(21)0 xxxxxx ， 22 22 e(1)(3) 0 (2) x xx xx ，11 分 ( )0 x，即( ) x单调递增，即( )(1)x，从而 12 2xx得证. 12 分 (法二) 令 2 22 e (1) (1)e (1) ( )( )e (1) xx x xxx g xfxx xx ， 理科数学试题答案及评分参考第 11页（共 14页） 则 32 3 e (1)(2) ( ) x xxx g x x ，8 分 x(0,1)1(1,) ( )g x 0 ( )g x 极小值 由上表可画出 1 ( )e (2) x f xx x 的图象，如右图实线所示， 右图虚线所示为函数 1 ( )e (2) x f xx x (01)x的图象 关于点(1, 2e)Q对称后的函数( )4e(2)h xfx 的图象， 设图中点 11 ( ,()A xf x，则 12 (2,()Cxf x， 22 (,()B xf x， 欲证 12 2xx，只需证 21 2xx，只需证点B不在点C的左侧即可， 即证当12x时，4e(2)( )fxf x恒成立， 即证 2 11 4ee()e (2) 2 xx xx xx ， 即证 2 11 e (2)e()4e 2 xx xx xx ，10 分 由基本不等式可知 22 1111 e (2)e()2 e (2) e() 22 xxxx xxxx xxxx 11 2e 2(2)2e22 (2)4e (2)(2) x xx x x xx x ， 2 11 e (2)e()4e 2 xx xx xx ， 12 2xx得证. 12 分 【说明】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问 题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性. 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ,sin ,cos2 ty tx （t为参数），以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为qcos2，直线l 与曲线C交于不同的两点A，B （1）求曲线C的参数方程； 理科数学试题答案及评分参考第 12页（共 14页） （2）若点P为直线l与x轴的交点，求22 11 PAPB 的取值范围 解:（1）2cosq等价于 2 2 cosq，1 分 将 222 xy，cosxq代入上式，2 分 可得曲线C的直角坐标方程为 22 20 xyx，即 22 (1)1xy，3 分 曲线C的参数方程为 1 cos , sin , x y （为参数）.5 分 （2）将 ,sin ,cos2 ty tx 代入曲线C的直角坐标方程， 整理得： 2 6 cos80tt，6 分 由题意得 2 36cos320= ，故 9 8 cos2， 又 1cos2 ， 2 8 cos( ,1 9 ，7 分 设方程 2 6 cos80tt 的两个实根分别为 1 t， 2 t， 则cos6 21 tt，8 21 tt，8 分 1 t与 2 t同号， 由参数t的几何意义，可得 cos6 2121 ttttPBPA，8 21 ttPBPA， 2 2222 ()211PAPBPAPB PAPBPAPB 22 1212 2 12 ()