相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法.ppt

相似三角形复习,比例式、等积式的常见证明方法,如图，在ABC中，ABAC，D为AC边上异于A、C的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得到的新三角形与原ABC相似.,问：你能画出符合条件的直线吗？,温故知新(1),E,E,相似三角形的判定方法,1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似,2、有两角对应相等的两个三角形相似,如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（）,3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似,4、三边对应成比例的两三角形相似,B,相似三角形的判定方法,温故知新(1),直角三角形相似的判定:,直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。,温故知新(1),三角形相似的判定还有什么方法？,显然还有传递性和定义法。,快速抢答,在这一个图形中,有两个垂直,有_对相似,有_对互余的角,有_组对应成比例的六条线段.,三,四,五,AC2=ADABBC2=BDABCD2=ADBDAC:AD=BC:CDBC:BD=AC:CD,温故知新(2),F,E,D,C,B,A,例.如图：已知BAC=90,BD=DC,DEBC交AC于E,交BA的延长线于F.求证：AD2=DEDF,由AD2=DEDF，得,故只要证明ADEFDA即可,分析：,利用相似三角形的性质,例.如图：已知BAC=90,BD=DC,DEBC交AC于E,交BA的延长线于F.求证：AD2=DEDF,证明：,F=C=DAC,BAC=90,BD=DC,DEBC,C+B=90,ADE=FDA,AD=DC,从而DAC=C,F+B=90,ADEFDA,AD2=DEDF,点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）,例2.如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,对角线ACBD,垂足为E,AD=BD,过点E作EFAB交AD于F,试说明:AF2=AEEC,利用等线段代换,点评：证明乘积式时，如果不能找相似三角形（或平行线），可以进行等线段替换。,例2巩固.已知,如图,CE是直角ABC的斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BGAP,垂足为G,交CE于D,试说明:CE2=EDEP.,利用等积式代换,点评：证明乘积式时，如果不能进行等线段替换，还可以转化一个乘积。,例3.已知,如图,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延长线交AB的延长线于点F.试说明:AB：AC=DF：AF,利用等比式代换,点评：证明乘积式时，如果不能进行等线段替换，也可以转化一个比。,例4如图：已知ABC中，AD平分BAC，EF是AD的中垂线，EF交BC的延长线于F.求证：FD2=FCFB,F,E,D,C,B,A,分析：,由FD2=FCFB，得,但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相似三角形.,由于FD=FA，替换后可形成相似三角形.,只要证FABFCA即可.,例4提高.如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且FEA=AFE.求证：BDCE=CDBF,F,E,D,C,B,A,由BDCE=CDBF，得,分析：,但DBF与DCE不相似,因此，需作辅助线构造相似三角形,例4提高.如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且FEA=AFE.求证：BDCE=CDBF,F,E,D,C,B,A,G,方法一：,过点C作CGAB,交DF于G,则DCGDBF,故,再证CG=CE即可,F,E,D,C,B,A,G,方法二：,过点C作CGDF,交AB于G,故,再证FG=CE即可,例4提高.如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且FEA=AFE.求证：BDCE=CDBF,F,E,D,C,B,A,G,例4提高如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且FEA=AFE.求证：BDCE=CDBF,方法三：,过点B作BGDF,交DF的延长线于G,故,再证BG=BF即可,则DCEDBG,由三角形相似证线段成比例的一般步骤：,1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三角形；再找这两个三角形相似所需要的条件；2、如这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换等）；3、当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用引平行线的方法。,如上图,BAC=120,ADE是等边三角形,小丽发现图中有些线段是其他两条线段的比例中项,你知道小丽说的是哪些线段吗?它们分别是哪些线段的比例中项吗?如果A