数理方程与特殊函数(杨春)

1,Email:yc517922,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,贝塞尔函数及其性质,(一)、贝塞尔方程的引入,(二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数,(三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式,3,例1、设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律,(一)、贝塞尔方程的引入,定解问题为：,采用分离变量法求解,4,(1)、时空变量分离,令：,得：,(2)、空间变量分离,对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得：,5,令：,得：,(3)、求固有值问题,固有值为：,6,固有函数为：,另一个固有值问题为：,为使该分离变量求解能进行下去，需要求解(6)中常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方程。,再看一个例子：,7,例2、在圆柱内传播的电磁波问题。设沿z方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初速为1-2。求其传播规律（假设对极角对称,即园对称）,定解问题为：,(1)、分离变量,8,(2)、求固有值问题,(7)中方程与(6)中方程形式相同！,对(6)中方程，作变换：并记：,9,得到：,定义1：形如(8)的常微分方程称为n阶贝塞尔方程，n是实数或复数.,(二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数,假定方程形式为：,同时假定：,10,假定方程有一个广义幂级数解,其形式为：,把假定解代入方程中确定c与ak(k=0,1,2,.),代入方程得：,化简后得：,11,于是得下列各式：,于是得到：,暂取：，由此得：,12,由得：,而,13,于是得假定解的一般项为：,为了简化上面系数的表示，特选取：,得：,14,于是得到n阶Bessel方程的一个特解为：,定义2：n阶第一类Bessel函数为：,取c=-n时，用同样方法可得另一特解：,15,定义3：负n阶第一类Bessel函数为：,对于正、负n阶第一类贝塞尔函数，当n为整数时，称为第一类整数阶贝塞尔函数，n为分数时，称为第一类分数阶贝塞尔函数。,由于当n为非整数时有：,所以，正、负非整数n阶贝塞尔函数是n阶贝塞尔方程的两个线性无关特解，于是得非整数n阶贝塞尔方程通解为：,16,由达朗贝尔判别法：,所以，第一类贝塞尔函数的收敛域为：,第一类贝塞尔函数一般是级数表达式，但一些特殊阶贝塞尔函数有初等函数形式(要关注！)。,17,例1、试证半奇阶Bessel函数,证明：,由于：,18,所以：,例2、求如下贝塞尔方程通解,解：这是1/2阶贝塞尔方程,19,整数阶贝塞尔函数,性质：对于n阶整数阶贝塞尔函数有：,证明：,令：则,20,该性质表明：对于n阶整数阶贝塞尔函数，Jn(x)与J-n(x)是线性相关的，因此，不能由它们直接的线性组合写出对应的方程的通解。但如果定义：,可以验证*为n阶贝塞尔方程的特解，且可以证明：,21,定义第二类Bessel函数为：,利用洛比达法则可得：,22,结论：不论n是否为整数，Bessel方程的通解都可表示为：,23,1、整数阶Bessel函数的母函数（生成函数）,(三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式,考虑函数(x为参数)在0|z|+内罗朗展式：,所以：,24,为整数阶Bessel函数的母函数。,定义：称函数,如果令：，则：,当x为实数时，通过等式的比较可得：,25,例3、用母函数证明整数阶贝塞尔函数加法公式：,证明：在母函数等式中用x+y换x得：,26,所以得到：,27,2、整数阶Bessel函数的积分表达式,罗朗展式的系数公式为：,其中C是包围Z=0的任意一条闭曲线。如